Inecuaciones con una incógnita
Valeria patea un balón y su altura (en metros) a los $t$ segundos es $h(t)=-5t^2+10t$. ¿Durante cuánto tiempo estuvo a más de $3$ m del suelo? No sirve probar números al azar: hay que saber en qué valores de $t$ una expresión es positiva y en cuáles es negativa. Todas las desigualdades de esta página se resuelven con esa misma idea: llevar todo a un lado, factorizar o dejar un solo cociente, y estudiar el signo por tramos.
Repaso: desigualdades lineales
Una desigualdad se resuelve como una ecuación, con una sola regla nueva: si multiplicas o divides entre un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
¿Por qué? Porque $2<5$, pero al multiplicar por $-1$ queda $-2$ y $-5$, y ahora $-2>-5$: el orden se voltea.
Con denominadores, multiplica todo por el mcm (que es positivo, así que no cambia el sentido). Si piden números naturales, de todas las soluciones te quedas solo con los naturales.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.
Resuelve la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.
Resuelve la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.
Resuelve la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.
Desigualdades cuadráticas
Una desigualdad cuadrática se escribe como $ax^2+bx+c\lessgtr0$. La gráfica de $y=ax^2+bx+c$ es una parábola, y la desigualdad pregunta dónde queda esa parábola arriba o abajo del eje $x$.
Casos que conviene reconocer:
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Incompleta $x^2-16<0$: despejas $x^2<16$ y las raíces son $\pm4$, así que la solución es $(-4,4)$.
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Una sola raíz (raíz doble): $(x-2)^2\leq0$ solo se cumple en $x=2$, porque un cuadrado nunca es negativo.
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Sin raíces reales: $x^2+1>0$ se cumple para todo real; $x^2+1<0$ no se cumple nunca.
Encuentra los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Encuentra los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Halla el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
Halla el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
Resuelve la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y representa su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.
Resuelve la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y representa su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.
Sistemas de desigualdades
Las condiciones geométricas también son sistemas. Para un triángulo de lados $x$, $x$ y $8$ se necesita que la suma de dos lados sea mayor que el tercero: $x+x>8$. Si además el perímetro no puede pasar de $30$ cm: $2x+8\leq30$. Resolviendo, $x>4$ y $x\leq11$, así que $x\in(4,11]$. (La condición $x+8>x$ siempre se cumple.)
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y expresa la solución como un único intervalo: $2x - 3 < 5$ $3x + 1 \geq -2$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y expresa la solución como un único intervalo:
$2x - 3 < 5$
$3x + 1 \geq -2$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y explica qué particularidad tiene su conjunto solución: $x^2 - 4x + 4 \leq 0$ $2x - 1 > 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y explica qué particularidad tiene su conjunto solución:
$x^2 - 4x + 4 \leq 0$
$2x - 1 > 0$
Estudia y resuelve el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado: $3x - 5 \leq x + 1$ $x^2 - 7x + 10 > 0$
Estudia y resuelve el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado:
$3x - 5 \leq x + 1$
$x^2 - 7x + 10 > 0$
Grado superior: factorizar antes de estudiar el signo
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Las ganancias mensuales de una fábrica de scooters eléctricos, expresadas en miles de pesos, están dadas por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$ representa…
Las ganancias mensuales de una fábrica de scooters eléctricos, expresadas en miles de pesos, están dadas por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$ representa el número de cientos de scooters fabricados. ¿Cuántos scooters deben fabricarse para que la empresa no tenga pérdidas (es decir, para que $B(x) \geq 0$)?
Racionales: signo del numerador y del denominador
Cuando hay fracciones a los dos lados, hay que combinarlas.
Resuelve la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerda pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los…
Resuelve la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerda pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los signos.
Resuelve la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Resuelve la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos:…
Resuelve la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.
Valor absoluto
$|x-a|$ es la distancia de $x$ a $a$ en la recta. Entonces:
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$|x-a|
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$|x-a|>k$ significa «a más de $k$ de $a$»: dos semirrectas, $x-a>k$ o $x-a<-k$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto y expresa su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto y expresa su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Problemas con desigualdades lineales
Para plantear, define la incógnita, traduce las palabras («como mínimo» es $\geq$, «menos de» es $<$, «no supere» es $\leq$) y al final revisa que la solución tenga sentido (por ejemplo, que sea un número entero).
La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantea la inecuación correspondiente y halla todos los números naturales que la cumplen.
La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantea la inecuación correspondiente y halla todos los números naturales que la cumplen.
Una pequeña empresa de artesanías tiene unos gastos fijos mensuales de $6\,000$ pesos y producir cada pulsera de cuero le cuesta $40$ pesos. Si vende cada pulsera a…
Una pequeña empresa de artesanías tiene unos gastos fijos mensuales de $6\,000$ pesos y producir cada pulsera de cuero le cuesta $40$ pesos. Si vende cada pulsera a $100$ pesos, ¿cuántas pulseras debe vender como mínimo al mes para empezar a obtener ganancias? Plantea y resuelve la inecuación.
Un furgón de reparto consume $8$ litros de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ litros cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de…
Un furgón de reparto consume $8$ litros de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ litros cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de $500 \text{ km}$ en total ha consumido menos de $45$ litros, ¿cuántos kilómetros como máximo ha podido recorrer por ciudad?
En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las…
En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser estrictamente mayor que la longitud del tercer lado. Además, se desea que su perímetro no supere los $36 \text{ cm}$. Plantea un sistema de inecuaciones y halla los posibles valores de $x$.
Problemas cuadráticos y parámetros
Cuando el movimiento da la desigualdad. En el balón de Valeria queremos $-5t^2+10t>3$. Pasamos todo a un lado: $-5t^2+10t-3>0$. Multiplicamos por $-1$ (y se invierte el sentido): $5t^2-10t+3<0$. Con la fórmula general las raíces son $t=1\pm\dfrac{\sqrt{10}}{5}\approx0.37$ y $1.63$. La parábola es negativa entre ellas, así que el balón está a más de $3$ m desde $t\approx0.37$ s hasta $t\approx1.63$ s: cerca de $1.26$ s. Así se cierra la pregunta del inicio.
Parámetros. Si el problema pregunta «¿para qué valores de $k$…?», casi siempre hay que usar el discriminante $\Delta=b^2-4ac$ de una ecuación cuadrática:
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$\Delta<0$: no hay soluciones reales.
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$\Delta=0$: una solución doble.
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$\Delta>0$: dos soluciones reales distintas.
Esa condición es una desigualdad en $k$.
Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ metros mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo…
Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ metros mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo $45 \text{ m}^2$, plantea una inecuación y determina los posibles valores que puede tomar el ancho $x$.
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantea la inecuación correspondiente…
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantea la inecuación correspondiente utilizando el discriminante y resuélvela.
Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en metros en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la…
Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en metros en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina algebraicamente durante qué intervalo de tiempo el cohete estará por encima de los $17 \text{ m}$ de altura.