Funciones lineales y = mx + b
Un taxi en la Ciudad de México cobra una cantidad fija al subirte (la bajada de bandera) y luego una cantidad por cada kilómetro. Si sabes a dónde vas, ¿puedes calcular cuánto pagarás antes de subir? Con una función lineal, sí. Al final de la página volvemos al taxi.
La función lineal y = mx + b
En esta página escribimos $b$ para la ordenada al origen (en algunos libros se usa $n$). Hay tres casos particulares:
-
Proporcionalidad directa: $b = 0$, es decir $y = mx$. La recta pasa por el origen $(0,0)$.
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Función lineal con ordenada al origen distinta de cero: $m \neq 0$, $b \neq 0$. No pasa por el origen.
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Función constante: $m = 0$, es decir $y = b$. Recta horizontal.
¿Por qué importa $b$? Si $b=0$, al duplicar $x$ se duplica $y$. Si $b\neq 0$, el término fijo no se duplica y se pierde la proporcionalidad directa.
Mueve los deslizadores y observa qué hace cada número:
Identifica la pendiente $m$ y la ordenada al origen $n$ de las siguientes funciones lineales: a) $y = -4x + 7$ b) $y = \frac{2}{5}x$ c) $y = -3$
Identifica la pendiente $m$ y la ordenada al origen $n$ de las siguientes funciones lineales:
- a) $y = -4x + 7$
- b) $y = \frac{2}{5}x$
- c) $y = -3$
Escribe la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada al origen es $-2$.
Escribe la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada al origen es $-2$.
Clasifica las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (y = mx), función lineal con ordenada al origen distinta de cero o función constante: a)…
Clasifica las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (y = mx), función lineal con ordenada al origen distinta de cero o función constante:
- a) $f(x) = 3x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x}{4}$
- c) $h(x) = 8$
Evaluar, pertenecer a la gráfica e intersecciones con los ejes
Calcular la imagen de $a$ es evaluar $f(a)$: sustituir $x$ por $a$. Para hallar para qué $x$ vale $f(x)=c$ se resuelve la ecuación $mx+b=c$.
Un punto $P(p, q)$ pertenece a la gráfica si y solo si $f(p)=q$: sustituyes y comparas.
Intersecciones con los ejes. Con el eje $Y$ se cumple $x=0$, así que el punto es $(0, b)$. Con el eje $X$ se cumple $y=0$, y se resuelve $mx+b=0$.
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 30x + 60$, donde $C(x)$ es el costo en pesos y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará un…
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 30x + 60$, donde $C(x)$ es el costo en pesos y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará un viaje de $8$ kilómetros?
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Encontrar la ecuación de una recta
Una recta se determina con dos datos independientes: pendiente y un punto, o dos puntos. Un solo punto no basta: por él pasan infinitas rectas.
Pendiente a partir de dos puntos. $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ Es la variación vertical entre la horizontal; si inviertes el cociente, cambias la inclinación.
Pendiente y un punto. Se sustituye el punto en $y = mx + b$ y se despeja $b$.
Rectas paralelas. Tienen la misma pendiente. Para una paralela a $y=3x-2$ que pase por $(-1, 4)$: $m=3$ y $4 = 3(-1)+b$, así $b=7$.
Parámetros. Si un punto está en la recta, se sustituye y se despeja. Por ejemplo, $y = kx+5$ pasa por $(3,-4)$ cuando $-4 = 3k+5$, es decir $k=-3$.
Dos rectas que se cortan. Se igualan las $y$: de $4x-5 = -2x+7$ sale $6x=12$, $x=2$, y luego $y=3$. Se cortan en $(2, 3)$.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente…
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente gráfica.
De la gráfica a la ecuación y área con los ejes
Para leer una recta en una gráfica, busca dónde corta al eje $Y$ (eso es $b$) y mide cuánto sube o baja $y$ por cada unidad que avanza $x$ (eso es $m$). También sirven dos puntos claros de la cuadrícula.
Si una recta corta a los ejes en $(a, 0)$ y $(0, c)$ en el primer cuadrante, forma un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $c$, y su área es $\dfrac{a\,c}{2}$.
Una recta que pasa por $(0, 5)$ y forma un triángulo de área $10$: el cateto vertical es $5$, así que $\frac{5a}{2}=10$ y $a=4$. Corta al eje $X$ en $(4, 0)$ y su pendiente es $\frac{0-5}{4-0}=-\frac54$.
A partir de la siguiente representación gráfica, determina la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación de la recta.
A partir de la siguiente representación gráfica, determina la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación de la recta.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el…
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el primer cuadrante.
Modelar con funciones lineales
Al leer un problema, busca dos cosas: lo que ya hay al inicio o se paga una sola vez (es $b$) y lo que cambia por cada unidad (es $m$). Si la cantidad disminuye, $m$ es negativa.
Utilidad. Si el costo es $C(x)$ e ingreso $R(x)$, la ganancia es $R(x)-C(x)$. Para "ganancia de al menos $G$" se plantea $R(x)-C(x)\geq G$ y se despeja $x$ (nota: es una desigualdad lineal).
Función inversa. Si $y=mx+b$ y quieres $x$ en función de $y$, despeja: $x = \dfrac{y-b}{m}$. Con $L = 15 + 0.2p$ resulta $p = \dfrac{L-15}{0.2}$; para $L=22$, $p=35$ g.
Dos reglas distintas. Cuando una situación cambia de regla (por ejemplo, una tarifa con tramos), se escribe una función por partes, una expresión lineal para cada tramo.
Un plomero cobra $600$ pesos por la visita a domicilio, más $300$ pesos por cada hora de trabajo. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo…
Un plomero cobra $600$ pesos por la visita a domicilio, más $300$ pesos por cada hora de trabajo. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo con el tiempo trabajado y calcula cuánto cobrará por una reparación que le toma $3.5$ horas.
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de…
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de agua en el depósito con el tiempo transcurrido y calcula en qué minuto el depósito se vaciará por completo.
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a…
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, y hierve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Encuentra la función lineal que permite convertir grados Celsius ($x$) a grados Fahrenheit ($y$).
Una fábrica de tenis tiene costos fijos mensuales de $100\,000$ pesos. Además, producir cada par de tenis cuesta $300$ pesos. Si la empresa vende cada par a $800$ pesos,…
Una fábrica de tenis tiene costos fijos mensuales de $100\,000$ pesos. Además, producir cada par de tenis cuesta $300$ pesos. Si la empresa vende cada par a $800$ pesos, escribe las funciones de costo $C(x)$ e ingresos $R(x)$. ¿Cuántos pares de tenis deben vender al mes para obtener una ganancia de al menos $40\,000$ pesos?
Un estacionamiento cobra $50$ pesos por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $1$ peso por cada minuto adicional. Escribe la función…
Un estacionamiento cobra $50$ pesos por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $1$ peso por cada minuto adicional. Escribe la función definida por partes $C(t)$ que representa el costo total en pesos en función del tiempo $t$ en minutos que un vehículo está estacionado.
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0.2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de…
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0.2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de la función inversa $p(L)$ y utilízala para calcular qué peso se ha colgado si el muelle mide exactamente $22$ cm.
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la…
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la función $d(t)$ y calcula cuál fue la velocidad constante del ciclista durante el viaje de regreso.
Problemas con parámetros
A veces la ecuación trae letras desconocidas. La idea es siempre la misma: igualar pendientes y ordenadas o sustituir un punto.
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada al origen es la mitad de la ordenada al origen de $r$. Determina la…
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada al origen es la mitad de la ordenada al origen de $r$. Determina la ecuación de la recta $s$.
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta…
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta (rectas coincidentes).
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de…
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de intersección de las rectas $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.