Ecuación punto-pendiente de la recta
Un plomero cobra $\$600$ por llegar a tu casa y $\$400$ por cada hora de trabajo. Si sabes que por 2 horas cobró $\$1{,}400$, ¿puedes escribir la regla del costo sin calcular antes cuánto cobra por 0 horas? Con la ecuación punto-pendiente, sí: basta un punto y la pendiente. Al final de la sección de dos puntos volvemos a este caso.
Deducción de la ecuación punto-pendiente
La forma $y=mx+b$ pide conocer la ordenada al origen $b$, y ese dato no siempre lo tenemos. Lo que sí suele darse es un punto de la recta y su inclinación.
Si una recta tiene pendiente $m$ y pasa por $P(x_1, y_1)$, cualquier otro punto $(x, y)$ de la recta cumple, por definición de pendiente, $$m = \frac{y-y_1}{x-x_1}$$ Al multiplicar ambos lados por $(x-x_1)$ queda la ecuación punto-pendiente.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.
Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indica cuál es su pendiente y obtén directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.
Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indica cuál es su pendiente y obtén directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y…
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante, utilizando en ambos casos el origen de coordenadas.
Formas de la ecuación de la recta
Transforma la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.
Transforma la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.
A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halla un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcula su pendiente y escribe la ecuación…
A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halla un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcula su pendiente y escribe la ecuación correspondiente en forma punto-pendiente.
Cortes con los ejes y triángulos
Los puntos donde una recta cruza los ejes sirven para dibujarla y para calcular áreas. La idea es sencilla: sobre el eje $x$ la altura es cero, y sobre el eje $y$ el desplazamiento horizontal es cero.
Si los cortes son $(a, 0)$ y $(0, c)$, los catetos del triángulo miden $|a|$ y $|c|$ y su área es $\dfrac{|a|\cdot|c|}{2}$. Cuando el problema da el área y un punto de la recta, se plantean dos condiciones: la recta pasa por el punto dado y el área vale lo que indica.
Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ con los ejes de coordenadas. Para ello, halla en primer lugar los puntos de…
Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ con los ejes de coordenadas. Para ello, halla en primer lugar los puntos de corte de la recta con los ejes.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(2, -1)$ y que, al cortarse con los semiejes de coordenadas (eje de abscisas positivo y eje de…
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(2, -1)$ y que, al cortarse con los semiejes de coordenadas (eje de abscisas positivo y eje de ordenadas negativo), forma un triángulo rectángulo de área $4$ unidades cuadradas.
Recta determinada por dos puntos
Si conoces $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ con $x_1\neq x_2$, el procedimiento es siempre el mismo: primero la pendiente, luego punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos.
Este método sirve también para modelos reales: si algo cambia a ritmo constante (un costo por hora, una depreciación, una temperatura), la pendiente es ese ritmo.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escribe su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escribe su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.
Un plomero cobra $600$ pesos por la visita a domicilio y $400$ pesos por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de $1\,400$…
Un plomero cobra $600$ pesos por la visita a domicilio y $400$ pesos por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de $1\,400$ pesos, escribe la ecuación punto-pendiente que relaciona el costo total con las horas trabajadas, tomando como referencia este punto conocido.
En la gráfica de una recta se destacan los puntos $(0, 0)$ y $P(2, 3)$. A partir de los puntos destacados, calcula la pendiente de la recta y escribe su ecuación en…
En la gráfica de una recta se destacan los puntos $(0, 0)$ y $P(2, 3)$. A partir de los puntos destacados, calcula la pendiente de la recta y escribe su ecuación en forma punto-pendiente tomando como referencia el punto $P$.
Una compañía de renta de bicicletas cobra una cantidad fija por el servicio más un precio constante por hora de uso. Se sabe que por una renta de $3$ horas se pagan…
Una compañía de renta de bicicletas cobra una cantidad fija por el servicio más un precio constante por hora de uso. Se sabe que por una renta de $3$ horas se pagan $280$ pesos y por una renta de $5$ horas se pagan $400$ pesos. Determina la pendiente de la función lineal de costo y escribe su ecuación punto-pendiente tomando los datos del primer cliente.
Un auto circula por una carretera recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en el kilómetro $45$ y a las $12:30$ horas pasa por el kilómetro $245$.…
Un auto circula por una carretera recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en el kilómetro $45$ y a las $12:30$ horas pasa por el kilómetro $245$. Escribe la ecuación punto-pendiente que modela la posición del auto en función del tiempo transcurrido desde las $10:00$ horas, expresando el tiempo en horas.
La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determina la ecuación punto-pendiente de su…
La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determina la ecuación punto-pendiente de su trayectoria.
La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y…
La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y hierve a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), deduce la ecuación punto-pendiente que permite convertir grados Celsius a Fahrenheit utilizando el punto de congelación. A continuación, úsala para calcular la temperatura en Fahrenheit equivalente a la temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.
En un modelo económico simple, la cantidad demandada de un producto disminuye linealmente a medida que aumenta su precio. A un precio de $400$ pesos, se demandan $500$…
En un modelo económico simple, la cantidad demandada de un producto disminuye linealmente a medida que aumenta su precio. A un precio de $400$ pesos, se demandan $500$ unidades, y se ha observado que por cada incremento de $40$ pesos en el precio, la demanda cae en $50$ unidades. Escribe la ecuación punto-pendiente de la demanda tomando el primer dato como referencia, y calcula a qué precio la demanda será nula.
Rectas paralelas y perpendiculares
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.
Obtén la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.
Obtén la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.
Intersección de dos rectas
Dos rectas que no son paralelas se cortan en un solo punto. Ese punto cumple las dos ecuaciones a la vez, así que sus coordenadas son la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Aquí usamos el método de suma y resta; en el apartado de sistemas verás todos los métodos.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y $s: x - 3y + 3 = 0$.
Aplicaciones: distancia, alineación y mediatriz
La altura de un triángulo sigue la misma idea: es perpendicular al lado opuesto y pasa por el vértice. Y si un rayo se refleja en el eje $x$, la pendiente cambia de signo y la recta pasa por el punto de impacto, que es el corte de la trayectoria con el eje $x$ (se hace $y=0$).
Comprueba analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halla primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa…
Comprueba analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halla primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$, y luego verifica si las coordenadas de $C$ satisfacen dicha ecuación.
El valor de un equipo informático se deprecia linealmente con el tiempo. Si se compró por $24\,000$ pesos y al cabo de $4$ años su valor contable es de $8\,000$ pesos,…
El valor de un equipo informático se deprecia linealmente con el tiempo. Si se compró por $24\,000$ pesos y al cabo de $4$ años su valor contable es de $8\,000$ pesos, escribe la ecuación punto-pendiente que relaciona el valor del equipo con los años transcurridos, utilizando el punto correspondiente al cuarto año.
Halla la ecuación punto-pendiente de la mediatriz del segmento de extremos $A(-4, 2)$ y $B(2, 6)$. Recuerda que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que…
Halla la ecuación punto-pendiente de la mediatriz del segmento de extremos $A(-4, 2)$ y $B(2, 6)$. Recuerda que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halla la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.
Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halla la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.
Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano…
Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano perfecto), el rayo se refleja. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halla la ecuación punto-pendiente del rayo reflejado tomando como referencia el punto de impacto en el espejo.