Eventos compuestos
Lanzas dos monedas, sacas dos cartas, o primero eliges una urna y luego una bola: son experimentos compuestos, formados por varias etapas. ¿Cómo se combinan las probabilidades de cada etapa? Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca si una moneda decide de qué urna se extrae? Al final de la página lo resolvemos.
Experimentos en varias etapas
Si las etapas no se influyen entre sí (dos monedas, un dado y una moneda, dos ruletas), la probabilidad de cada etapa es la de siempre y basta multiplicar. Por ejemplo, para dos cruces: $\frac12 \times \frac12 = \frac14$.
Contrasta el cálculo con una simulación
¿Cómo saber que $\frac14$ es razonable? Simúlalo. Con la herramienta de azar de arriba, o en una hoja de cálculo, repite el experimento muchas veces: en una celda escribe =ALEATORIO.ENTRE(0,1) (en inglés, RANDBETWEEN) para una moneda, usa 0 = cruz y 1 = águila, y copia la fórmula en dos columnas, una por moneda. Marca cada fila donde las dos monedas sean cruz y calcula la frecuencia relativa:
Con $20$ repeticiones el resultado puede quedar lejos de $0.25$. Con $1{,}000$ se acerca mucho: al aumentar las repeticiones, la frecuencia relativa tiende a la probabilidad teórica. Haz esto con cada ejercicio de este apartado cuando dudes de tu resultado.
Lanzamos dos monedas al aire de forma independiente. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos cruces.
Lanzamos dos monedas al aire de forma independiente. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos cruces.
Lanzamos un dado cúbico equilibrado (con las caras numeradas del $1$ al $6$) y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el dado y una cara en la…
Lanzamos un dado cúbico equilibrado (con las caras numeradas del $1$ al $6$) y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el dado y una cara en la moneda?
Hacemos girar las dos ruletas independientes que se muestran en la figura. Calcula la probabilidad de que la primera ruleta marque el número $3$ y la segunda ruleta…
Hacemos girar las dos ruletas independientes que se muestran en la figura. Calcula la probabilidad de que la primera ruleta marque el número $3$ y la segunda ruleta marque el color verde (V).
En una calle hay dos semáforos independientes. La probabilidad de que el primero esté en verde es de $0.4$ y la probabilidad de que el segundo esté en verde es de $0.5$.…
En una calle hay dos semáforos independientes. La probabilidad de que el primero esté en verde es de $0.4$ y la probabilidad de que el segundo esté en verde es de $0.5$. Halla la probabilidad de encontrarse los dos semáforos en verde al pasar por esa calle.
Regla del producto
Con la misma idea se resuelven problemas donde la incógnita es el número de bolas.
En una caja hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extrae una bola, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Halla la probabilidad de…
En una caja hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extrae una bola, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Halla la probabilidad de que ambas bolas sean rojas.
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas consecutivamente sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las dos cartas sean Reyes.
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas consecutivamente sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las dos cartas sean Reyes.
En un restaurante, el $60\%$ de los clientes pide menú del día y el $40\%$ pide a la carta. De los que piden menú, el $70\%$ toma postre. De los que piden a la carta, el…
En un restaurante, el $60\%$ de los clientes pide menú del día y el $40\%$ pide a la carta. De los que piden menú, el $70\%$ toma postre. De los que piden a la carta, el $50\%$ toma postre. Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar pida menú del día y tome postre.
En una clase de 4º ESO hay $12$ chicos y $18$ chicas. Se sabe que $4$ chicos y $6$ chicas llevan gafas. Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de…
En una clase de 4º ESO hay $12$ chicos y $18$ chicas. Se sabe que $4$ chicos y $6$ chicas llevan gafas. Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica que lleva gafas?
Se extraen tres cartas consecutivamente y sin reemplazo de una baraja española de $40$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener tres cartas del palo de oros.
Se extraen tres cartas consecutivamente y sin reemplazo de una baraja española de $40$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener tres cartas del palo de oros.
En una unidad deportiva se ofrecen clases de tenis y pádel. Hay $120$ socios inscritos en estas clases, y cada socio practica un solo deporte. Se sabe que $70$ socios…
En una unidad deportiva se ofrecen clases de tenis y pádel. Hay $120$ socios inscritos en estas clases, y cada socio practica un solo deporte. Se sabe que $70$ socios juegan pádel y que hay $50$ mujeres en total. Además, $30$ mujeres juegan tenis. Si se elige un socio al azar, calcula la probabilidad de que sea un hombre que juega pádel.
Una urna contiene $x$ bolas blancas y $5$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Si sabemos que la probabilidad de que ambas bolas…
Una urna contiene $x$ bolas blancas y $5$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Si sabemos que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es de $\frac{1}{6}$, plantea una ecuación de segundo grado y determina el número inicial de bolas blancas $x$ que había en la urna.
Dos caminos hacia el mismo resultado
Cuando la primera etapa tiene varias opciones y cada una lleva a una segunda etapa distinta, hay que sumar la probabilidad de todos los caminos que llevan al resultado buscado. A esto se le llama probabilidad total: calculas $P(\text{resultado})$ aunque no sepas por qué camino llegó.
Así se cierra el gancho: la probabilidad de blanca es $\frac{25}{48}\approx 0.52$.
Esa es la pregunta que piden los ejercicios de esta sección: la probabilidad de positivo. Pero también puedes preguntar al revés: si alguien dio positivo, ¿qué tan probable es que esté enfermo? Imagina $1{,}000$ personas: $45$ enfermas con positivo y $38$ sanas con positivo, es decir, $83$ positivos en total. De esos $83$, están enfermos $45$, así que la probabilidad es $\frac{45}{83}\approx 0.54$. Es la probabilidad del camino «enfermo y positivo» dividida entre la probabilidad total de positivo: $\frac{0.045}{0.083}$. Esta idea (Bayes) se estudia con detalle en los apartados de dependencia y de árboles.
Lo mismo funciona cuando la primera etapa es una extracción y no se ve el resultado: se separan los casos posibles de la primera etapa, se calcula cada camino y se suman.
Disponemos de dos urnas. La urna $A$ contiene $4$ bolas blancas y $2$ negras. La urna $B$ contiene $3$ bolas blancas y $5$ negras. Lanzamos una moneda equilibrada; si…
Disponemos de dos urnas. La urna $A$ contiene $4$ bolas blancas y $2$ negras. La urna $B$ contiene $3$ bolas blancas y $5$ negras. Lanzamos una moneda equilibrada; si sale águila, extraemos una bola de la urna $A$, y si sale sol, extraemos una bola de la urna $B$. Halla la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos máquinas. La máquina $M_1$ produce el $60\%$ de los componentes y la máquina $M_2$ el $40\%$ restante. Se sabe que el…
Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos máquinas. La máquina $M_1$ produce el $60\%$ de los componentes y la máquina $M_2$ el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de los componentes producidos por $M_1$ son defectuosos, mientras que el $5\%$ de los producidos por $M_2$ son defectuosos. Si se selecciona un componente al azar en el almacén, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
En un juego, un participante extrae primero una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si la carta extraída es del palo de copas, lanza un dado cúbico equilibrado…
En un juego, un participante extrae primero una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si la carta extraída es del palo de copas, lanza un dado cúbico equilibrado (del $1$ al $6$). Si la carta NO es de copas, lanza una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que el participante termine obteniendo un $5$ en el dado?
Tenemos dos cajas. La caja 1 contiene $3$ fichas rojas y $2$ verdes. La caja 2 contiene $1$ ficha roja y $4$ verdes. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y, sin…
Tenemos dos cajas. La caja 1 contiene $3$ fichas rojas y $2$ verdes. La caja 2 contiene $1$ ficha roja y $4$ verdes. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y, sin mirar su color, se introduce en la caja 2. A continuación, se extrae una ficha al azar de la caja 2. Calcula la probabilidad de que esta segunda ficha sea roja.
Una prueba médica para detectar una enfermedad tiene las siguientes características: si una persona está enferma, la prueba da positivo en el $95\%$ de los casos. Si la…
Una prueba médica para detectar una enfermedad tiene las siguientes características: si una persona está enferma, la prueba da positivo en el $95\%$ de los casos. Si la persona está sana, la prueba da positivo (falso positivo) en el $3\%$ de los casos. Se sabe que el $2\%$ de la población padece esta enfermedad. Si se elige a una persona al azar y se le realiza la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea positivo?
Disponemos de dos urnas. La urna $U_1$ contiene $2$ bolas rojas y $2$ bolas negras. La urna $U_2$ está inicialmente vacía. Se extraen simultáneamente dos bolas de $U_1$…
Disponemos de dos urnas. La urna $U_1$ contiene $2$ bolas rojas y $2$ bolas negras. La urna $U_2$ está inicialmente vacía. Se extraen simultáneamente dos bolas de $U_1$ y se introducen en $U_2$. A continuación, se extrae una bola al azar de $U_2$. Calcula la probabilidad de que la bola extraída de $U_2$ sea roja.
Sumar los órdenes posibles
A veces el resultado se logra de varias maneras según el orden en que ocurren las cosas. Cada orden es un camino distinto: se multiplica a lo largo de cada uno y luego se suman los caminos.
Si un evento tiene probabilidad $p$ en cada intento independiente, «exactamente uno de dos» tiene probabilidad $p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p)$: hay dos órdenes.
Dos equipos de e-sports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas se proclama campeón). La probabilidad de…
Dos equipos de e-sports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas se proclama campeón). La probabilidad de que Alpha gane una partida es $0.6$ y la de que gane Beta es $0.4$ (no hay empates). Los resultados de las partidas son independientes. Calcula la probabilidad de que el equipo Alpha gane el torneo.
En un congreso internacional, el $40\%$ de los asistentes son europeos y el $60\%$ son americanos. Se sabe que el $30\%$ de los europeos y el $20\%$ de los americanos…
En un congreso internacional, el $40\%$ de los asistentes son europeos y el $60\%$ son americanos. Se sabe que el $30\%$ de los europeos y el $20\%$ de los americanos son bilingües. Si seleccionamos a dos asistentes al azar con reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los dos sea bilingüe?
Probabilidad como cociente de áreas
En un dardo o una ruleta, el punto de impacto puede caer en cualquier lugar de la superficie. Si todos los puntos son igual de probables, la probabilidad de caer en una región es la fracción del área total que ocupa:
$$P(\text{región})=\frac{\text{área de la región}}{\text{área total}}$$Es la misma idea de «casos favorables entre casos posibles», pero midiendo superficies.
Se lanza un dardo a la diana de la figura, formada por dos círculos concéntricos de radios $R$ y $2R$. El dardo siempre impacta en la diana y la probabilidad de impactar…
Se lanza un dardo a la diana de la figura, formada por dos círculos concéntricos de radios $R$ y $2R$. El dardo siempre impacta en la diana y la probabilidad de impactar en una región es proporcional a su área. Si se lanzan dos dardos de forma independiente, calcula la probabilidad de que un dardo caiga en la zona central (A) y el otro en la zona exterior (B).
«Al menos uno»
El complemento también sirve cuando los intentos son dependientes: se multiplican probabilidades condicionadas.
Dos jugadoras de básquetbol, Marta y Laura, lanzan un tiro libre cada una. La probabilidad de que Marta enceste es $0.8$ y la probabilidad de que Laura enceste es $0.7$.…
Dos jugadoras de básquetbol, Marta y Laura, lanzan un tiro libre cada una. La probabilidad de que Marta enceste es $0.8$ y la probabilidad de que Laura enceste es $0.7$. Sus lanzamientos son eventos independientes. Calcula la probabilidad de que al menos una de las dos enceste su tiro libre.
Un arquero tiene una probabilidad de $0.85$ de dar en el centro de la diana en cada disparo. Si realiza tres disparos consecutivos e independientes, halla la…
Un arquero tiene una probabilidad de $0.85$ de dar en el centro de la diana en cada disparo. Si realiza tres disparos consecutivos e independientes, halla la probabilidad de que falle los tres disparos.
El siguiente esquema muestra un sistema de tuberías con tres válvulas $A$, $B$ y $C$. El agua fluye de izquierda a derecha. Para que el agua llegue al final, debe pasar…
El siguiente esquema muestra un sistema de tuberías con tres válvulas $A$, $B$ y $C$. El agua fluye de izquierda a derecha. Para que el agua llegue al final, debe pasar por la válvula $A$ o por la rama inferior que contiene las válvulas $B$ y $C$ en serie. Las probabilidades de que las válvulas estén abiertas son $P(A) = 0.7$, $P(B) = 0.8$ y $P(C) = 0.9$. Sabiendo que el funcionamiento de cada válvula es independiente, calcula la probabilidad de que el agua logre atravesar el sistema.
Se extraen cartas de una baraja española de $40$ cartas una a una y sin reemplazo, hasta que aparezca el primer As. El experimento termina en el momento en que sale un…
Se extraen cartas de una baraja española de $40$ cartas una a una y sin reemplazo, hasta que aparezca el primer As. El experimento termina en el momento en que sale un As o cuando se han extraído $3$ cartas como máximo. Calcula la probabilidad de que el experimento termine habiendo encontrado un As.