Sistemas de ecuaciones no lineales
Una alfombra rectangular para la sala tiene un perímetro de $28$ m y un área de $48$ m². ¿Cuánto miden sus lados? Hay dos incógnitas y dos ecuaciones, pero ahora una de ellas lleva un producto de incógnitas. Ya no es un sistema lineal, y necesita una estrategia algo distinta.
Qué es un sistema no lineal
Resuelve el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática: $x - y = 2$ $x^2 + y^2 = 34$
Resuelve el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática:
$x - y = 2$
$x^2 + y^2 = 34$
Resuelve el siguiente sistema: $x^2 - y^2 = 16$ $x + y = 8$
Resuelve el siguiente sistema:
$x^2 - y^2 = 16$
$x + y = 8$
Encuentra la solución del sistema: $\frac{x}{y} = 3$ $x^2 - y^2 = 32$
Encuentra la solución del sistema:
$\frac{x}{y} = 3$
$x^2 - y^2 = 32$
Recta y curva: cuántos puntos de corte
Una ecuación lineal es una recta; una ecuación como $y = x^2 - 4x$ es una parábola. Resolver el sistema es encontrar dónde se cruzan. Al sustituir queda una ecuación cuadrática, y según su discriminante la recta y la parábola tienen dos, uno o ningún punto de corte.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $y = x^2 - 4x$ $y = x - 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$y = x^2 - 4x$
$y = x - 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $x \times y = 18$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$
$x \times y = 18$
Sistemas con una raíz cuadrada
Cuando una ecuación lleva $\sqrt{x}$, el truco es aislar la raíz y elevar al cuadrado para quitarla. Pero elevar al cuadrado puede colar soluciones que no son del sistema original, así que hay que comprobar al final.
Resuelve el siguiente sistema que contiene una ecuación irracional: $x + y = 10$ $\sqrt{x} - y = -4$
Resuelve el siguiente sistema que contiene una ecuación irracional:
$x + y = 10$
$\sqrt{x} - y = -4$
Sistemas simétricos: suma y producto, suma de cuadrados
Encuentra la solución del sistema: $x + y = 7$ $x \times y = 12$
Encuentra la solución del sistema:
$x + y = 7$
$x \times y = 12$
La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simétrico: $x^2 + y^2 = 25$ $x \times y = 12$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simétrico:
$x^2 + y^2 = 25$
$x \times y = 12$
Problemas de geometría: perímetro y área
En rectángulos, rombos y otras figuras, el perímetro suele dar una ecuación lineal y el área (o la diagonal, con Pitágoras) una ecuación no lineal.
El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y calcula las dimensiones de…
El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y calcula las dimensiones de la alfombra.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones no…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para calcular la longitud de los dos catetos.
Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura…
Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura del cilindro es de $15 \text{ cm}$. Calcula el radio y la altura del envase. (Recuerda que el área total de un cilindro es $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).
Comprobar las soluciones en su contexto
Un sistema no lineal puede dar varias soluciones matemáticas, pero no todas sirven en un problema real.
Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma.…
Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma. Calcula las dimensiones originales de la parcela.
Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $12\,000$ pesos. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a…
Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $12\,000$ pesos. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a pagar $80$ pesos más a cada uno para cubrir el costo total. ¿Cuántas personas fueron finalmente a la excursión y cuánto pagó cada una?
Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar…
Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar el mismo recorrido. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad del ciclista y el tiempo que tardó.
Más problemas de planteamiento
Con las ideas anteriores resuelves casi cualquier problema: elige las incógnitas, traduce cada dato a una ecuación, despeja en la más sencilla, sustituye y revisa el contexto.
La suma de dos números es $15$ y la suma de sus inversos es $\frac{5}{18}$. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
La suma de dos números es $15$ y la suma de sus inversos es $\frac{5}{18}$. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $2\,400$ pesos, a pagar a partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada…
Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $2\,400$ pesos, a pagar a partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada uno de los iniciales ponga $60$ pesos menos. ¿Cuántos estudiantes había al principio y cuánto pagaba cada uno?
Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras…
Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número original? (Recuerda que un número de dos cifras $xy$ se expresa algebraicamente como $10x + y$).