Medidas de dispersión
Una máquina envasa paquetes de arroz de $500$ g con desviación estándar de $5$ g; otra envasa paquetes de lentejas de $1{,}000$ g con desviación estándar de $8$ g. ¿Cuál de las dos es más precisa? La de lentejas se desvía más en gramos, pero comparar sin tomar en cuenta el tamaño del paquete sería un error. Al final de la página lo resolvemos.
Rango
Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos: en uno todos se parecen y en otro hay de todo. Las medidas de dispersión dicen qué tan separados están los datos.
Si los datos vienen agrupados en intervalos, ya no conoces el dato mínimo ni el máximo reales. Lo más que puedes decir es que el rango es como máximo el extremo superior del último intervalo menos el extremo inferior del primero.
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de invierno han sido: $12$, $14$, $9$, $11$, $15$, $10$ y $13$ grados Celsius. Calcula el rango de…
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de invierno han sido: $12$, $14$, $9$, $11$, $15$, $10$ y $13$ grados Celsius. Calcula el rango de estas temperaturas.
Una tabla de frecuencias agrupa el tiempo de uso diario del teléfono celular en los siguientes intervalos: $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$ y $[3, 4)$ horas. Determina el…
Una tabla de frecuencias agrupa el tiempo de uso diario del teléfono celular en los siguientes intervalos: $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$ y $[3, 4)$ horas. Determina el rango máximo posible de los datos originales que han sido agrupados en esta tabla.
Rango intercuartil
El rango se deja engañar por los extremos. Una medida más robusta ignora el $25\,\%$ más bajo y el $25\,\%$ más alto, y mide la separación del $50\,\%$ central de los datos.
En un diagrama de caja y bigotes, el RIC es la longitud de la caja y el rango es la distancia entre los extremos de los bigotes.
En un estudio estadístico sobre los salarios mensuales de una empresa, se ha determinado que el primer cuartil es $24\,000$ pesos y el tercer cuartil es $36\,000$ pesos.…
En un estudio estadístico sobre los salarios mensuales de una empresa, se ha determinado que el primer cuartil es $24\,000$ pesos y el tercer cuartil es $36\,000$ pesos. ¿Cuál es el rango intercuartílico de los salarios?
Determina el rango y el rango intercuartílico de la distribución de puntuaciones representada en el siguiente diagrama de caja y bigotes.
Determina el rango y el rango intercuartílico de la distribución de puntuaciones representada en el siguiente diagrama de caja y bigotes.
Varianza y desviación estándar
La idea: ver cuánto se aleja cada dato de la media, $x_i-\bar{x}$. Si las sumas, se cancelan (unas son positivas y otras negativas). Por eso se elevan al cuadrado antes de promediar.
La desviación estándar $\sigma$ está en las mismas unidades que los datos: es «cuánto se alejan, en promedio, de la media». Cuanto mayor es $\sigma$, más dispersos están los datos.
Las notas de un alumno en cinco exámenes de matemáticas son $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$. Sabiendo que la media aritmética es $7$, calcula la varianza y la desviación típica…
Las notas de un alumno en cinco exámenes de matemáticas son $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$. Sabiendo que la media aritmética es $7$, calcula la varianza y la desviación típica de sus calificaciones.
En un estudio estadístico compuesto por $20$ datos, se sabe que la suma de todos los valores es $\sum x_i = 100$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 580$.…
En un estudio estadístico compuesto por $20$ datos, se sabe que la suma de todos los valores es $\sum x_i = 100$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 580$. Calcula la varianza de la distribución.
En una muestra formada por tres datos, se sabe que dos de ellos son $4$ y $8$. Sabiendo que la media aritmética de los tres datos es $6$, averigua el valor del tercer…
En una muestra formada por tres datos, se sabe que dos de ellos son $4$ y $8$. Sabiendo que la media aritmética de los tres datos es $6$, averigua el valor del tercer dato y calcula la varianza de la muestra.
Varianza con tablas e intervalos
Cuando los datos están en una tabla, cada $x_i$ cuenta $f_i$ veces. Si están agrupados en intervalos, se usa la marca de clase (punto medio de cada intervalo) como valor representativo; el resultado es solo una aproximación. La marca de clase la lees también en un histograma: es el centro de cada barra.
En un equipo de fútbol, el número de goles marcados por partido a lo largo de una temporada se resume en la siguiente distribución: $0$ goles: $5$ partidos $1$ gol: $8$…
En un equipo de fútbol, el número de goles marcados por partido a lo largo de una temporada se resume en la siguiente distribución:
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$0$ goles: $5$ partidos
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$1$ gol: $8$ partidos
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$2$ goles: $4$ partidos
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$3$ goles: $3$ partidos
Calcula la varianza y la desviación típica del número de goles por partido.
El tiempo, en minutos, que tardan varios clientes en ser atendidos en la caja de un supermercado se agrupa en los siguientes intervalos: $[0, 5)$: $4$ clientes…
El tiempo, en minutos, que tardan varios clientes en ser atendidos en la caja de un supermercado se agrupa en los siguientes intervalos:
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$[0, 5)$: $4$ clientes
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$[5, 10)$: $10$ clientes
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$[10, 15)$: $6$ clientes
Halla la varianza y la desviación típica del tiempo de espera.
Calcula la varianza y la desviación típica de los datos representados en el siguiente histograma, sabiendo que el eje horizontal representa la edad en años y el eje…
Calcula la varianza y la desviación típica de los datos representados en el siguiente histograma, sabiendo que el eje horizontal representa la edad en años y el eje vertical el número de personas. Utiliza las marcas de clase para tus cálculos.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Coeficiente de variación
¿Es más «dispersa» una desviación de 5 g en paquetes de 500 g o de 8 g en paquetes de 1,000 g? Para comparar hay que relativizar.
El peso medio de un modelo de tornillos fabricado industrialmente es de $15$ gramos, con una desviación típica de $0.45$ gramos. Calcula el coeficiente de variación y…
El peso medio de un modelo de tornillos fabricado industrialmente es de $15$ gramos, con una desviación típica de $0.45$ gramos. Calcula el coeficiente de variación y exprésalo en porcentaje.
En un bosque de pinos, la altura media es de $12$ metros con una desviación típica de $1.5$ metros. En un bosque de robles, la altura media es de $8$ metros con una…
En un bosque de pinos, la altura media es de $12$ metros con una desviación típica de $1.5$ metros. En un bosque de robles, la altura media es de $8$ metros con una desviación típica de $1.2$ metros. ¿Qué especie de árbol presenta una mayor dispersión relativa en su altura?
Dos ciclistas, Ana y Carlos, han registrado sus tiempos (en minutos) en cinco etapas idénticas de entrenamiento: Tiempos de Ana: $45$, $48$, $50$, $46$, $47$ Tiempos de…
Dos ciclistas, Ana y Carlos, han registrado sus tiempos (en minutos) en cinco etapas idénticas de entrenamiento:
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Tiempos de Ana: $45$, $48$, $50$, $46$, $47$
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Tiempos de Carlos: $40$, $55$, $42$, $58$, $41$
Calcula el coeficiente de variación de cada uno de ellos y determina quién es más regular en sus tiempos.
Comparar precisión, riesgo y gráficas
Con el CV puedes decidir qué proceso es más preciso o qué inversión es más arriesgada por cada unidad de media. Se calcula $\bar x$, $\sigma$ y $CV$ de cada grupo, y se elige el de menor $CV$ como el más regular.
También puedes comparar sin calcular. Si dos distribuciones tienen la misma media, la más concentrada alrededor de ella (polígono alto y estrecho) tiene menor desviación estándar; la más extendida (polígono bajo y ancho) tiene mayor.
Ahora cerramos el gancho: $CV_{\text{arroz}}=1\,\%$ y $CV_{\text{lentejas}}=0.8\,\%$, así que la envasadora de lentejas es más precisa a pesar de su mayor $\sigma$ en gramos.
Una máquina envasadora A produce paquetes de arroz con un peso medio de $500$ gramos y una desviación típica de $5$ gramos. Otra máquina B produce paquetes de lentejas…
Una máquina envasadora A produce paquetes de arroz con un peso medio de $500$ gramos y una desviación típica de $5$ gramos. Otra máquina B produce paquetes de lentejas con un peso medio de $1000$ gramos y una desviación típica de $8$ gramos. Utilizando el coeficiente de variación, determina qué máquina es comparativamente más precisa en su proceso de envasado.
Observa los polígonos de frecuencias de las distribuciones A y B representadas en el siguiente gráfico. Ambas distribuciones tienen la misma media aritmética. ¿Cuál de…
Observa los polígonos de frecuencias de las distribuciones A y B representadas en el siguiente gráfico. Ambas distribuciones tienen la misma media aritmética. ¿Cuál de las dos distribuciones presenta mayor desviación típica? Justifica tu respuesta analizando la concentración de los datos respecto a la media, sin necesidad de realizar cálculos numéricos.
Un inversor está analizando el riesgo de dos fondos de inversión. El fondo Alpha ha obtenido unas rentabilidades anuales del $2\%$, $4\%$, $6\%$ y $8\%$, todas con la…
Un inversor está analizando el riesgo de dos fondos de inversión. El fondo Alpha ha obtenido unas rentabilidades anuales del $2\%$, $4\%$, $6\%$ y $8\%$, todas con la misma frecuencia absoluta. El fondo Beta ha obtenido rentabilidades del $4\%$, $5\%$, $5\%$ y $6\%$. Calcula la desviación típica de cada fondo y explica, utilizando el coeficiente de variación, cuál de los dos asume un mayor riesgo relativo por cada unidad de rentabilidad obtenida.
Cambios de origen y de escala
¿Qué pasa con la dispersión si todos los datos aumentan lo mismo, o se multiplican por un número?
La desviación típica de las edades de un grupo de amigos es actualmente de $2.5$ años. Si dentro de $4$ años volvemos a calcular la desviación típica de sus edades,…
La desviación típica de las edades de un grupo de amigos es actualmente de $2.5$ años. Si dentro de $4$ años volvemos a calcular la desviación típica de sus edades, ¿cuál será el nuevo valor? Justifica tu respuesta de forma razonada.
Los precios de un producto tecnológico en varias tiendas de Estados Unidos tienen una desviación estándar de $15$ dólares. Si para un estudio económico convertimos todos…
Los precios de un producto tecnológico en varias tiendas de Estados Unidos tienen una desviación estándar de $15$ dólares. Si para un estudio económico convertimos todos los precios a euros aplicando un tipo de cambio fijo de $0.90$ euros por dólar, ¿cuál será la varianza y la desviación estándar de los precios expresados en euros?
La temperatura en una ciudad se ha medido diariamente en grados Celsius ($C$), obteniéndose una desviación típica de $5^\circ C$. Sabiendo que la relación matemática…
La temperatura en una ciudad se ha medido diariamente en grados Celsius ($C$), obteniéndose una desviación típica de $5^\circ C$. Sabiendo que la relación matemática para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit ($F$) es $F = \frac{9}{5}C + 32$, demuestra algebraicamente cuál será la varianza de las temperaturas si todas las mediciones se expresan en grados Fahrenheit y calcula su valor final.
Añadir datos, corregir errores y combinar grupos
Si conoces $N$, $\bar x$ y $\sigma^2$ de un grupo, recuperas las sumas:
$$\sum x_i=N\bar x \qquad \sum x_i^2=N(\sigma^2+\bar x^2)$$Con esas sumas puedes agregar, quitar o corregir datos y volver a calcular, sin rehacer todo.
Un conjunto estadístico formado por $10$ datos tiene una media aritmética de $5$ y una varianza de $2$. Si se añade a este conjunto un nuevo dato con valor $16$, calcula…
Un conjunto estadístico formado por $10$ datos tiene una media aritmética de $5$ y una varianza de $2$. Si se añade a este conjunto un nuevo dato con valor $16$, calcula la nueva media aritmética y la nueva varianza de los $11$ datos resultantes.
En un instituto, la clase de 4ºA tiene $20$ alumnos con una nota media en estadística de $6$ y una varianza de $1.5$. La clase de 4ºB tiene $30$ alumnos con una nota…
En un instituto, la clase de 4ºA tiene $20$ alumnos con una nota media en estadística de $6$ y una varianza de $1.5$. La clase de 4ºB tiene $30$ alumnos con una nota media también de $6$ y una varianza de $2$. Si se agrupan los alumnos de ambas clases en un solo conjunto, ¿cuál será la varianza global de los $50$ alumnos?
Al calcular la varianza de un conjunto de $10$ datos se obtuvo un valor de $4$, siendo la media aritmética igual a $5$. Posteriormente, al revisar los registros, se…
Al calcular la varianza de un conjunto de $10$ datos se obtuvo un valor de $4$, siendo la media aritmética igual a $5$. Posteriormente, al revisar los registros, se descubrió que un dato cuyo valor real era $3$ se había anotado por error como $8$. Calcula la varianza correcta de la distribución tras subsanar el error.
Resolver hacia atrás: la varianza como ecuación
Si la media o la varianza son datos y falta una frecuencia o un valor, las fórmulas se convierten en una ecuación con esa incógnita.
Con $\sum x_i f_i$ y $\sum x_i^2 f_i$ conocidos, la varianza queda en función de $N$: $\sigma^2=\dfrac{\sum x_i^2f_i}{N}-\left(\dfrac{\sum x_if_i}{N}\right)^2$. Si $N$ es la incógnita, puede salir una ecuación cuadrática: revisa cada solución en el contexto.
Una variable estadística discreta toma los valores $0$, $1$ y $2$ con frecuencias absolutas $2$, $k$ y $2$, respectivamente. Sabiendo que la media aritmética de la…
Una variable estadística discreta toma los valores $0$, $1$ y $2$ con frecuencias absolutas $2$, $k$ y $2$, respectivamente. Sabiendo que la media aritmética de la distribución es $1$, plantea una ecuación para determinar el valor de la frecuencia $k$ de modo que la varianza de la distribución sea exactamente $0.5$.
Se ha realizado un estudio estadístico sobre una variable y se sabe que el tamaño de la muestra es $N$. Además, se han obtenido los siguientes valores agregados:…
Se ha realizado un estudio estadístico sobre una variable y se sabe que el tamaño de la muestra es $N$. Además, se han obtenido los siguientes valores agregados: $\sum x_i f_i = 40$ y $\sum x_i^2 f_i = 200$. Si la varianza de la distribución es $4$, determina el tamaño de la muestra $N$.
Vuelve al principio: $CV_{\text{arroz}}=\frac{5}{500}=1\,\%$ y $CV_{\text{lentejas}}=\frac{8}{1000}=0.8\,\%$: la envasadora de lentejas es más precisa, aunque su $\sigma$ en gramos sea mayor.