Factorización y división sintética
Un polinomio factorizado es, para quien resuelve ecuaciones, lo que un plano de despiece es para quien arma un mueble: te dice por dónde se "rompe". Si $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$, de un vistazo sabes que $P(x)=0$ solo cuando $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. Aquí aprenderás a factorizar con factor común, productos notables, trinomios y agrupación; y, como ampliación, verás cómo la división sintética convierte polinomios más grandes en un plano así.
Factor común y productos notables
Factorizar siempre empieza igual: sacar todo el factor común posible. Es el MCD de los coeficientes y, de cada letra, la que aparece en todos los términos con su menor exponente. Después revisa si lo que queda es un producto notable.
| Producto notable | Factorización |
|---|---|
| Binomio al cuadrado | $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ |
| Binomio al cuadrado | $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ |
| Binomios conjugados | $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ |
| Trinomio $x^2+bx+c$ | $(x+p)(x+q)$ con $p+q=b$ y $p\cdot q=c$ |
Un trinomio es cuadrado perfecto si dos términos son cuadrados y el otro es el doble producto de sus raíces. Por ejemplo, $x^2-14x+49$: $x^2$ y $49=7^2$ son cuadrados, y $2\cdot x\cdot 7=14x$. Entonces $x^2-14x+49=(x-7)^2$.
Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo: $P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo:
$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Factoriza los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):…
Factoriza los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):
- a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
- b) $B(x) = 9x^2 - 16$
Un depósito de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del…
Un depósito de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del depósito es exactamente $x$, factoriza el polinomio para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las dimensiones de su base rectangular.
Factorización por agrupación
Si el polinomio tiene cuatro términos, a veces conviene agruparlos de dos en dos, sacar factor común en cada grupo y buscar un paréntesis repetido.
Y combinando todo, una diferencia de cuadrados puede repetirse: $x^4-81=(x^2+9)(x^2-9)=(x^2+9)(x+3)(x-3)$. El factor $x^2+9$ ya no se factoriza con números reales.
Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factoriza el polinomio al máximo para expresar el…
Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factoriza el polinomio al máximo para expresar el volumen como el producto de tres dimensiones lineales (largo, ancho y alto).
Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factoriza el polinomio completamente en polinomios irreducibles con…
Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factoriza el polinomio completamente en polinomios irreducibles con coeficientes reales para hallar las posibles expresiones algebraicas de su base y su altura.
Utilizando la factorización de polinomios y los productos notables, demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos,…
Utilizando la factorización de polinomios y los productos notables, demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, es siempre un múltiplo de $8$ para cualquier número entero $n$.
De los factores a los ceros
Factorizar sirve para saber cuándo un polinomio vale cero. Si un producto es $0$, alguno de sus factores es $0$. Por eso, en $2x(x+5)(x-4)^2=0$, basta igualar cada factor a cero.
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son…
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son simples, dobles, etc.).
La altura de un vagón de una montaña rusa, en metros, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia una bajada, se modeliza mediante el polinomio…
La altura de un vagón de una montaña rusa, en metros, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia una bajada, se modeliza mediante el polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos de tiempo el vagón se encuentra a ras de suelo ($H(t) = 0$).
El número de visitas a una web (en miles) durante el mes $x$ desde su lanzamiento viene dado por la expresión $V(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$. Factoriza la expresión para…
El número de visitas a una web (en miles) durante el mes $x$ desde su lanzamiento viene dado por la expresión $V(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$. Factoriza la expresión para averiguar en qué mes o meses las visitas fueron exactamente cero.
Ampliación: división sintética (regla de Ruffini)
Para polinomios de grado $3$ o más, el factor común y los productos notables casi nunca bastan. La herramienta es la división sintética (regla de Ruffini): si $a$ es una raíz, divide $P(x)$ entre $(x-a)$ trabajando solo con los coeficientes y da un cociente de un grado menos.
Se baja el primer coeficiente; cada resultado se multiplica por $a$ y se suma al siguiente coeficiente. El último número es el residuo.
Si el divisor es $(2x-3)$, divide entre $(x-\tfrac32)$ y luego divide el cociente entre $2$, porque $2x-3=2\left(x-\tfrac32\right)$. El residuo no cambia.
Aplica la división sintética (regla de Ruffini) para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indica claramente cuál es el…
Aplica la división sintética (regla de Ruffini) para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es el residuo de la división.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utiliza la división sintética (regla de Ruffini) para factorizarlo y encontrar las…
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utiliza la división sintética (regla de Ruffini) para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puedes utilizar la división sintética (regla de Ruffini) dividiendo…
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puedes utilizar la división sintética (regla de Ruffini) dividiendo entre $(x - \frac{3}{2})$ y ajustando posteriormente el cociente obtenido.
Ampliación: teorema del residuo y teorema del factor
Antes de armar la tabla con cualquier candidato, conviene saber si vale la pena. Para eso sirve el teorema del residuo.
También sirve para hallar parámetros: si $x^3+kx^2-3x+8$ debe dejar residuo $10$ al dividir entre $(x-2)$, se plantea $P(2)=10$ y se despeja $k$.
Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Ampliación: candidatos a raíz entera
Probar números al azar es ineficiente. Si los coeficientes son enteros, las raíces enteras están entre los divisores del término independiente.
Calcula el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Calcula el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio $P(x)$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprueba mediante el teorema del residuo o la división sintética (regla de…
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprueba mediante el teorema del residuo o la división sintética (regla de Ruffini) que $x = 2$ es una de sus raíces. A continuación, factoriza el polinomio completamente para encontrar sus otras dos raíces (una de ellas es una fracción).
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra…
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra todas las raíces del polinomio para determinar los puntos exactos donde la tensión es nula.
Ampliación: factorización completa y raíces múltiples
Factorizar completamente es repetir factor común, productos notables y división sintética hasta que cada factor sea de grado $1$ (o de grado $2$ sin raíces reales). Si una raíz se repite, es una raíz múltiple.
Para construir un polinomio a partir de sus raíces, multiplica los factores $(x-r)$ y, si te dan un valor como $P(0)$, ajusta el coeficiente principal $c$.
Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma…
Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma desarrollada (operando los factores).
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.
Construye un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir,…
Construye un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir, $P(0) = 12$). Expresa el polinomio final de forma desarrollada.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la…
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la multiplicidad de cada una.
En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoriza el…
En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoriza el polinomio completamente para descubrir todas las raíces y sus respectivas multiplicidades, logrando así descifrar el código.
Vuelve al principio: con la factorización $2x(x+5)(x-4)^2$ lees las raíces $0$, $-5$ y $4$ (esta última doble) sin resolver nada.