En el Melate eliges $6$ números de un total de $56$ y no importa en qué orden los marques. ¿Cuántas combinaciones distintas puedes jugar? ¿Qué probabilidad tienes de ganar el premio mayor? Al final de la página lo calculas.
Elegir sin importar el orden
Cuando formas un equipo, eliges ingredientes o seleccionas preguntas de un examen, el orden no cuenta: el equipo de Ximena y Diego es el mismo que el de Diego y Ximena. A estas selecciones se les llama combinaciones.
¿Por qué se divide entre $r!$? Si el orden importara, habría ${}_nP_r$ ordenaciones. Pero cada grupo de $r$ elementos se ha contado $r!$ veces, una por cada forma de ordenarlo. Dividir entre $r!$ deja cada grupo una sola vez.
Algunos ejercicios hablan de una baraja de $40$ cartas dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno. Solo te importa que hay $40$ cartas en total y $10$ en cada palo. Extraer cartas "simultáneamente" significa que el orden no importa. En los ejemplos de esta página usamos la baraja inglesa de $52$ cartas (4 palos de 13).
Practica★☆☆Sin empezar
Para preparar una ensalada, dispones de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcula cuántas ensaladas…
Para preparar una ensalada, dispones de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcula cuántas ensaladas distintas de $4$ ingredientes puedes elaborar.
Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determina de cuántas formas distintas puede un…
Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determina de cuántas formas distintas puede un alumno seleccionar las preguntas a responder.
Muchas situaciones cotidianas son en realidad "elegir $2$ de $n$": cada pareja cuenta una sola vez porque un saludo entre Regina y Mateo es el mismo que entre Mateo y Regina.
Practica★☆☆Sin empezar
En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determina el número total de partidas que se…
En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determina el número total de partidas que se disputarán en el torneo.
En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcula cuántos apretones de manos se producen en total.
En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcula cuántos apretones de manos se producen en total.
A veces el grupo debe tener cantidades fijas de cada tipo, o incluir a alguien obligatoriamente. La clave es separar el conteo por bloques y multiplicar.
Practica★★☆Sin empezar
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles,…
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles, calcula cuántos equipos distintos se pueden formar.
En un cuestionario de $12$ preguntas, debes contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determina…
En un cuestionario de $12$ preguntas, debes contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determina de cuántas formas diferentes puedes completar tu selección de preguntas.
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se…
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se pueden formar si la normativa exige que el equipo contenga al menos $3$ médicos.
En un problema de cartas o de aciertos de lotería, divide el conjunto en "los que cuentan" y "los que no cuentan", y multiplica.
Además, el conteo sirve para calcular probabilidades. Si todos los resultados son igual de probables (equiprobabilidad), la probabilidad de un evento es
y tanto los casos favorables como los posibles se cuentan con combinaciones.
Practica★★☆Sin empezar
Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determina en cuántos de los resultados…
Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determina en cuántos de los resultados posibles hay exactamente $3$ cartas del palo de oros.
El juego de la Lotería Primitiva consiste en elegir $6$ números de un total de $49$. Si ya se conoce la combinación ganadora de $6$ números, calcula cuántas apuestas…
El juego de la Lotería Primitiva consiste en elegir $6$ números de un total de $49$. Si ya se conoce la combinación ganadora de $6$ números, calcula cuántas apuestas diferentes de las posibles obtendrían exactamente $4$ aciertos.
En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determina cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como…
En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determina cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como vértices. Ten en cuenta que tres puntos alineados no forman un triángulo.
Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcula cuántos resultados distintos contienen exactamente…
Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcula cuántos resultados distintos contienen exactamente $2$ bolas rojas y al menos $1$ bola azul.
Cuando la incógnita está dentro de un número combinatorio, desarrolla la fórmula, simplifica y resuelve. Muchas veces sale una ecuación cuadrática, que ya sabes resolver con factorización o con la fórmula general.
Practica★★☆Sin empezar
Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$: $C_{n, 2} = 45$
Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$:
Un robot (o tú en las calles de una colonia) va de $A$ a $B$ solo hacia la derecha o hacia arriba. Si hay que dar $m$ pasos a la derecha y $p$ hacia arriba, cada camino es una secuencia de $m + p$ pasos.
Para resolver los ejercicios, cuenta en la figura cuántos pasos a la derecha y cuántos hacia arriba separan cada par de puntos.
Practica★★☆Sin empezar
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una intersección en cada paso. Calcula el número de trayectorias distintas que puede seguir.
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el nodo $C$ para recoger un paquete. Determina cuántas rutas válidas existen.
¿Y si puedes elegir varias veces el mismo tipo? Por ejemplo, comprar $4$ pasteles de $6$ tipos, con varios iguales. Aquí cuenta solo cuántos de cada tipo llevas, no el orden.
Practica★★☆Sin empezar
En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determina de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden…
En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determina de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden elegir varios del mismo tipo.
Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a…
Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a un amigo le pueden tocar varias entradas o incluso ninguna.
El juego del dominó tradicional llega hasta el doble seis (las puntuaciones van del $0$ al $6$). Un fabricante decide crear un "súper dominó" que llegue hasta el doble…
El juego del dominó tradicional llega hasta el doble seis (las puntuaciones van del $0$ al $6$). Un fabricante decide crear un "súper dominó" que llegue hasta el doble nueve (las puntuaciones van del $0$ al $9$). Calcula cuántas fichas en total tendrá este nuevo juego y cuántas de ellas no serán dobles.
Si cada tipo debe aparecer al menos una vez, primero reserva una pieza de cada tipo y reparte libremente el resto.
Vuelve al principio: en el Melate eliges $6$ números de $56$ sin importar el orden, así que hay $\binom{56}{6} = 32{,}468{,}436$ combinaciones posibles. Solo una gana el premio mayor, por lo que
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada…
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada uno de los $5$ sabores. Calcula de cuántas formas distintas puedes hacer tu pedido.