Inecuaciones
En una taquería, cada taco cuesta $\$20$ y Ximena lleva $\$150$. No pregunta «¿cuántos tacos compro?», sino «¿cuántos tacos puedo comprar?». Esa es la diferencia: una inecuación (o desigualdad) no tiene una sola respuesta, tiene un conjunto de respuestas. Al final de la página vamos a resolver el caso de Ximena.
Intervalos y qué significa resolver una inecuación
Por ejemplo, $-3 \le x < 5$ se escribe $[-3, 5)$: el $-3$ sí entra y el $5$ no.
Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$. Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con…
Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Primer grado
Se resuelven igual que una ecuación, con una regla extra: al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
¿Por qué? Sabemos que $2 < 5$. Si multiplicamos por $-1$ obtenemos $-2$ y $-5$, y ahora $-2 > -5$: al pasar a negativos el orden se invierte.
Con denominadores, primero se multiplica por el mcm, que es positivo, y así el sentido no cambia.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado:
$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resuelve la inecuación lineal con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resuelve la inecuación lineal con denominadores:
$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resuelve la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis: $\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$
Resuelve la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis:
$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$
Del lenguaje común a la desigualdad
Para plantear un problema hay que traducir bien las frases. Esta tabla te ayuda:
| En palabras | Símbolo |
|---|---|
| menos de, menor que | $<$ |
| como máximo, no más de, a lo más | $\le$ |
| más de, mayor que | $>$ |
| al menos, como mínimo, no menos de | $\ge$ |
Ahora cerramos el caso de Ximena: $20x \le 150$ da $x \le 7.5$. Como los tacos son enteros, puede comprar 7 como máximo.
Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".
Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".
Para aprobar una asignatura, un alumno debe tener una nota media de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha obtenido…
Para aprobar una asignatura, un alumno debe tener una nota media de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha obtenido un $3.5$ y un $4.2$, ¿qué nota deberá sacar en el tercer examen para aprobar? (La nota máxima es $10$).
Segundo grado
Se resuelve en tres pasos: pasar todo a un lado para comparar con $0$, hallar las raíces (factorizando o con la fórmula general) y estudiar el signo por tramos.
¿Por qué funciona? Una expresión como $(x-3)(x+2)$ solo puede cambiar de signo en sus raíces. Entre dos raíces consecutivas el signo no cambia, así que basta probar un valor en cada tramo.
Si el coeficiente de $x^2$ es negativo, puedes multiplicar por $-1$ invirtiendo el sentido, o bien estudiar los signos de la parábola que abre hacia abajo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expresa la solución como un intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expresa la solución como un intervalo.
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la…
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 30t - 5t^2$. ¿Durante qué intervalo de tiempo el cohete se encontrará a una altura estrictamente superior a $25$ metros?
Cuando la desigualdad depende de un parámetro
Una parábola $y = x^2 - mx + 9$ abre hacia arriba. Será positiva para todo $x$ cuando no toque el eje $x$: es decir, cuando no tenga raíces reales, o sea, cuando el discriminante $b^2 - 4ac$ sea negativo.
Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Con denominadores que tienen incógnita y de grado superior
Con una $x$ en el denominador no se multiplica por el denominador, porque no sabemos si es positivo o negativo. En su lugar:
-
Pasa todo a un lado para tener un lado igual a $0$.
-
Junta en una sola fracción.
-
Estudia el signo del numerador y del denominador por tramos.
Las raíces del denominador nunca entran en la solución, porque ahí la expresión no existe.
Para un polinomio de grado mayor, factorízalo primero y haz la misma tabla de signos con todas las raíces.
Resuelve la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes: $\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes:
$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio: $x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio:
$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$
Resuelve la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerda que no puedes eliminar denominadores que contengan la…
Resuelve la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerda que no puedes eliminar denominadores que contengan la incógnita):
$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$
Sistemas de inecuaciones
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita:
$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Encuentra la solución del siguiente sistema de inecuaciones: $\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
Encuentra la solución del siguiente sistema de inecuaciones:
$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre…
La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre qué valores se encuentra la medida de la altura?
Inecuaciones con dos incógnitas
Una inecuación como $x + y \le 4$ tiene por solución una región del plano (un semiplano), no un solo punto. La recta $x + y = 4$ es la frontera: se dibuja continua si la desigualdad es $\le$ o $\ge$ (los puntos de la recta sí entran) y discontinua si es $<$ o $>$.
Para comprobar un punto: sustituye sus coordenadas. Si la desigualdad se cumple, el punto está en la región. Para saber qué lado sombrear: prueba un punto fácil (casi siempre el origen) que no esté sobre la recta.
Comprueba si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.
Comprueba si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.
Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ litros y de $5$ litros, y que tiene estrictamente menos de $100$ litros de…
Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ litros y de $5$ litros, y que tiene estrictamente menos de $100$ litros de aceite, escribe una inecuación lineal con dos incógnitas que modele esta situación. Si ya ha llenado $10$ botellas de $5$ litros, ¿cuántas botellas de $2$ litros puede llenar como máximo?
Escribe el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.
Escribe el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.
Región factible y programación lineal
Un sistema de inecuaciones con dos incógnitas se resuelve dibujando cada semiplano; la solución es la zona donde todos se traslapan. A esa zona se le llama región factible, y cada inecuación del sistema es una restricción.
Para leer un sistema a partir de una región: por cada lado de la región, halla la ecuación de la recta que lo contiene y decide el sentido de la desigualdad probando un punto dentro de la región.
Con frecuencia no basta saber qué es posible: se quiere lo mejor posible, por ejemplo la mayor ganancia. Esa cantidad se llama función objetivo (aquí, una expresión lineal en $x$ e $y$).
Una pequeña empresa fabrica dos tipos de auriculares inalámbricos: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de…
Una pequeña empresa fabrica dos tipos de auriculares inalámbricos: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de calibración, mientras que el modelo Beta requiere $2$ horas de montaje y $2$ horas de calibración. La empresa dispone de un máximo de $120$ horas para montaje y $80$ horas para calibración a la semana. Plantea el sistema de inecuaciones que define la región factible e indica si sería posible fabricar $20$ auriculares Alfa y $25$ auriculares Beta en una semana.
Observa la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determina el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.
Observa la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determina el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.
Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ g de proteínas y no supere los $80$ g de grasas. Cada porción de…
Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ g de proteínas y no supere los $80$ g de grasas. Cada porción de $100$ g del alimento $A$ contiene $15$ g de proteínas y $10$ g de grasas. Cada porción de $100$ g del alimento $B$ contiene $10$ g de proteínas y $20$ g de grasas. Si llamamos $x$ e $y$ al número de porciones de $100$ g de los alimentos $A$ y $B$ consumidas respectivamente, plantea el sistema de inecuaciones y averigua si es posible consumir exactamente $3$ porciones de $A$ y $2$ porciones de $B$ cumpliendo las restricciones.
Valor absoluto
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y expresa su solución mediante un intervalo.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y expresa su solución mediante un intervalo.
Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado: $|x^2 - 5x| < 6$
Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado:
$|x^2 - 5x| < 6$
Resumen
Vuelve al principio: Ximena, con $\$150$ y tacos de $\$20$, resolvió $20x \le 150$ y obtuvo $x \le 7.5$. Puede comprar como máximo $7$ tacos.