Introducción a la estadística

Una empresa de mensajería entrega $5\,000$ paquetes al día. Para evaluar el tiempo medio de entrega, el supervisor selecciona aleatoriamente $100$ paquetes y anota los minutos que tardan en llegar a su destino. Determina el tamaño de la población y el tamaño de la muestra.

Para conocer las preferencias musicales de los estudiantes de un instituto de $850$ alumnos, el profesor de música ha preguntado a los $30$ alumnos de su clase de 4º ESO. Identifica la población, la muestra, el tamaño de la muestra y los individuos de este estudio estadístico.

Indica en cuáles de los siguientes casos es más conveniente estudiar la población entera y en cuáles es necesario seleccionar una muestra. Justifica brevemente tu respuesta.

• Comprobar el estado de los frenos de todos los autos que fabrica una marca antes de venderlos.

• Estudiar la duración media de los focos que produce una fábrica (teniendo en cuenta que para comprobarlo hay que dejarlos encendidos hasta que se fundan).

• Conocer la edad de los $25$ alumnos de un grupo.

• Conocer el nivel de colesterol de los habitantes de un país.

Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas:

• El color de los ojos de los pacientes de un oftalmólogo.

• El número de libros leídos en un año por los socios de una biblioteca.

• La temperatura máxima diaria registrada en una ciudad durante el mes de agosto.

• La marca de teléfono celular que usan los profesores de una escuela.

En un estacionamiento de un centro comercial hay $450$ vehículos. Un empleado anota el tipo de vehículo (automóvil, motocicleta, camioneta, todoterreno) de $50$ de ellos elegidos al azar. Identifica la variable estadística que se está estudiando y di de qué tipo es.

Clasifica las siguientes variables cuantitativas en discretas o continuas:

• El número de goles marcados por un equipo de fútbol en cada partido de liga.

• El tiempo que tardan los corredores en completar una maratón.

• La cantidad de agua, en litros, que consume una familia al mes.

• El número de pasajeros que viajan en un avión.

En un hospital se recogen los siguientes datos de los pacientes ingresados en urgencias: grupo sanguíneo, número de pulsaciones por minuto, temperatura corporal en grados Celsius y número de veces que han visitado urgencias en el último año. Clasifica cada una de estas cuatro variables estadísticas y justifica por qué la temperatura corporal y el número de pulsaciones pertenecen a categorías distintas.

Imagina que se realiza un estudio estadístico sobre las laptops que tienen los estudiantes de tu ciudad. Escribe un ejemplo de variable cualitativa, uno de variable cuantitativa discreta y uno de variable cuantitativa continua que se puedan investigar en este estudio.

Al llenar un formulario, se pide a los ciudadanos que ingresen su número de identificación oficial y el código postal de su municipio. Aunque ambos datos están formados por cifras numéricas, desde el punto de vista de la estadística no se consideran variables cuantitativas. Explica de qué tipo de variables se trata y por qué no tiene sentido calcular la media aritmética de los códigos postales.

En una ciudad de $120\,000$ habitantes se realiza una encuesta telefónica a $600$ personas.

• ¿Qué porcentaje de la población total ha sido encuestado?

• Se sabe que en la ciudad el $15\,\%$ de los habitantes son jóvenes de entre $18$ y $25$ años. Para que la muestra de $600$ personas sea representativa en cuanto a la edad, ¿cuántos jóvenes de esa franja de edad deberían estar incluidos en la muestra?

En una empresa tecnológica trabajan $300$ programadores y $200$ diseñadores gráficos. El departamento de recursos humanos quiere realizar una encuesta sobre el clima laboral seleccionando una muestra de $50$ empleados mediante un muestreo aleatorio estratificado proporcional. ¿Cuántos programadores y cuántos diseñadores deben formar parte de la muestra?

Un municipio está dividido en tres distritos: el distrito Norte tiene $4\,500$ habitantes, el distrito Sur tiene $2\,700$ habitantes y el distrito Este tiene $1\,800$ habitantes. La presidencia municipal necesita seleccionar una muestra de $200$ personas aplicando un muestreo estratificado con afijación proporcional. Calcula paso a paso cuántos encuestados deben extraerse de cada uno de los tres distritos para que la muestra sea representativa.

En un instituto de $800$ alumnos, el $60\,\%$ son chicas. Además, se sabe que el $25\,\%$ del total de alumnos del centro cursa 4º ESO. Se desea seleccionar una muestra representativa de $40$ alumnos utilizando un muestreo estratificado que tenga en cuenta simultáneamente el sexo y el curso. Suponiendo que la proporción de chicas en 4º ESO es la misma que en el resto del instituto, calcula cuántas chicas que cursan 4º ESO deben estar incluidas en la muestra.

El director de una escuela tiene una lista alfabética con los $600$ alumnos inscritos. Quiere seleccionar una muestra de $30$ alumnos mediante un muestreo aleatorio sistemático.

• Calcula el coeficiente de elevación (el salto entre un individuo y el siguiente).

• Si el primer alumno elegido al azar es el que ocupa la posición número $12$ en la lista, indica qué posiciones ocuparán los tres siguientes alumnos seleccionados para la muestra.

El gobierno municipal de tu localidad quiere estudiar los hábitos de lectura de los ciudadanos. Diseña un plan de estudio estadístico indicando:

• Cuál sería la población.

• Un método adecuado para elegir una muestra representativa de $200$ personas, evitando encuestar solo a las personas que salen de la biblioteca municipal.

• Dos variables estadísticas cualitativas y dos variables cuantitativas que incluirías en el cuestionario.

En una sala de cine hay $1\,200$ butacas numeradas del $1$ al $1\,200$. El gerente quiere encuestar a $40$ espectadores.

• Explica cómo seleccionarías la muestra utilizando un muestreo sistemático. Si el primer asiento elegido es el $17$, ¿cuál será el último asiento de la muestra?

• Si las butacas se dividen en Platea ($800$ butacas) y Anfiteatro ($400$ butacas), explica cómo realizarías la selección mediante un muestreo estratificado proporcional.

Se quiere hacer un estudio sobre el grado de satisfacción de los clientes de una pizzería. Para ello, el encargado decide encuestar únicamente a las personas que piden pizza con piña. ¿Crees que la muestra elegida es representativa de todos los clientes? Justifica tu respuesta.

Un programa de televisión de ámbito nacional lanza una encuesta a través de su cuenta de Twitter preguntando: "¿Crees que se debería prohibir el uso de redes sociales a menores de 16 años?". Responden $15\,000$ personas. Identifica cuál es la población objetivo del programa y explica detalladamente por qué los resultados de esta muestra pueden estar sesgados y no ser representativos.

Durante un conflicto bélico, los ingenieros militares analizaron los aviones bombarderos que regresaban a la base con impactos de fuego enemigo. Observaron que la mayoría de los impactos estaban en las alas y en el fuselaje, por lo que propusieron reforzar el blindaje en esas zonas. Un estadístico se opuso a esta decisión argumentando un grave sesgo en la muestra. Identifica cuál era la población total de aviones, cuál era la muestra analizada y explica estadísticamente por qué la conclusión de los ingenieros era errónea (lo que se conoce como "sesgo de supervivencia").

Dos empresas encuestadoras quieren predecir el resultado de unas elecciones nacionales. La empresa A coloca una encuesta en la página principal de un conocido periódico deportivo de internet y consigue $50\,000$ respuestas voluntarias. La empresa B realiza llamadas telefónicas a $1\,500$ personas seleccionadas mediante un muestreo aleatorio estratificado según edad, sexo y provincia del censo electoral. Argumenta detalladamente, basándote en los conceptos de población, muestra, tamaño y representatividad, cuál de las dos encuestas proporcionará una predicción más fiable a pesar de la enorme diferencia en el tamaño muestral.

Un periódico publica el siguiente titular: "El $80\,\%$ de los accidentes de tránsito ocurren a menos de $20\text{ km}$ del domicilio del conductor. Por lo tanto, manejar cerca de casa es mucho más peligroso que hacer viajes largos". Analiza críticamente esta afirmación desde el punto de vista estadístico. Identifica el error en la interpretación de los datos y explica qué información adicional sobre la población de conductores haría falta para sacar una conclusión válida.

En un estudio de salud se mide el peso (en $\text{kg}$) y la altura (en $\text{m}$) de los individuos. A partir de estos datos, se calcula el Índice de Masa Corporal (IMC) mediante la fórmula $\text{IMC} = \frac{\text{Peso}}{\text{Altura}^2}$. Posteriormente, se clasifica a los pacientes en tres categorías: "Bajo peso" (IMC $< 18.5$), "Peso normal" (IMC entre $18.5$ y $24.9$) y "Sobrepeso" (IMC $\geq 25$). Identifica y clasifica el tipo de variable estadística en cada una de las fases del estudio: el peso, la altura, el valor numérico del IMC y la categoría final asignada al paciente.

El gobierno municipal de una gran ciudad está evaluando la construcción de una nueva ciclovía que eliminaría lugares de estacionamiento para autos. Propón tres métodos de diseño de muestra o recolección de datos que darían resultados intencionadamente sesgados: uno que favorezca el "Sí" a la ciclovía, otro que favorezca el "No", y explica por qué se produce el sesgo en cada caso. Finalmente, propón un método riguroso para obtener una muestra verdaderamente representativa de la opinión de la ciudad.

El dinero que una persona lleva en el monedero se mide en pesos y centavos (por ejemplo, $12.50\text{ \$}$). Debate si esta variable estadística debe considerarse cuantitativa discreta o cuantitativa continua. Aporta argumentos a favor de ambas clasificaciones y concluye cuál es la más rigurosa desde el punto de vista matemático.