Potencias de exponente racional. Radicales

Expresa como radical las siguientes potencias de exponente fraccionario y calcula su valor exacto si es un número entero:

• a) $27^{\frac{1}{3}}$

• b) $16^{\frac{3}{4}}$

• c) $5^{\frac{2}{3}}$

Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario los siguientes radicales y simplifica la fracción del exponente:

• a) $\sqrt[6]{x^2}$

• b) $\sqrt[15]{a^5}$

• c) $\sqrt[8]{2^6}$

Opera utilizando las propiedades de las potencias fraccionarias y expresa el resultado final en forma de raíz simplificada:

Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación, transformando previamente todas las expresiones a potencias de base $2$ con exponentes racionales:

Expresa la solución final en forma de fracción irreducible.

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, asumiendo que $a$ y $b$ son números reales positivos. Expresa el resultado final empleando notación radical, sin dejar exponentes negativos ni fraccionarios en la solución:

Extrae todos los factores posibles del interior de los siguientes radicales:

• a) $\sqrt{50}$

• b) $\sqrt[3]{16}$

• c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$

Introduce los factores dentro del radical y simplifica la expresión resultante si es posible:

• a) $3 \sqrt{2}$

• b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

• c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, con $a \ge 0$

Un arquitecto paisajista está diseñando una zona verde con forma de triángulo escaleno y necesita calcular su perímetro para encargar una valla. Los planos indican que los lados miden $\sqrt{48}$ m, $\sqrt{75}$ m y $\sqrt{12}$ m. Simplifica los radicales extrayendo factores y calcula el perímetro exacto expresado como un único radical.

En navegación marítima, la distancia $d$ (en kilómetros) a la que se encuentra el horizonte visible para un observador situado a una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se aproxima mediante la fórmula $d = \sqrt{13h}$. Dos observadores se encuentran en diferentes puntos de un acantilado a alturas $h_1 = 52$ m y $h_2 = 117$ m respectivamente. Calcula la diferencia exacta de sus distancias al horizonte visible, simplificando la expresión $\sqrt{13 \times 117} - \sqrt{13 \times 52}$ mediante la extracción de factores.

Realiza los siguientes productos de radicales del mismo índice y extrae factores del resultado si es posible:

• a) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$

• b) $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{10}$

Calcula y simplifica el resultado de las siguientes divisiones de radicales:

• a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

• b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$

Calcula las siguientes potencias de radicales, introduciendo el exponente en el radicando y expresando el resultado de la forma más sencilla posible:

• a) $(\sqrt[3]{5})^6$

• b) $(\sqrt{x^3})^4$

Expresa como un único radical utilizando la propiedad de la raíz de una raíz y simplifica el índice si se puede:

• a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

• b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$

Para la fabricación de tres componentes electrónicos se requieren láminas protectoras cuyos grosores, medidos en milímetros, vienen dados por las expresiones $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ y $C = \sqrt[6]{24}$. Reduce los radicales a índice común para ordenar los grosores de las láminas de menor a mayor.

Efectúa las siguientes operaciones reduciendo previamente a índice común y extrae los factores posibles del resultado final:

• a) $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{4} \times \sqrt[4]{8}$

• b) $\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[6]{3}}$

Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados introduciendo progresivamente los factores en los radicales más internos y expresando el resultado final como una sola raíz:

Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados, reduciendo a un único índice común y extrayendo los factores que sean posibles fuera de la raíz resultante:

Demuestra, utilizando rigurosamente las propiedades de las potencias de exponente racional, que para cualquier número real positivo $x$, la expresión $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}$ es equivalente a $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}$. A continuación, aplica esta propiedad o el paso a potencias para calcular el valor exacto numérico de la siguiente suma:

Una plaza circular tiene un área de $120\pi$ m$^2$. Sabiendo que el área de un círculo viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$, calcula el radio exacto de la plaza simplificando el radical al máximo.

Una cooperativa agrícola quiere cercar un terreno con forma de cuadrado cuya área total es de $1250 \text{ m}^2$. Calcula la longitud exacta del lado del terreno extrayendo factores del radical y determina cuántos metros de cerca necesitarán en total, dejando el resultado en su forma radical más simple.

La diagonal principal de un depósito cúbico de almacenamiento de agua (la línea recta que une dos vértices opuestos pasando por el centro del cubo) mide exactamente $\sqrt{108}$ metros. Calcula la longitud de la arista del cubo de forma exacta y, a partir de ella, determina la capacidad del depósito en metros cúbicos. Expresa todos los resultados simplificando los radicales.

En un laboratorio de biología, el número de bacterias de un determinado cultivo sigue la expresión $N(t) = 5000 \times 8^{\frac{t}{3}}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. Expresa esta fórmula utilizando radicales y calcula el número exacto de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido $2$ horas.

La tercera ley de Kepler relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con el radio medio de su órbita $r$ mediante la expresión $T = k^{\frac{1}{2}} \times r^{\frac{3}{2}}$. Si para un sistema estelar ficticio la constante es $k = 4 \times 10^{-6}$ y un planeta orbita a un radio medio $r = 25 \times 10^4$ km, calcula el periodo orbital exacto utilizando las propiedades de las potencias de exponente racional y los radicales.

El capital final $C_f$ obtenido al invertir un capital inicial $C_0$ a un tipo de interés compuesto anual $r$ (expresado en tanto por uno) durante $t$ años viene dado por la fórmula $C_f = C_0 (1+r)^t$. Una empresa invierte $200\,000$ pesos a un interés del $21$ % anual ($r = 0.21$). Usando potencias de exponente fraccionario, calcula de forma exacta el capital acumulado al cabo de $1$ año y $4$ meses (lo que equivale a $t = \frac{4}{3}$ de año). Sabiendo que $1.21 = 1.1^2$, simplifica el resultado extrayendo los factores posibles del radical.