Ordenaciones (variaciones)
Ocho atletas llegan a la final de los $100$ m planos en los Juegos Panamericanos. ¿De cuántas formas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce? No ordenas a los $8$: solo eliges $3$ y los acomodas en $3$ lugares distintos. Esto es una ordenación (en otros países le llaman «variación»), y es una herramienta clave para contar casos posibles y favorables en probabilidad.
Ordenaciones sin repetición
Razonamos como con las permutaciones, pero paramos en el $r$-ésimo factor: para el primer lugar hay $n$ opciones, para el segundo $n-1$, y así hasta el lugar $r$, donde quedan $n-r+1$ opciones.
$${}_nP_r = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$$En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la…
En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la pared derecha. ¿De cuántas formas diferentes se puede organizar esta exposición?
Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos…
Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos y cada persona solo puede ocupar uno, ¿de cuántas formas puede formarse la junta?
En una carrera de $100\text{ m}$ lisos participan $8$ atletas. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce sabiendo que no puede…
En una carrera de $100\text{ m}$ lisos participan $8$ atletas. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce sabiendo que no puede haber empates?
Cuando $r=n$ y cuando hay condiciones
Si $r=n$ es una permutación. Cinco amigos en $4$ butacas no cumple $r=n$, pues solo se sientan $4$ de los $5$; es ${}_5P_4$.
Cuando hay una condición (por ejemplo, «la primera tarea la hace el más veterano»), primero llena el lugar con restricción y luego cuenta el resto de lugares con las opciones que quedan.
Cinco amigos van al cine y encuentran una fila con $4$ butacas libres consecutivas. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse para ver la película?
Cinco amigos van al cine y encuentran una fila con $4$ butacas libres consecutivas. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse para ver la película?
Utilizando los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, ¿cuántos números pares de $3$ cifras se pueden formar si no está permitido repetir ninguna cifra en el mismo número?
Utilizando los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, ¿cuántos números pares de $3$ cifras se pueden formar si no está permitido repetir ninguna cifra en el mismo número?
Una empresa tiene $8$ empleados y debe asignar $5$ tareas diferentes a $5$ empleados distintos (una tarea por persona). Si se sabe que la primera tarea debe ser…
Una empresa tiene $8$ empleados y debe asignar $5$ tareas diferentes a $5$ empleados distintos (una tarea por persona). Si se sabe que la primera tarea debe ser realizada obligatoriamente por el empleado más veterano, ¿de cuántas formas se pueden repartir las tareas?
¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Ten en cuenta que, por definición, un número válido…
¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Ten en cuenta que, por definición, un número válido no puede empezar por la cifra $0$.
Una clase está formada por $6$ chicos y $5$ chicas. Se quiere elegir un comité compuesto por presidencia, vicepresidencia y secretaría. La presidencia debe ocuparla…
Una clase está formada por $6$ chicos y $5$ chicas. Se quiere elegir un comité compuesto por presidencia, vicepresidencia y secretaría. La presidencia debe ocuparla obligatoriamente una chica, la vicepresidencia un chico, y la secretaría puede ocuparla cualquiera de los alumnos restantes. ¿De cuántas formas se puede elegir el comité?
Ordenaciones con repetición
¿Y si un mismo elemento puede aparecer más de una vez? Al lanzar un dado $4$ veces seguidas, el $6$ puede salir las $4$ veces. Ya no se «gastan» opciones en cada etapa.
$$n^r$$Cada una de las $r$ posiciones tiene siempre las mismas $n$ opciones: es el principio de la multiplicación con el mismo factor repetido $r$ veces.
Lanzamos un dado cúbico tradicional de $6$ caras $4$ veces consecutivas y anotamos el resultado de cada tirada por orden. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener…
Lanzamos un dado cúbico tradicional de $6$ caras $4$ veces consecutivas y anotamos el resultado de cada tirada por orden. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener en total?
Lanzamos una moneda al aire $6$ veces consecutivas y anotamos la secuencia exacta de caras y cruces obtenidas. ¿Cuántas secuencias distintas se pueden llegar a formar?
Lanzamos una moneda al aire $6$ veces consecutivas y anotamos la secuencia exacta de caras y cruces obtenidas. ¿Cuántas secuencias distintas se pueden llegar a formar?
Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones,…
Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones, ¿de cuántas formas diferentes podemos pintarlos?
Un examen tipo test consta de $5$ preguntas. Cada pregunta tiene $3$ opciones de respuesta (A, B y C) de las cuales solo se puede marcar una. Si un alumno responde a…
Un examen tipo test consta de $5$ preguntas. Cada pregunta tiene $3$ opciones de respuesta (A, B y C) de las cuales solo se puede marcar una. Si un alumno responde a todas las preguntas, ¿de cuántas formas distintas se puede rellenar el examen?
El sistema de matrículas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$…
El sistema de matrículas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$ consonantes. En ambos bloques se permite la repetición de caracteres. ¿Cuántas matrículas distintas se pueden emitir en total con este formato?
En informática, un byte es una secuencia de $8$ bits (donde cada bit puede ser un $0$ o un $1$). ¿Cuántos bytes diferentes existen que comiencen exactamente por la…
En informática, un byte es una secuencia de $8$ bits (donde cada bit puede ser un $0$ o un $1$). ¿Cuántos bytes diferentes existen que comiencen exactamente por la secuencia $10$?
¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?
¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?
Posiciones fijas, mixtas y casos que se suman
A veces una parte de la secuencia ya está fijada (como el byte que empieza con $10$): esas posiciones aportan un solo factor $1$ y se cuentan solo las libres. En otras, algunas posiciones permiten repetir y otras no: multiplica cada bloque con su propia regla.
Y si la longitud puede variar («como máximo $3$ símbolos»), las señales de longitud distinta nunca coinciden. Cuentas cada longitud por separado y sumas los resultados (principio de la suma).
En el código Morse, las letras se representan mediante secuencias de puntos y rayas. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar utilizando como máximo $3$ símbolos por…
En el código Morse, las letras se representan mediante secuencias de puntos y rayas. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar utilizando como máximo $3$ símbolos por señal?
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $35853$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras se pueden…
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $35853$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras se pueden formar utilizando únicamente los dígitos del $1$ al $9$?
Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se…
Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se permite que se repitan) y los tres últimos caracteres deben ser números del $0$ al $9$ (sin que ninguno se repita). ¿Cuántas contraseñas distintas cumplen este formato?
Cinco personas suben a un vagón de tren en el que hay $8$ asientos libres. Dos de estas personas son pareja y quieren sentarse obligatoriamente en un par de asientos…
Cinco personas suben a un vagón de tren en el que hay $8$ asientos libres. Dos de estas personas son pareja y quieren sentarse obligatoriamente en un par de asientos contiguos específicos que están junto a la ventana. Sabiendo que a la pareja le importa quién se sienta en la ventana y quién en el pasillo, ¿de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos las cinco personas?
Restricción entre posiciones vecinas
A veces se pueden repetir elementos, pero no en lugares contiguos. Entonces las opciones de cada lugar dependen del lugar anterior: la primera posición tiene todas las opciones y cada una de las siguientes tiene una menos, porque solo se excluye el color (o símbolo) de su vecina de la izquierda. Ojo: no se excluyen todos los usados, solo el vecino inmediato.
Se quiere diseñar una bandera con $4$ franjas verticales. Se dispone de $5$ colores distintos. ¿De cuántas formas se puede colorear la bandera si la única condición es…
Se quiere diseñar una bandera con $4$ franjas verticales. Se dispone de $5$ colores distintos. ¿De cuántas formas se puede colorear la bandera si la única condición es que dos franjas adyacentes (juntas) no pueden tener el mismo color?
¿Ordenación, permutación o combinación?
Antes de usar una fórmula, responde dos preguntas: ¿se repiten elementos? ¿importa el orden?
En una liga de básquetbol participan $14$ equipos. Cada equipo debe jugar contra todos los demás dos veces a lo largo del año (un partido en casa y otro como visitante).…
En una liga de básquetbol participan $14$ equipos. Cada equipo debe jugar contra todos los demás dos veces a lo largo del año (un partido en casa y otro como visitante). ¿Cuántos partidos se jugarán en total durante toda la temporada?
Un candado de seguridad para bicicletas tiene $3$ ruedas independientes, cada una numerada del $0$ al $9$. Calcula la diferencia entre el número total de combinaciones…
Un candado de seguridad para bicicletas tiene $3$ ruedas independientes, cada una numerada del $0$ al $9$. Calcula la diferencia entre el número total de combinaciones posibles (permitiendo repetición) y el número de combinaciones en las que los tres dígitos deben ser estrictamente distintos.
Ecuaciones con ordenaciones
En problemas inversos conoces el resultado y debes hallar $n$. Desarrolla la fórmula, plantea la ecuación y resuélvela (por tanteo o con la fórmula general, que ya conoces de secundaria).
En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han…
En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han disputado $90$ partidas, plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula de las variaciones y halla cuántos jugadores participaron en el torneo.
Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$…
Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$ elementos tomados de $2$ en $2$, plantea la ecuación matemática correspondiente y halla el valor de $x$.
Vuelve al principio: con $8$ atletas y $3$ medallas distintas hay ${}_8P_3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$ formas de repartirlas.