Funciones potenciales

Identifica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función potencial:

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Escribe la expresión algebraica de la función que asocia a cada número real positivo su raíz cúbica, expresándola en forma de potencia con exponente fraccionario.

Dada la función potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de sus imágenes para $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Halla el valor del coeficiente $k$ de la función potencial $f(x) = k \times x^3$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(2, 40)$.

Expresa mediante una función potencial el área $A$ de un círculo en función de su radio $r$. ¿Cuál es el grado de esta función potencial?

Indica cuál es el dominio de definición y determina el tipo de simetría (par, impar o ninguna) de la función potencial $f(x) = x^6$.

Observa la siguiente gráfica que muestra dos funciones potenciales en el primer cuadrante.

Sabiendo que las expresiones analíticas corresponden a $y = x^2$ e $y = x^3$, identifica cuál es $f(x)$ y cuál es $g(x)$. A partir de la gráfica y de las expresiones, determina en qué intervalo estrictamente positivo la función cúbica toma valores menores que la cuadrática.

Determina analíticamente los puntos de corte entre las gráficas de las funciones potenciales $f(x) = x^2$ y $g(x) = x^4$.

Indica el dominio de definición y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función potencial $f(x) = x^{-2}$.

Dada la función $f(x) = -3x^{-3}$, determina su dominio de definición, su recorrido y estudia analíticamente si presenta algún tipo de simetría (par o impar).

Dada la función potencial con exponente fraccionario $f(x) = x^{2/3}$:

• Determina su dominio de definición.

• Calcula los valores exactos de $f(8)$ y $f(-8)$.

• Razona analíticamente si la función es par, impar o ninguna de las dos.

El siguiente gráfico muestra tres funciones potenciales cuyas expresiones son $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ e $y = x^{1/2}$.

Asocia cada curva (A, B y C) con su expresión analítica correspondiente, justificando tu respuesta basándote en el dominio, la paridad y el comportamiento asintótico de cada una.

Sabiendo que la gráfica de una función potencial de la forma $f(x) = x^n$ pasa por el punto $(3, 81)$, averigua el valor del exponente $n$.

Una función potencial viene dada por la expresión $f(x) = a \times x^n$. Halla los valores exactos del coeficiente $a$ y del exponente $n$ sabiendo que la gráfica pasa por los puntos $(1, 5)$ y $(2, 40)$.

Halla la expresión analítica de la función potencial $f(x) = a \times x^n$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(2, 2)$ y $(8, 16)$. Expresa el exponente $n$ en forma de fracción irreducible.

El radio $r$ (en cm) de una mancha circular de aceite que se extiende por el agua crece con el tiempo $t$ (en minutos) según la función potencial $r(t) = 2 \times t^{1/2}$. Calcula el radio de la mancha a los $0.25$ minutos y averigua cuánto tiempo debe pasar para que el radio de la mancha sea exactamente de $4$ cm.

El volumen de una esfera en función de su radio se calcula mediante la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Despeja el radio $r$ para expresarlo como una función potencial dependiente del volumen $V$. Utiliza esta nueva función para calcular el radio aproximado de una esfera que tiene un volumen de $1000$ cm$^3$ (toma $\pi \approx 3.14$).

Determina analíticamente los puntos de intersección entre la función cúbica $f(x) = 8x^3$ y la función de proporcionalidad inversa $g(x) = x^{-1}$.

La intensidad de la luz $I$ que recibe un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $d$ al foco luminoso, lo que se modeliza mediante la función potencial $I(d) = k \times d^{-2}$. Si a una distancia de $2$ metros la intensidad es de $100$ lux, halla la expresión completa de la función y calcula la intensidad que recibirá el objeto a $5$ metros de distancia.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la masa de un vehículo es de $1200$ kg, expresa su energía cinética como una función potencial dependiente de su velocidad $v$ (en m/s) y calcula la energía que posee cuando circula a $20$ m/s.

La fuerza de resistencia aerodinámica que experimenta un ciclista es proporcional al cuadrado de su velocidad, lo que se expresa como $F(v) = k \times v^2$. A una velocidad de $10$ m/s, la fuerza medida es de $30$ N. Demuestra analíticamente por qué factor exacto se multiplica la fuerza de resistencia si el ciclista duplica su velocidad (pasando de una velocidad genérica $v_0$ a $2v_0$) y calcula la nueva fuerza cuando circula a $20$ m/s.

La tasa metabólica basal $T$ (en kcal/día) de los mamíferos se modeliza en función de su masa corporal $M$ (en kg) mediante la función potencial de Kleiber: $T(M) = 70 \times M^{3/4}$. Calcula la tasa metabólica basal de un perro de $16$ kg. A continuación, averigua la masa aproximada de un animal cuya tasa metabólica es de $7000$ kcal/día.

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital $T$ de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol $R$, es decir, $T^2 = k \times R^3$. Si para la Tierra se cumple que $T = 1$ año y $R = 1$ UA (Unidad Astronómica), expresa el período $T$ como una función potencial dependiente de $R$. Utiliza esta función para calcular el período orbital de Júpiter, sabiendo que su distancia media al Sol es de $5.2$ UA.

El costo de producción de un componente electrónico disminuye a medida que aumenta el número de unidades fabricadas según la función potencial $C(x) = 100\,000 \times x^{-1/2}$, donde $x$ es la cantidad de componentes y $C(x)$ es el costo unitario en pesos. Calcula el costo unitario de producir $100$ componentes y determina cuántos componentes se deben fabricar en total para que el costo unitario se reduzca a $500$ pesos.