Ecuaciones cuadráticas

Aplica la fórmula general para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcula las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común:

$3x^2 + 15x = 0$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Determina si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.

Halla el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.

Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.

Escribe una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.

Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcula sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y el valor del coeficiente $b$.

Discute, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Asegúrate de analizar qué ocurre cuando el discriminante es positivo, nulo o negativo, y no olvides el caso especial en el que el coeficiente principal se anula.

Desarrolla los productos notables, agrupa los términos semejantes y resuelve la siguiente ecuación:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

Resuelve la siguiente ecuación operando previamente con fracciones algebraicas. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas para descartar posibles raíces falsas que anulen los denominadores:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Resuelve la siguiente ecuación en la que aparece un radical, aislando primero la raíz y elevando al cuadrado ambos miembros. Es obligatorio comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación original para descartar posibles raíces falsas:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

El cuadrado de un número natural menos su triple es exactamente igual a $18$. Plantea una ecuación de segundo grado y calcula de qué número se trata.

Para reformar el salón rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total del salón es de $35\text{ m}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula las dimensiones exactas de la estancia.

Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 40t - 5t^2$. Determina en qué instantes de tiempo el cohete se encuentra exactamente a $75\text{ m}$ de altura.

La venta de boletos del musical de la escuela deja una ganancia $B$ (en decenas de pesos) que depende del número de boletos vendidos $x$ (en decenas) según la ecuación $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calcula cuántos boletos deben vender exactamente para que la ganancia sea nula (el punto de equilibrio).

En una rampa de patinaje con forma de triángulo rectángulo, el cateto mayor mide $7\text{ m}$ más que el cateto menor, y la hipotenusa mide $2\text{ m}$ más que el cateto mayor. Plantea una ecuación de segundo grado utilizando el teorema de Pitágoras y calcula la longitud de los tres lados de la rampa.

Una fotografía rectangular de dimensiones $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura se va a enmarcar con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total del conjunto (fotografía más paspartú) debe ser exactamente de $500\text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la anchura $x$ del paspartú.

En una liga de voleibol, cada equipo juega exactamente un partido contra todos los demás. Sabiendo que el número total de partidos disputados en un torneo de $n$ equipos viene dado por la fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$, y que al finalizar la temporada se han disputado un total de $105$ partidos, plantea la ecuación correspondiente y averigua cuántos equipos participaron en la liga.

Dos mangueras de distinto grosor llenan juntas un depósito de agua en $6\text{ horas}$. Si se utilizara solo una de ellas, la manguera de menor grosor tardaría $5\text{ horas}$ más que la manguera gruesa en llenar el depósito por sí sola. Plantea una ecuación cuadrática sumando las fracciones de depósito que llena cada manguera en una hora, y calcula cuánto tiempo tardaría cada manguera trabajando individualmente.

Un escultor quiere dividir una varilla de latón de $1\text{ metro}$ de longitud en dos trozos de longitudes $x$ y $1-x$ (siendo $x$ el trozo mayor, es decir, $x > 1-x$). Desea hacerlo de tal forma que la proporción entre la varilla completa y el trozo mayor sea igual a la proporción entre el trozo mayor y el trozo menor. Plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $x$.

El área de un rectángulo es de $60\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $13\text{ cm}$. Llamando $x$ a la base e $y$ a la altura, expresa $y$ en función de $x$ usando el dato del área. A continuación, sustituye en el teorema de Pitágoras para la diagonal y resuelve la ecuación bicuadrada resultante para hallar las dimensiones exactas del rectángulo.

Un grupo de estudiantes renta un camión para una excursión por un costo total de $\$8\,000$. A última hora se anotan $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente tenga que pagar $\$80$ menos. Plantea una ecuación cuadrática para calcular cuántos estudiantes iban a ir al principio y resuélvela.