Números racionales
Ximena divide $1 \div 3$ en su calculadora y aparece $0.3333333$. Multiplica por 3 y obtiene $0.9999999$, pero ella sabe que $3 \times \frac{1}{3} = 1$. ¿Dónde se perdió lo que falta? ¿Los decimales «terminan» alguna vez? En esta página lo aclaramos: qué es un número racional, cómo se relacionan fracciones y decimales, y cómo operar con ellos sin redondear.
El conjunto $\mathbb{Q}$
Los naturales y los enteros también son racionales: $5 = \frac{5}{1}$ y $-3 = \frac{-3}{1}$. Por eso $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Los números que no se pueden escribir como fracción, como $\pi$ o $\sqrt{7}$, son irracionales ($\mathbb{I}$); de ellos se trata en el siguiente apartado.
Para clasificar un número, simplifica primero: $\frac{8}{2} = 4$ es natural, aunque «parezca» fracción.
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$;…
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$; $1.2\widehat{3}$; $\sqrt{7}$.
De fracción a decimal: ¿exacto o periódico?
Dividir numerador entre denominador siempre da un decimal. Que sea exacto o periódico depende solo de los factores primos del denominador de la fracción irreducible.
El período se marca con una raya: $0.\overline{3} = 0.333\ldots$ y $1.2\overline{3} = 1.2333\ldots$ En algunos ejercicios verás un sombrero ($\widehat{3}$): significa lo mismo.
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$,…
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{33}$, $\frac{11}{9}$ y $\frac{3}{14}$.
Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu…
Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu respuesta utilizando la descomposición factorial del denominador.
La fracción generatriz
Todo decimal exacto o periódico se puede escribir como fracción: su fracción generatriz. La idea es multiplicar por potencias de 10 para que la parte periódica se cancele al restar.
De ahí sale una regla corta:
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3.45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3.45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4.1\widehat{36}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4.1\widehat{36}$.
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al…
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al número natural $1$.
Operaciones combinadas con racionales
Cuando una expresión mezcla decimales periódicos, potencias, raíces y paréntesis, pasa todo a fracción antes de operar. El resultado sale exacto, sin redondeos.
Para las potencias de fracciones, un exponente negativo invierte la base: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$. Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su inversa.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \times \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \times \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0.2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.
Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0.2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible:…
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \times \left( \frac{9}{4} \right)^3 \div \left( \frac{3}{2} \right)^5$.
Fracciones en problemas: parte de un total
«$\frac{2}{5}$ de algo» significa multiplicar: $\frac{2}{5} \cdot$ total. Y «del resto» significa que la fracción se aplica a lo que queda, no al total original.
En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2.5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer…
En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2.5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer y qué fracción de kilo te sobrará?
Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos…
Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos de tomates cosechó en total?
Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta…
Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta completar un frasco de $1.5$ litros. ¿Qué fracción del frasco representa el agua destilada?
Razones y rapidez de trabajo
Una razón como «5 de cada 8» es una fracción: $\frac{5}{8}$. Para pasar a porcentaje, conviértela a decimal y multiplica por $100$. Si sabes cuántos fallaron, calcula qué fracción del total representan: $1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ de fallos.
Cuando varias razones se encadenan («da $\frac{5}{2}$ vueltas por cada vuelta de la anterior»), se multiplican las fracciones.
Para el trabajo en común, se suman fracciones del trabajo por hora. Si una llave llena un depósito en $4$ h, en $1$ h llena $\frac{1}{4}$ del depósito. Un desagüe que lo vacía en $8$ h contribuye con $-\frac{1}{8}$ por hora.
En un partido de básquetbol, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada ha fallado $24$ tiros libres, ¿cuántos ha lanzado en…
En un partido de básquetbol, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada ha fallado $24$ tiros libres, ¿cuántos ha lanzado en total y cuál es su porcentaje de acierto expresado como número decimal?
Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por…
Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por cada vuelta que da la primera, y la tercera rueda da $\frac{4}{3}$ de vuelta por cada vuelta que da la segunda. ¿Cuántas vueltas completas dará la tercera rueda en $8$ minutos?
Un depósito de agua para riego tiene dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave lo llena en $4$ horas, la segunda llave lo llena en $6$ horas y el desagüe lo…
Un depósito de agua para riego tiene dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave lo llena en $4$ horas, la segunda llave lo llena en $6$ horas y el desagüe lo vacía por completo en $8$ horas. Si se abren los tres al mismo tiempo cuando el depósito está vacío, ¿qué fracción del depósito se llenará en $1$ hora? ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse por completo?
Fracciones que se repiten y repartos
Si en cada paso algo se multiplica por la misma fracción, el resultado después de $n$ pasos es el valor inicial por la fracción elevada a la $n$: $\text{inicial} \cdot \left(\frac{p}{q}\right)^{n}$.
Si una cantidad se reparte proporcionalmente a lo que aportó cada quien, a cada uno le toca la misma fracción del reparto que la que aportó del total.
Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote…
Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote anterior. Calcula la altura que alcanzará en el cuarto bote y exprésala como un número decimal exacto.
Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los…
Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los $28\,000$ pesos restantes. Al final, el torneo genera $17\,000$ pesos de ingresos por la venta de entradas. Sabiendo que los ingresos se reparten de forma proporcional al dinero aportado, ¿qué fracción de los ingresos le corresponde al segundo amigo y qué cantidad exacta de dinero recibirá?
Orden, recta numérica y densidad
Para ordenar racionales, ponlos en la misma forma: todos a decimal (con los periódicos escritos con varias cifras) o todos a fracción con denominador común.
Para representar una fracción en la recta de forma exacta, separa la parte entera y divide la unidad en tantas partes como diga el denominador: $\frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3}$ está dos tercios después del $1$; $-\frac{7}{4} = -1 - \frac{3}{4}$ está tres cuartos a la izquierda del $-1$.
Densidad
Entre dos racionales distintos, por muy cerca que estén, siempre hay infinitos racionales más. Esta propiedad se llama densidad.
Los racionales, junto con este orden y las operaciones de suma y producto, forman lo que se llama un campo ordenado. Pero ojo: aunque sean densos, los racionales no llenan toda la recta; puntos como $\sqrt{2}$ no son racionales.
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0.83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0.83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.
Representa de forma exacta en la recta numérica los números racionales $\frac{5}{3}$ y $-\frac{7}{4}$.
Representa de forma exacta en la recta numérica los números racionales $\frac{5}{3}$ y $-\frac{7}{4}$.
Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.
Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.
Error al medir con fracciones
Si el valor exacto es $V$ y el medido o aproximado es $v$:
-
Error absoluto: $E_a = |V - v|$.
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Error relativo: $E_r = \dfrac{E_a}{|V|}$. Compara el error con el tamaño de lo medido; puede expresarse como fracción o porcentaje.
Con fracciones, pasa el decimal a fracción y resta con denominador común.
Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5.6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo…
Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5.6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos en la medición, expresando los resultados como fracciones irreducibles.
Retos con inversos y fracciones algebraicas
Un número y su inverso. El inverso de $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$. Al sumarlos queda $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab}$. Se busca que esa fracción sea igual a la dada y se prueban enteros pequeños. Por ejemplo, $\frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{10}{3}$ se cumple con $a=3,\ b=1$, pues $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Fracciones algebraicas con valor entero. Para saber cuándo $\frac{\text{algo con } n}{n+k}$ es entero, separa la parte entera dividiendo el numerador entre el denominador. Después pide que el denominador divida al residuo.
Halla un número racional positivo de la forma $\frac{a}{b}$ tal que al sumarle su inverso multiplicativo se obtenga como resultado $\frac{25}{12}$.
Halla un número racional positivo de la forma $\frac{a}{b}$ tal que al sumarle su inverso multiplicativo se obtenga como resultado $\frac{25}{12}$.
Determina todos los valores enteros de $n$ para los cuales la fracción algebraica $\frac{3n + 15}{n + 2}$ representa un número entero.
Determina todos los valores enteros de $n$ para los cuales la fracción algebraica $\frac{3n + 15}{n + 2}$ representa un número entero.
Vuelve al principio: $1 \div 3 = 0.\overline{3}$ nunca termina, y $3 \times 0.\overline{3} = 0.\overline{9} = 1$ exactamente. Lo que faltaba en la pantalla de Ximena no era nada: solo no caben infinitas cifras.