Medidas de posición
En la revisión médica, el pediatra le dice a los papás de un niño que su estatura está en el percentil $85$. No es una calificación ni una medida directa: es una posición relativa dentro de todo el grupo de niños de su edad. Las medidas de posición extienden la idea de mediana para ubicar cualquier dato dentro de la distribución, no solo el centro. Al final de la página sabrás qué significa ese $85$.
Mediana y cuartiles con datos sueltos
El rango intercuartil (RIC) es $Q_3-Q_1$: mide qué tan dispersa está la mitad central de los datos. En el ejemplo, $RIC=28-23=5$ goles.
El número de goles marcados por un equipo de handball en sus últimos 9 partidos ha sido: $24, 28, 21, 30, 25, 28, 22, 27, 26$. Calcula el primer cuartil ($Q_1$), la…
El número de goles marcados por un equipo de handball en sus últimos 9 partidos ha sido: $24, 28, 21, 30, 25, 28, 22, 27, 26$. Calcula el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) y el tercer cuartil ($Q_3$) de estos datos.
La duración de la batería, en horas, de 10 teléfonos celulares tras una carga completa es: $14, 18, 12, 15, 19, 11, 16, 15, 13, 17$. Determina la mediana y los cuartiles…
La duración de la batería, en horas, de 10 teléfonos celulares tras una carga completa es: $14, 18, 12, 15, 19, 11, 16, 15, 13, 17$. Determina la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$ de la duración de las baterías.
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante 12 días consecutivos de primavera han sido, en grados Celsius:…
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante 12 días consecutivos de primavera han sido, en grados Celsius: $18, 20, 22, 19, 21, 24, 25, 23, 20, 19, 26, 22$. Calcula el rango intercuartílico (diferencia entre el tercer y el primer cuartil) de las temperaturas.
Percentiles y deciles
Con datos sueltos, se ordena la lista y se calcula la posición $\dfrac{k\times N}{100}$. Si no es entera, el percentil es el dato de la posición siguiente; si es entera, se promedia ese dato con el que sigue.
Así se cierra el gancho: que la estatura del niño esté en $P_{85}$ significa que el $85\,\%$ de los niños de su edad miden igual o menos que él, y el $15\,\%$ restante es más alto.
El número de páginas leídas en un día por un grupo de 15 estudiantes es: $12, 20, 8, 15, 30, 25, 10, 18, 22, 14, 35, 28, 16, 24, 19$. Halla el percentil $60$ ($P_{60}$)…
El número de páginas leídas en un día por un grupo de 15 estudiantes es: $12, 20, 8, 15, 30, 25, 10, 18, 22, 14, 35, 28, 16, 24, 19$. Halla el percentil $60$ ($P_{60}$) e interpreta su significado en el contexto del problema.
En la revisión médica anual, el pediatra le dice a los padres de un niño que su altura se encuentra en el percentil $85$ ($P_{85}$) para su edad. Explica detalladamente…
En la revisión médica anual, el pediatra le dice a los padres de un niño que su altura se encuentra en el percentil $85$ ($P_{85}$) para su edad. Explica detalladamente qué significa este dato estadístico en relación con el resto de niños de su misma edad.
Cálculo con tabla de frecuencias
Cuando los datos vienen en una tabla, el cuartil (o percentil) es el primer valor $x_i$ cuya frecuencia acumulada $F_i$ alcanza la posición buscada.
Con la misma tabla, los percentiles funcionan igual (ampliación): para $P_{20}$ la posición es $0.20\times30=6$, que coincide exactamente con $F=6$ (talla $41$); se promedia con la siguiente talla: $P_{20}=\dfrac{41+42}{2}=41.5$. Para $P_{80}$ la posición es $24$ y el primer $F_i\ge24$ es $26$ (talla $44$): $P_{80}=44$.
En una encuesta realizada a 20 familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, se han obtenido los siguientes resultados: 0 mascotas: 6 familias 1 mascota: 8…
En una encuesta realizada a 20 familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, se han obtenido los siguientes resultados:
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0 mascotas: 6 familias
-
1 mascota: 8 familias
-
2 mascotas: 4 familias
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3 mascotas: 2 familias
Calcula la mediana del número de mascotas.
Se ha preguntado a los 25 alumnos de una clase cuántos días a la semana practican deporte. Los resultados se muestran en la tabla: | Días | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |…
Se ha preguntado a los 25 alumnos de una clase cuántos días a la semana practican deporte. Los resultados se muestran en la tabla:
| Días | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Alumnos | 3 | 5 | 7 | 6 | 2 | 2 |
Determina el primer y el tercer cuartil de esta distribución.
Las tallas de calzado de los 30 jugadores de un club de básquetbol se distribuyen según la siguiente tabla: | Talla | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |…
Las tallas de calzado de los 30 jugadores de un club de básquetbol se distribuyen según la siguiente tabla:
| Talla | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencia | 2 | 4 | 7 | 8 | 5 | 3 | 1 |
Calcula los percentiles $P_{20}$ y $P_{80}$ de la distribución e interpreta los resultados obtenidos en el contexto del problema.
Las edades de un grupo de 6 amigos son: $14, 15, 15, 16, 17, 18$. Un nuevo amigo se une al grupo. Determina qué edad debe tener este nuevo integrante para que la mediana…
Las edades de un grupo de 6 amigos son: $14, 15, 15, 16, 17, 18$. Un nuevo amigo se une al grupo. Determina qué edad debe tener este nuevo integrante para que la mediana de las edades de todo el grupo pase a ser exactamente de $16$ años.
Interpolación lineal en datos agrupados
Con datos en intervalos no hay un dato exacto en cada posición: se interpola, suponiendo que los datos se reparten de manera uniforme dentro del intervalo.
El tiempo, en minutos, que un grupo de 40 adolescentes pasa al día en redes sociales se ha agrupado en la siguiente tabla: | Tiempo (min) | $[30, 60)$ | $[60, 90)$ |…
El tiempo, en minutos, que un grupo de 40 adolescentes pasa al día en redes sociales se ha agrupado en la siguiente tabla:
| Tiempo (min) | $[30, 60)$ | $[60, 90)$ | $[90, 120)$ | $[120, 150)$ | $[150, 180)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencia | 4 | 10 | 14 | 8 | 4 |
Identifica la clase mediana y calcula el valor exacto de la mediana utilizando la fórmula de interpolación lineal.
La distancia, en kilómetros, que recorren diariamente 50 empleados para llegar a su lugar de trabajo se distribuye de la siguiente manera: | Distancia (km) | $[0, 5)$ |…
La distancia, en kilómetros, que recorren diariamente 50 empleados para llegar a su lugar de trabajo se distribuye de la siguiente manera:
| Distancia (km) | $[0, 5)$ | $[5, 10)$ | $[10, 15)$ | $[15, 20)$ | $[20, 25)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Empleados | 12 | 18 | 10 | 6 | 4 |
Calcula el percentil $90$ ($P_{90}$) utilizando la fórmula de interpolación lineal y explica qué información proporciona este valor a la empresa para planificar los lugares de estacionamiento o apoyos de transporte.
El peso, en gramos, de 60 manzanas recolectadas en un huerto se ha tabulado en intervalos: | Peso (g) | $[120, 140)$ | $[140, 160)$ | $[160, 180)$ | $[180, 200)$ |…
El peso, en gramos, de 60 manzanas recolectadas en un huerto se ha tabulado en intervalos:
| Peso (g) | $[120, 140)$ | $[140, 160)$ | $[160, 180)$ | $[180, 200)$ | $[200, 220)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Manzanas | 5 | 15 | 25 | 10 | 5 |
Calcula el rango intercuartílico de los pesos de las manzanas utilizando la interpolación lineal para hallar previamente $Q_1$ y $Q_3$.
La cantidad de lluvia mensual, en mm, registrada en una región durante varios años se agrupa en la siguiente tabla: | Lluvia (mm) | $[10, 30)$ | $[30, 50)$ | $[50, 70)$…
La cantidad de lluvia mensual, en mm, registrada en una región durante varios años se agrupa en la siguiente tabla:
| Lluvia (mm) | $[10, 30)$ | $[30, 50)$ | $[50, 70)$ | $[70, 90)$ | $[90, 110)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Meses | 8 | 15 | 22 | 10 | 5 |
Halla el valor de $k$ tal que el percentil $P_k$ sea exactamente $65$ mm. ¿Qué porcentaje de meses llovió menos de esa cantidad?
La distribución de los ingresos mensuales, en cientos de pesos, de una colonia residencial se agrupa en la siguiente tabla: | Ingresos | $[200, 300)$ | $[300, 400)$ |…
La distribución de los ingresos mensuales, en cientos de pesos, de una colonia residencial se agrupa en la siguiente tabla:
| Ingresos | $[200, 300)$ | $[300, 400)$ | $[400, 500)$ | $[500, 600)$ | $[600, 800)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Familias | 15 | 35 | 40 | 20 | 10 |
Calcula el primer decil ($D_1$) y el noveno decil ($D_9$). Posteriormente, halla la razón $\frac{D_9}{D_1}$ y explica qué indica este cociente sobre la desigualdad económica en la colonia.
Lectura gráfica: diagrama de caja y bigotes
Ampliación: polígono de frecuencias acumuladas
En un polígono de frecuencias acumuladas, $P_k$ se lee trazando una horizontal a la altura $kN/100$ hasta la curva y bajando al eje de valores. Para $Q_1$ la altura es $N/4$; para la mediana, $N/2$; para $Q_3$, $3N/4$.
El siguiente diagrama de caja y bigotes representa los precios, en pesos, de los boletos para distintos conciertos en una ciudad durante el verano. Identifica el precio…
El siguiente diagrama de caja y bigotes representa los precios, en pesos, de los boletos para distintos conciertos en una ciudad durante el verano. Identifica el precio mínimo, el precio máximo, la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$.
El siguiente polígono de frecuencias acumuladas muestra la distribución de los salarios mensuales, en pesos, de los 50 empleados de una empresa tecnológica. A partir de…
El siguiente polígono de frecuencias acumuladas muestra la distribución de los salarios mensuales, en pesos, de los 50 empleados de una empresa tecnológica. A partir de la gráfica, estima de forma aproximada el valor de la mediana ($Me$), el primer cuartil ($Q_1$) y el tercer cuartil ($Q_3$).
El diagrama de caja y bigotes adjunto representa la vida útil, en horas, de una muestra de 200 bombillas LED de una determinada marca. Responde a las siguientes…
El diagrama de caja y bigotes adjunto representa la vida útil, en horas, de una muestra de 200 bombillas LED de una determinada marca. Responde a las siguientes preguntas justificando tus respuestas:
- a) ¿Qué porcentaje de bombillas dura más de $1500$ horas?
- b) ¿Entre qué valores se encuentra el $50\%$ central de la distribución?
- c) ¿Cuántas bombillas exactamente duraron menos de $1200$ horas?
Los siguientes diagramas de caja y bigotes muestran las calificaciones obtenidas en un examen de Ciencias por dos clases diferentes, A y B. a) ¿Qué clase tiene una mayor…
Los siguientes diagramas de caja y bigotes muestran las calificaciones obtenidas en un examen de Ciencias por dos clases diferentes, A y B.
- a) ¿Qué clase tiene una mayor dispersión en el $50\%$ central de sus notas?
- b) ¿En qué clase es mayor la nota que delimita el $75\%$ de las calificaciones más bajas?
- c) ¿Cuál de las dos clases consideras que ha tenido un rendimiento más homogéneo en general? Justifica tu respuesta.
El siguiente gráfico representa el polígono de frecuencias acumuladas del tiempo de carga, en minutos, de la batería de 40 vehículos eléctricos. A partir del gráfico,…
El siguiente gráfico representa el polígono de frecuencias acumuladas del tiempo de carga, en minutos, de la batería de 40 vehículos eléctricos. A partir del gráfico, reconstruye la tabla de frecuencias absolutas por intervalos y calcula de forma analítica el tercer cuartil ($Q_3$). Compara el resultado analítico con el valor que se observa directamente en el gráfico.
Los tiempos de reacción, en milisegundos, de 15 jugadores profesionales en un videojuego son:…
Los tiempos de reacción, en milisegundos, de 15 jugadores profesionales en un videojuego son: $210, 245, 215, 230, 220, 250, 215, 225, 240, 235, 218, 222, 260, 228, 232$.
Calcula los cinco valores resumen (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) de este grupo. Si un jugador amateur tiene un diagrama de caja cuyos cuartiles son $Q_1 = 240$ y $Q_3 = 280$, razona estadísticamente si es posible afirmar que más del $25\%$ de los jugadores profesionales tienen tiempos de reacción peores (mayores) que el $25\%$ de los jugadores amateur más rápidos.
Razonar con las posiciones
Las medidas de posición no cambian de forma caprichosa cuando se transforman los datos. Si a todos los datos se les multiplica por $a>0$ y se les suma $b$, cada cuartil se transforma igual: $Q'=a\,Q+b$.
¿Por qué? Esa transformación conserva el orden de los datos, así que el dato que quedaba en cada posición sigue quedando ahí.
Media, moda y mediana restringen los datos
Para reconstruir una lista de datos puedes combinar pistas:
-
La media $\bar{x}$ fija la suma: $\text{suma}=\bar{x}\times N$.
-
La mediana fija el dato central (o el promedio de los dos centrales si $N$ es par).
-
La moda $Mo$ es el valor que más se repite; si es única, ningún otro valor puede repetirse tantas veces como ella.
-
Los cuartiles fijan qué valores quedan en cada mitad.
En una aplicación de música, las valoraciones (de 1 a 5 estrellas) dadas por un grupo de usuarios tienen la siguiente distribución: | Valoración | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |…
En una aplicación de música, las valoraciones (de 1 a 5 estrellas) dadas por un grupo de usuarios tienen la siguiente distribución:
| Valoración | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Usuarios | 4 | $x$ | 12 | 15 | 9 |
Se sabe que la mediana de las valoraciones es $3.5$ estrellas. Determina el valor de la frecuencia desconocida $x$ razonando tu respuesta, y a continuación calcula el primer cuartil ($Q_1$) de la distribución.
Una tienda de electrónica tiene una lista de precios para 20 modelos de auriculares. Se sabe que el primer cuartil de los precios es $600$ pesos, la mediana es $900$…
Una tienda de electrónica tiene una lista de precios para 20 modelos de auriculares. Se sabe que el primer cuartil de los precios es $600$ pesos, la mediana es $900$ pesos y el tercer cuartil es $1\,200$ pesos. Por la semana del "Black Friday", la tienda aplica un descuento del $20\%$ a todos los auriculares y, además, descuenta $100$ pesos extra en caja. Determina cuáles serán los nuevos valores de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ tras aplicar la promoción, justificando matemáticamente tu respuesta.
Las calificaciones de un examen de 6 estudiantes son números enteros del 1 al 10. Se sabe que la media aritmética es $6.5$, la mediana es $6.5$, la moda es $7$ (y es…
Las calificaciones de un examen de 6 estudiantes son números enteros del 1 al 10. Se sabe que la media aritmética es $6.5$, la mediana es $6.5$, la moda es $7$ (y es única), y el primer cuartil ($Q_1$) es $5$. Reconstruye las calificaciones exactas de los 6 estudiantes explicando paso a paso el razonamiento seguido.
Se ha estudiado la vida útil, en miles de kilómetros, de dos marcas de neumáticos, X e Y. Para la marca X: | Vida útil (miles km) | $[30, 40)$ | $[40, 50)$ | $[50, 60)$…
Se ha estudiado la vida útil, en miles de kilómetros, de dos marcas de neumáticos, X e Y.
Para la marca X:
| Vida útil (miles km) | $[30, 40)$ | $[40, 50)$ | $[50, 60)$ | $[60, 70)$ |
|---|---|---|---|---|
| Neumáticos | 10 | 25 | 15 | 0 |
Para la marca Y:
| Vida útil (miles km) | $[30, 40)$ | $[40, 50)$ | $[50, 60)$ | $[60, 70)$ |
|---|---|---|---|---|
| Neumáticos | 5 | 15 | 20 | 10 |
Calcula el rango intercuartílico de ambas marcas y determina cuál de las dos ofrece una vida útil más consistente (menos dispersa en el $50\%$ central).