Permutaciones
Siete corredores llegan a la meta de una carrera en el Bosque de Chapultepec, sin empates. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden darse? Es una pregunta de ordenar: colocar todos los elementos de un conjunto, uno tras otro. A esto se le llama permutación. Contar bien las ordenaciones sirve para calcular probabilidades: casos posibles y casos favorables.
Permutaciones de n elementos distintos
Para el primer lugar hay $n$ opciones. Elegida esa, para el segundo quedan $n-1$; para el tercero, $n-2$; y así hasta que solo queda $1$ opción para el último. Se multiplican porque cada elección se combina con todas las siguientes (principio de la multiplicación).
$$P_n = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 = n!$$Los factoriales crecen muy rápido, así que conviene simplificar antes de calcular. Por ejemplo, $\dfrac{9!}{7!} = \dfrac{9 \times 8 \times 7!}{7!} = 72$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones con factoriales: $\frac{8!}{5! \times 3!}$ y $\frac{12!}{10!}$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones con factoriales: $\frac{8!}{5! \times 3!}$ y $\frac{12!}{10!}$.
Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compran entradas para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la…
Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compran entradas para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la obra?
Durante una competición de atletismo escolar, $7$ corredores llegan a la meta sin que se produzca ningún empate. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden darse al…
Durante una competición de atletismo escolar, $7$ corredores llegan a la meta sin que se produzca ningún empate. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden darse al finalizar la carrera?
Simplifica la siguiente expresión algebraica que involucra factoriales, expresando el resultado en su forma más reducida: $\frac{(n+2)!}{n! \times (n+1)}$.
Simplifica la siguiente expresión algebraica que involucra factoriales, expresando el resultado en su forma más reducida: $\frac{(n+2)!}{n! \times (n+1)}$.
Ecuaciones con factoriales
Para resolver ecuaciones con factoriales se desarrolla cada factorial hasta el factor más pequeño que aparece, se simplifica y queda una ecuación con polinomios.
Encuentra el valor del número natural $x$ que satisface la siguiente ecuación, justificando matemáticamente tu respuesta: $P_x = 30 \times P_{x-2}$.
Encuentra el valor del número natural $x$ que satisface la siguiente ecuación, justificando matemáticamente tu respuesta: $P_x = 30 \times P_{x-2}$.
Simplifica las fracciones algebraicas y resuelve la siguiente ecuación que contiene factoriales, encontrando el valor de $x$:…
Simplifica las fracciones algebraicas y resuelve la siguiente ecuación que contiene factoriales, encontrando el valor de $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.
Permutaciones con restricciones de posición
A veces una parte de la ordenación ya está fijada: dos personas que deben sentarse juntas, un elemento que debe ir primero o último. No se aplica $n!$ directamente: primero se razona la restricción y después se ordena lo que queda libre.
Para alternar, como 3 chicos y 3 chicas en fila, se cuenta cada patrón por separado: el patrón chico-chica-chico... tiene $3!$ formas de colocar a los chicos y $3!$ de colocar a las chicas. El patrón empezando por chica es igual de numeroso, así que se multiplica por $2$.
Cinco amigos van al cine y se sientan en butacas contiguas. Dos de ellos, Amina y Unai, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras pueden…
Cinco amigos van al cine y se sientan en butacas contiguas. Dos de ellos, Amina y Unai, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse los cinco amigos cumpliendo siempre esta condición?
En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado…
En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado en último lugar debido a una lesión, ¿de cuántas formas distintas han podido clasificarse los demás participantes en las posiciones intermedias?
Un grupo formado por $3$ chicos y $3$ chicas se van a sentar en una fila de $6$ butacas para ver un concierto. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si deben sentarse de…
Un grupo formado por $3$ chicos y $3$ chicas se van a sentar en una fila de $6$ butacas para ver un concierto. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si deben sentarse de forma que los sexos queden estrictamente alternados (chico-chica-chico... o chica-chico-chica...)?
En la estantería de una biblioteca escolar se van a colocar en fila $4$ libros distintos de Matemáticas, $3$ libros distintos de Física y $2$ libros distintos de…
En la estantería de una biblioteca escolar se van a colocar en fila $4$ libros distintos de Matemáticas, $3$ libros distintos de Física y $2$ libros distintos de Química. Si la bibliotecaria exige que los libros de la misma materia deben permanecer siempre juntos formando un bloque, ¿de cuántas maneras distintas se pueden ordenar en la balda?
Permutaciones con elementos repetidos
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de ANA? Si las dos A fueran distinguibles ($A_1$ y $A_2$) saldrían $3! = 6$ ordenaciones, pero $A_1NA_2$ y $A_2NA_1$ se leen igual: son la misma palabra.
Con una restricción de extremos, se fijan primero y se permuta el resto. Para ESTADISTICA (11 letras) que empiece en E y termine en A, se quitan esas dos letras y quedan 9: S, T, A, D, I, S, T, I, C. Se repiten S ($2$), T ($2$) e I ($2$): $\dfrac{9!}{2!\,2!\,2!}$.
¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en el diccionario, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra "MUNDO"?
¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en el diccionario, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra "MUNDO"?
Para configurar una contraseña segura, una aplicación exige usar exactamente los caracteres $A, B, C, 1, 2$, sin repetir ninguno de ellos. ¿Cuántas contraseñas distintas…
Para configurar una contraseña segura, una aplicación exige usar exactamente los caracteres $A, B, C, 1, 2$, sin repetir ninguno de ellos. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden crear en el sistema?
Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera…
Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera amarilla, todas del mismo tamaño, ¿cuántas señales distintas puede enviar usando todas las banderas a la vez?
¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando todas las letras de la palabra "CAMPANA"?
¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando todas las letras de la palabra "CAMPANA"?
Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos…
Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos códigos distintos puede programar el sistema?
¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar reordenando todas las letras de la palabra "ESTADISTICA" de modo que obligatoriamente empiecen por la…
¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar reordenando todas las letras de la palabra "ESTADISTICA" de modo que obligatoriamente empiecen por la letra $E$ y terminen por la letra $A$?
Permutaciones circulares y caminos en cuadrícula
En una fila, el primer y el último lugar son distintos. En una mesa redonda no hay «primer asiento»: solo importa el orden relativo. Girar a todo el grupo un asiento no cuenta como una colocación nueva.
Otra situación con el mismo tipo de recuento: un repartidor en bicicleta que solo puede ir a la derecha o hacia arriba por las calles de una cuadrícula. Cada camino mínimo es una secuencia de pasos «derecha» (D) y «arriba» (A), y contar caminos es ordenar una palabra con letras repetidas.
Si un nodo está bloqueado, se cuentan todos los caminos y se restan los que pasan por él (los que van de A al nodo, multiplicados por los que van del nodo a B).
Vuelve al principio: los 7 corredores se ordenan de $7! = 5{,}040$ formas; si solo quisieras acertar la clasificación completa al azar, tu probabilidad sería $\frac{1}{5{,}040}$.
Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición…
Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición relativa entre ellos y no la silla exacta que ocupan en el salón?
En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la…
En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. ¿Cuántos caminos diferentes de longitud mínima puede tomar para realizar la entrega?
Ocho diplomáticos se reúnen en una cumbre internacional y deben sentarse alrededor de una gran mesa redonda. Dos de los representantes están fuertemente enemistados y el…
Ocho diplomáticos se reúnen en una cumbre internacional y deben sentarse alrededor de una gran mesa redonda. Dos de los representantes están fuertemente enemistados y el protocolo exige que no se sienten uno al lado del otro. ¿De cuántas formas diferentes pueden acomodarse en la mesa cumpliendo esta restricción?
Un robot autónomo se desplaza por una cuadrícula logística desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$ avanzando exclusivamente hacia la derecha y hacia abajo. Debido a unas…
Un robot autónomo se desplaza por una cuadrícula logística desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$ avanzando exclusivamente hacia la derecha y hacia abajo. Debido a unas reparaciones en el suelo, el nodo $C$ está bloqueado y el robot no puede pasar por él. ¿Cuántas trayectorias válidas existen para completar el recorrido?
Orden de una lista y suma de números
Dos problemas clásicos usan permutaciones con cuidado.
Posición en un diccionario. Con las letras de LIBRO ordenadas alfabéticamente (B, I, L, O, R), se cuentan las palabras que van antes: las que empiezan con B ($4! = 24$) e I ($24$), antes de las que empiezan con L. Ya van $48$. Dentro de las que empiezan con L, las siguientes letras B, I, O, R: las que empiezan con LB son $3! = 6$, y las que empiezan con LI y luego B: LIB va antes que LIO y LIR. La primera con LIB es LIBOR y luego LIBRO, así que hay $48 + 6 + 1 = 55$ palabras antes; LIBRO es la número $56$.
Suma de números. Con los dígitos $1, 2, 3, 4$ hay $4! = 24$ números de 4 cifras distintas. En cada posición, cada dígito aparece $3! = 6$ veces. La suma de dígitos en una posición es $6 \times (1+2+3+4) = 60$. Se multiplica por $1{,}111$ (unidades, decenas, centenas y millares): $60 \times 1{,}111 = 66{,}660$.
Calcula cuál es la suma total de todos los números enteros de $4$ cifras distintas que se pueden formar utilizando exclusivamente los dígitos $1, 2, 3$ y $4$.
Calcula cuál es la suma total de todos los números enteros de $4$ cifras distintas que se pueden formar utilizando exclusivamente los dígitos $1, 2, 3$ y $4$.
Si se generan todas las palabras posibles, con o sin sentido, permutando las letras de la palabra "LIBRO" y luego se ordenan estrictamente de forma alfabética (como en…
Si se generan todas las palabras posibles, con o sin sentido, permutando las letras de la palabra "LIBRO" y luego se ordenan estrictamente de forma alfabética (como en un diccionario), ¿qué posición ocupará exactamente la palabra "LIBRO" en esa lista?