Probabilidad condicional y eventos dependientes
Sacas una carta de la baraja y no la devuelves: la segunda extracción ya no tiene las mismas probabilidades que la primera. Un médico interpreta el resultado de una prueba: lo que ya sabe (el resultado) cambia la probabilidad de lo que quiere averiguar (si hay enfermedad). En ambos casos, un evento cambia la probabilidad del otro: son eventos dependientes y necesitas la probabilidad condicional.
Probabilidad condicional
Cuando ya sabes que ocurrió un evento, el conjunto de casos posibles se reduce. Esa información nueva actualiza la probabilidad.
En una clase de $30$ alumnos, $18$ estudian francés, $12$ estudian alemán y $5$ estudian ambos idiomas. Si se elige un alumno al azar y resulta que estudia francés,…
En una clase de $30$ alumnos, $18$ estudian francés, $12$ estudian alemán y $5$ estudian ambos idiomas. Si se elige un alumno al azar y resulta que estudia francés, ¿cuál es la probabilidad de que también estudie alemán?
Lanzamos dos dados normales de seis caras. Sabiendo que la suma de las puntuaciones obtenidas es $8$, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido un…
Lanzamos dos dados normales de seis caras. Sabiendo que la suma de las puntuaciones obtenidas es $8$, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido un $3$?
En un pueblo, el $45\%$ de los habitantes lee el periódico X, el $35\%$ lee el periódico Y, y un $15\%$ lee ambos periódicos. Si elegimos un habitante al azar y sabemos…
En un pueblo, el $45\%$ de los habitantes lee el periódico X, el $35\%$ lee el periódico Y, y un $15\%$ lee ambos periódicos. Si elegimos un habitante al azar y sabemos que lee el periódico X, ¿cuál es la probabilidad de que también lea el periódico Y? A partir de los resultados, justifica si los eventos "leer el periódico X" y "leer el periódico Y" son independientes.
Independencia y unión de eventos
Si saber que ocurrió $A$ no cambia la probabilidad de $B$, los eventos son independientes: $P(B\mid A)=P(B)$, o de forma equivalente $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$. Si no se cumple, son dependientes.
A veces te dan $P(A\cup B)$ y necesitas la intersección. Al sumar $P(A)+P(B)$ la intersección se cuenta dos veces, así que se resta una:
Se consideran dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Sabemos que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cap B) = 0.2$. Comprueba matemáticamente si los eventos…
Se consideran dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Sabemos que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cap B) = 0.2$. Comprueba matemáticamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes.
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ y $P(A \cup B) = 0.7$. Utilizando las propiedades de la probabilidad,…
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ y $P(A \cup B) = 0.7$. Utilizando las propiedades de la probabilidad, halla el valor de la intersección y calcula $P(A|B)$ y $P(B|A)$. ¿Son $A$ y $B$ eventos independientes? Justifica tu respuesta.
Regla del producto y extracciones sin reemplazo
Prueba con la urna: saca bolas y observa cómo cambia la composición.
En una urna hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que la primera bola sea roja…
En una urna hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda sea azul.
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen dos cartas al azar una tras otra y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes?
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen dos cartas al azar una tras otra y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes?
De una caja que contiene $10$ bombillas, se sabe que $3$ de ellas están fundidas. Se extraen $3$ bombillas sucesivamente y sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad…
De una caja que contiene $10$ bombillas, se sabe que $3$ de ellas están fundidas. Se extraen $3$ bombillas sucesivamente y sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las bombillas extraídas esté fundida?
Eventos independientes: «al menos uno»
Si los eventos son independientes, la regla se simplifica: $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$. Y la probabilidad de que ocurra al menos uno se calcula mejor con el complemento: $1-P(\text{ninguno})$.
Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de obtener águila es $0.7$. Se lanza la moneda dos veces consecutivas. Calcula la probabilidad de obtener…
Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de obtener águila es $0.7$. Se lanza la moneda dos veces consecutivas. Calcula la probabilidad de obtener exactamente un águila y un sol (en cualquier orden).
Dos arqueros disparan una flecha al mismo blanco. El arquero A acierta con una probabilidad de $0.7$ y el arquero B acierta con una probabilidad de $0.8$. Sus disparos…
Dos arqueros disparan una flecha al mismo blanco. El arquero A acierta con una probabilidad de $0.7$ y el arquero B acierta con una probabilidad de $0.8$. Sus disparos son totalmente independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado por al menos una flecha?
Un sistema de seguridad informático tiene dos cortafuegos independientes. La probabilidad de que el cortafuegos A falle ante un ataque es $0.15$ y la probabilidad de que…
Un sistema de seguridad informático tiene dos cortafuegos independientes. La probabilidad de que el cortafuegos A falle ante un ataque es $0.15$ y la probabilidad de que falle el cortafuegos B es $0.10$. El sistema se ve comprometido solo si ambos cortafuegos fallan. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema resista un ataque? Si se añade un tercer cortafuegos C idéntico al B e independiente de los anteriores, ¿cuánto aumenta la probabilidad de que el sistema resista el ataque?
Árboles y probabilidad total
Un diagrama de árbol ordena las etapas: sobre cada rama va la probabilidad condicional, y para llegar al final de un camino multiplicas las ramas. Cuando varios caminos llevan al mismo resultado, sumas.
Observa el siguiente diagrama de árbol que representa un experimento compuesto en dos etapas. Calcula la probabilidad de obtener el resultado final $C$ pasando por la…
Observa el siguiente diagrama de árbol que representa un experimento compuesto en dos etapas. Calcula la probabilidad de obtener el resultado final $C$ pasando por la rama $A$.
En una fábrica, la máquina A produce el $60\%$ de las piezas y la máquina B produce el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de las piezas producidas por A son…
En una fábrica, la máquina A produce el $60\%$ de las piezas y la máquina B produce el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de las piezas producidas por A son defectuosas, mientras que en la máquina B el porcentaje de defectuosas es del $5\%$. Si se elige una pieza al azar del almacén, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B y sea defectuosa?
Tenemos tres cofres idénticos por fuera. El COFRE A contiene $2$ monedas de oro y $1$ de plata. El COFRE B contiene $1$ moneda de oro y $3$ de plata. El COFRE C contiene…
Tenemos tres cofres idénticos por fuera. El COFRE A contiene $2$ monedas de oro y $1$ de plata. El COFRE B contiene $1$ moneda de oro y $3$ de plata. El COFRE C contiene $4$ monedas de oro. Lanzamos un dado equilibrado: si sale $1$ o $2$, elegimos el cofre A; si sale $3$, elegimos el cofre B; si sale $4$, $5$ o $6$, elegimos el cofre C. A continuación, extraemos una moneda al azar del cofre elegido. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de oro?
Invertir la condicional: de un efecto a su causa
Una pregunta frecuente es la inversa: si la prueba sale positiva, ¿cuál es la probabilidad real de estar enfermo? Es el germen del teorema de Bayes.
En una estantería hay $5$ novelas y $3$ libros de poesía. Se eligen dos libros al azar uno tras otro y sin reemplazamiento. Si el segundo libro elegido resultó ser de…
En una estantería hay $5$ novelas y $3$ libros de poesía. Se eligen dos libros al azar uno tras otro y sin reemplazamiento. Si el segundo libro elegido resultó ser de poesía, ¿cuál es la probabilidad de que el primer libro elegido también lo fuera?
En una escuela, el $55\%$ del alumnado son chicas. Se sabe que el $20\%$ de las chicas y el $25\%$ de los chicos participan activamente en el club de teatro. Si se elige…
En una escuela, el $55\%$ del alumnado son chicas. Se sabe que el $20\%$ de las chicas y el $25\%$ de los chicos participan activamente en el club de teatro. Si se elige al azar un estudiante que participa en el club de teatro, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica?
Tenemos dos dados cúbicos en un cubilete. El primero es un dado normal con las caras numeradas del $1$ al $6$. El segundo es un dado trucado que tiene tres caras con un…
Tenemos dos dados cúbicos en un cubilete. El primero es un dado normal con las caras numeradas del $1$ al $6$. El segundo es un dado trucado que tiene tres caras con un $2$, dos caras con un $3$ y una cara con un $5$. Se elige un dado al azar (con probabilidad $\frac{1}{2}$ para cada uno) y se lanza. Si el resultado obtenido es un número par, ¿cuál es la probabilidad de que se haya lanzado el dado trucado?
Vuelve al principio: si sacas dos cartas de una baraja inglesa sin devolver la primera, la probabilidad de que la segunda sea corazón pasa de $13/52=25\,\%$ a $12/51\approx23.5\,\%$ si la primera fue corazón: la información previa cambia el cálculo.