Eventos simples y probabilidad
Antes de un partido, el pronóstico dice «70 % de probabilidad de lluvia en Guadalajara». En una rifa de la escuela, ¿qué tan probable es que te toque? Para responder con orden hay que hacer dos cosas: describir bien el experimento y contar bien sus resultados. De eso trata esta página.
Experimento aleatorio y espacio muestral
Escribe el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en extraer una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$.
Escribe el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en extraer una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$.
Se lanzan al aire tres monedas equilibradas simultáneamente. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
Se lanzan al aire tres monedas equilibradas simultáneamente. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
Tipos de eventos
| Evento | Significado |
|---|---|
| Seguro | $A=E$: ocurre siempre, $P(A)=1$ |
| Imposible | $A=\emptyset$: nunca ocurre, $P(A)=0$ |
| Elemental | un solo resultado |
| Compuesto | varios resultados |
En el experimento de lanzar un dado de $6$ caras, clasifica los siguientes eventos en elementales, compuestos, seguros o imposibles: $A = $ "sacar un $4$" $B = $ "sacar…
En el experimento de lanzar un dado de $6$ caras, clasifica los siguientes eventos en elementales, compuestos, seguros o imposibles:
-
$A = $ "sacar un $4$"
-
$B = $ "sacar un número mayor que $6$"
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$C = $ "sacar un número par"
-
$D = $ "sacar un número menor que $10$"
Probabilidad: frecuencia y regla de Laplace
¿Cómo se asigna un número a «qué tan probable es»? Hay dos caminos.
Camino 1: la frecuencia. Repite el experimento muchas veces y calcula la frecuencia relativa: $\dfrac{\text{veces que ocurrió}}{\text{repeticiones}}$. Si el basquetbolista Diego encesta $64$ de $80$ tiros libres, estimamos que encesta con probabilidad $\dfrac{64}{80}=0.8$. Al aumentar las repeticiones (en una simulación con dados, por ejemplo), la frecuencia relativa se acerca cada vez más a la probabilidad teórica.
Camino 2: contar casos. Si todos los resultados son equiprobables (igual de posibles), no hace falta repetir nada.
Laplace también sirve cuando los casos son muchos y conviene contarlos con orden. Con dos dados hay $6\times 6=36$ resultados equiprobables; la suma $8$ sale con $(2, 6),(3, 5),(4, 4),(5, 3),(6, 2)$, es decir $5$ casos, y $P=\dfrac{5}{36}$.
En una caja de herramientas hay $12$ tornillos, $8$ tuercas y $5$ clavos. Si se extrae una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea una tuerca.
En una caja de herramientas hay $12$ tornillos, $8$ tuercas y $5$ clavos. Si se extrae una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea una tuerca.
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Calcula la probabilidad de obtener un caballo.
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Calcula la probabilidad de obtener un caballo.
Un jugador de básquetbol ha lanzado $80$ tiros libres durante la temporada, encestando $64$ de ellos. Utilizando la frecuencia relativa como estimación de la…
Un jugador de básquetbol ha lanzado $80$ tiros libres durante la temporada, encestando $64$ de ellos. Utilizando la frecuencia relativa como estimación de la probabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que falle su próximo tiro libre?
En una urna hay $x$ bolas rojas y $6$ bolas blancas. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola roja al azar es $\frac{2}{5}$, plantea una ecuación y determina…
En una urna hay $x$ bolas rojas y $6$ bolas blancas. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola roja al azar es $\frac{2}{5}$, plantea una ecuación y determina el número total de bolas que hay en la urna.
Probabilidad geométrica
A veces los resultados no se pueden contar: un dardo puede caer en infinitos puntos de una diana. Si cualquier punto es igual de probable, la probabilidad depende del tamaño de la zona favorable:
Una diana circular está formada por tres círculos concéntricos de radios $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ y $30\text{ cm}$. Si un dardo impacta al azar en cualquier punto…
Una diana circular está formada por tres círculos concéntricos de radios $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ y $30\text{ cm}$. Si un dardo impacta al azar en cualquier punto de la diana (garantizando que siempre acierta dentro del círculo mayor), calcula la probabilidad de que caiga en la corona circular intermedia (la zona comprendida entre el radio de $10\text{ cm}$ y el de $20\text{ cm}$).
Probabilidad de la unión
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir a la vez ($A\cap B=\emptyset$). Si pueden coincidir, son no excluyentes.
«A pero no B»: el evento diferencia
A veces se pide que ocurra $A$ y no ocurra $B$, es decir, $A\cap B^c$. Son los resultados de $A$ que quedan fuera de la parte común con $B$.
Si el problema no te da la intersección, primero la calculas con la fórmula de la unión (como en el ejemplo de natación y tenis) y después restas.
Considera el experimento de extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas. Indica si los eventos $A = $ "sacar una figura" y $B = $ "sacar un oro" son…
Considera el experimento de extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas. Indica si los eventos $A = $ "sacar una figura" y $B = $ "sacar un oro" son mutuamente excluyentes o no excluyentes. Justifica tu respuesta.
Sabiendo que la probabilidad de que ocurra un evento $A$ es $P(A) = \frac{9}{20}$, la probabilidad de que ocurra un evento $B$ es $P(B) = \frac{3}{10}$ y la probabilidad…
Sabiendo que la probabilidad de que ocurra un evento $A$ es $P(A) = \frac{9}{20}$, la probabilidad de que ocurra un evento $B$ es $P(B) = \frac{3}{10}$ y la probabilidad de que ocurran ambos a la vez es $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$, calcula la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos eventos.
En una clase de $30$ alumnos, $18$ practican natación, $15$ practican tenis y $5$ no practican ninguno de los dos deportes. Si se elige un alumno al azar, calcula la…
En una clase de $30$ alumnos, $18$ practican natación, $15$ practican tenis y $5$ no practican ninguno de los dos deportes. Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de que practique ambos deportes simultáneamente.
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ y $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Utilizando las propiedades de…
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ y $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Utilizando las propiedades de la probabilidad, calcula la probabilidad del evento complementario de la intersección, es decir, $P(\overline{A \cap B})$.
Una encuesta realizada a $200$ clientes de una cafetería revela que $120$ toman café, $90$ toman tostadas y $40$ no toman ninguna de las dos cosas. Si se elige un…
Una encuesta realizada a $200$ clientes de una cafetería revela que $120$ toman café, $90$ toman tostadas y $40$ no toman ninguna de las dos cosas. Si se elige un cliente al azar, calcula la probabilidad de que el cliente tome café pero NO tome tostadas.
Vuelve al principio: el «70 % de lluvia» es una probabilidad estimada con frecuencias: de días con condiciones parecidas, en $70$ de cada $100$ llovió. En la rifa, si hay $200$ boletos y compras $1$, tu probabilidad es $\dfrac{1}{200}=0.5\,\%$, muy lejos de $\frac12$.