Propiedades de los radicales y racionalización

Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:

1. a) $\sqrt{72}$
2. b) $\sqrt[3]{250}$

Introduce los factores enteros dentro del radical y simplifica si es posible:

1. a) $3 \sqrt{5}$
2. b) $2 \sqrt[4]{3}$

Simplifica los siguientes radicales dividiendo el índice y el exponente por su máximo común divisor:

1. a) $\sqrt[6]{27}$
2. b) $\sqrt[8]{16}$

Expresa como un único radical y simplifica el resultado:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)^6$

Extrae todos los factores posibles de la siguiente raíz y simplifica la expresión resultante:

$\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$

Realiza las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:

1. a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
2. b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$

Realiza la siguiente operación, extrayendo primero los factores necesarios para que los radicales sean semejantes:

$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$

Demuestra, desarrollando los productos notables y simplificando, que el resultado de la siguiente expresión es un número entero:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$

Realiza las siguientes multiplicaciones de radicales con el mismo índice y extrae factores si es posible:

1. a) $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{10}$

Reduce a índice común y realiza la siguiente multiplicación y división de radicales:

$\frac{\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$

Simplifica la siguiente expresión introduciendo los factores en el radical más interior y expresándolo como una única raíz:

$\sqrt{2 \times \sqrt[3]{2}}$

Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados, expresando el resultado como una única raíz:

$\sqrt{2 \times \sqrt[3]{4 \times \sqrt{8}}}$

Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones y simplifica el resultado:

1. a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
2. b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$

Racionaliza las siguientes expresiones multiplicando por el conjugado del denominador:

1. a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
2. b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Racionaliza las siguientes fracciones con raíces de índice mayor que 2:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$
2. b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$

Racionaliza el denominador y simplifica al máximo la siguiente expresión:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Realiza la siguiente operación combinada con fracciones irracionales. Para ello, racionaliza primero cada fracción por separado y luego efectúa la resta:

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Racionaliza el denominador de la siguiente fracción y simplifica al máximo operando el numerador:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

En un taller de carpintería, se va a cortar un tablero rectangular cuyas dimensiones exactas son $\sqrt{12}$ dm de ancho y $\sqrt{27}$ dm de largo. Calcula el área y el perímetro del tablero, expresando los resultados de forma exacta mediante radicales simplificados.

La velocidad $v$ (en m/s) de una onda que viaja por una cuerda tensa se calcula con la fórmula $v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$, donde $F$ es la tensión en newtons y $\mu$ la densidad lineal en kg/m. Si una cuerda de guitarra está sometida a una tensión $F = 12$ N y tiene una densidad $\mu = 5$ kg/m, halla el valor exacto de $v$. Racionaliza el denominador y extrae los factores posibles.

Calcula la longitud exacta de la diagonal principal $D$ de un cubo cuya arista mide $a = \sqrt{5}$ cm. Recuerda que la diagonal de un cubo se calcula como $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Expresa el resultado de la forma más simplificada posible.

En diseño gráfico, las proporciones basadas en el número áureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se consideran estéticamente perfectas. Un lienzo tiene forma de rectángulo áureo (el cociente entre su lado mayor y su lado menor es $\phi$). Si el lado menor del lienzo mide exactamente $\sqrt{5}-1$ metros, calcula la longitud exacta del lado mayor. Simplifica el resultado al máximo.

La fachada de una cabaña tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $\sqrt{6}$ metros y los dos lados iguales miden $\sqrt{15}$ metros cada uno. Calcula el valor exacto de la altura $h$ sobre la base y el área total de la fachada. Racionaliza los resultados si aparecen raíces en el denominador.

En física, la velocidad $v$ de un objeto se puede despejar a partir de su energía cinética $E_c$ y su masa $m$ mediante la fórmula $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$. Si un prototipo de vehículo tiene una masa de $m = \sqrt{3}$ kg y su energía cinética es $E_c = 45$ J, calcula el valor exacto de su velocidad. Racionaliza y extrae los factores posibles de la raíz resultante.