Sistemas de ecuaciones lineales 2×2
En un taller mecánico de Puebla hay autos y motos: 35 vehículos en total y 110 llantas, sin contar las de refacción. Una sola ecuación con dos incógnitas no se puede resolver, pero el enunciado te da dos condiciones. Dos ecuaciones y dos incógnitas: eso es un sistema. Si las dos condiciones son realmente independientes (no dicen lo mismo ni se contradicen), el sistema tiene una única solución; más adelante verás qué pasa cuando no lo son.
Qué es un sistema y cómo se comprueba una solución
Comprobar una solución es sustituir en las dos ecuaciones: $20+15=35$ ✓ y $4\times20+2\times15=80+30=110$ ✓. Si cumple solo una, no es solución del sistema.
Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x + 2y = 4$ $x - 4y = 6$
Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x + 2y = 4$
$x - 4y = 6$
Métodos algebraicos
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución: $x = 2y + 5$ $3x - 4y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:
$x = 2y + 5$
$3x - 4y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación: $y = 3x - 2$ $y = -x + 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:
$y = 3x - 2$
$y = -x + 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción: $5x + 3y = 21$ $2x - 3y = 0$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:
$5x + 3y = 21$
$2x - 3y = 0$
Sistemas con paréntesis y fracciones
Antes de aplicar un método conviene dejar cada ecuación en la forma $ax+by=c$: quita paréntesis con la propiedad distributiva y elimina denominadores multiplicando toda la ecuación por el mcm de los denominadores.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis: $2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$ $x - 4(y + 2) = -10$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis:
$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$
$x - 4(y + 2) = -10$
Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:
$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$
$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$
Significado gráfico: dos rectas
Cada ecuación del sistema es una recta en el plano. La solución es el punto donde se cortan. Este es el método gráfico: despeja $y$ en cada ecuación, haz una tabla con dos o tres puntos, traza las rectas y lee el punto de cruce. Comprueba siempre en las dos ecuaciones, porque leer la gráfica es aproximado.
Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de…
Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).
Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica: $x + y = 5$ $2x - y = 4$ Puedes hacerlo en papel y…
Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica:
$x + y = 5$
$2x - y = 4$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Clasificar sin resolver
Dos ecuaciones lineales no siempre dan una solución única: depende de si las condiciones son independientes. Puedes saber de qué tipo es un sistema $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ comparando las razones entre sus coeficientes. Si las rectas tienen la misma pendiente, son paralelas o la misma recta.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):…
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):
$kx + 3y = 5$
$4x - 2y = 7$
Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado): $3x - my = 12$ $-6x + 8y = -24$
Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado):
$3x - my = 12$
$-6x + 8y = -24$
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del…
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del gráfico, clasifica el sistema según su número de soluciones y explica qué relación algebraica debe existir entre los coeficientes de ambas ecuaciones para que se dé esta situación.
Problemas con sistemas lineales
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.
En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ cruasanes nos han cobrado $150$ pesos. Si compramos $1$ café y $4$ cruasanes del mismo tipo, el precio es de $130$ pesos. ¿Cuánto…
En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ cruasanes nos han cobrado $150$ pesos. Si compramos $1$ café y $4$ cruasanes del mismo tipo, el precio es de $130$ pesos. ¿Cuánto cuesta cada café y cada cruasán?
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Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular las edades actuales de ambos.
El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ metros. Si el largo de la parcela mide $10$ metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ metros. Si el largo de la parcela mide $10$ metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
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Un comerciante mezcla aceite de oliva de $80$ pesos/litro con aceite de girasol de $40$ pesos/litro para obtener $60$ litros de una mezcla que venderá a $70$ pesos/litro. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos litros de cada tipo de aceite ha utilizado.
En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $4$ pesos y otras de $10$ pesos. Si en total hay $250$ pesos, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?
En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $4$ pesos y otras de $10$ pesos. Si en total hay $250$ pesos, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?
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En un taller de reparación de vehículos hay entre autos y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las llantas de todos ellos (sin tomar en cuenta las de refacción), hay un total de $110$ llantas. ¿Cuántos autos y cuántas motos hay en el taller?
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En una tienda de electrónica, una laptop y una tableta cuestan juntas $30\,000$ pesos. Durante la semana de rebajas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la laptop y un $10\,\%$ a la tableta, por lo que el precio conjunto pasa a ser de $26\,100$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el precio original de cada artículo.
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Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ km, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en encontrarse. Si la velocidad del primer ciclista es $4$ km/h mayor que la del segundo, ¿a qué velocidad circula cada uno?
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En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ litros de una nueva disolución al $16\,\%$ de concentración. ¿Cuántos litros de cada disolución original se deben mezclar?
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Una persona invierte un total de $500\,000$ pesos en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el segundo le ofrece un $6\,\%$. Si al cabo de un año los beneficios totales obtenidos por ambos fondos ascienden a $26\,400$ pesos, ¿qué cantidad de dinero invirtió en cada uno de ellos?
Vuelve al principio: con $x$ autos e $y$ motos, $x+y=35$ y $4x+2y=110$ son dos condiciones independientes (las rectas se cortan) y dan $x=20$ autos y $y=15$ motos.