Teorema di Pitagora

Verifica se un triangolo i cui lati misurano $7$ cm, $10$ cm e $12$ cm è un triangolo rettangolo. A tal fine, verifica se vale l'uguaglianza del teorema di Pitagora tra i suoi lati.

Per calcolare la lunghezza della diagonale di uno schermo televisivo rettangolare che misura $40\text{ cm}$ di larghezza e $30\text{ cm}$ di altezza, Lucia scrive sul quaderno il seguente procedimento:

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Spiega in dettaglio quale errore algebrico ha commesso Lucia con la radice quadrata e perché la radice di una somma non si può separare nella somma delle radici.
2. b) Senza eseguire ancora il calcolo corretto, ragiona geometricamente sul perché un risultato di $70\text{ cm}$ è impossibile per quella diagonale (ricorda la disuguaglianza triangolare: la lunghezza di qualsiasi lato di un triangolo deve essere minore della somma degli altri due).
3. c) Correggi il procedimento di Lucia e trova la misura reale della diagonale di quello schermo.

In un allenamento di calcio, un giocatore corre in linea retta da un angolo del campo all'angolo opposto. Se il campo misura $80$ metri di lunghezza e $60$ metri di larghezza, quale distanza percorre il giocatore nella sua corsa in diagonale?

Vogliamo collocare un cavo dalla sommità di un'antenna per telefonia alta $12$ metri fino a un punto di ancoraggio situato a terra, a $9$ metri dalla base dell'antenna. Quale lunghezza deve avere il cavo perché risulti completamente teso?

Per fissare una rete da pallavolo nel cortile della scuola, è stato collocato un cavo di tensione dalla parte superiore di un palo a un ancoraggio a terra. Il palo è alto $2,4$ metri e la distanza dalla base del palo all'ancoraggio è di $1,8$ metri. Se vogliamo mettere un cavo identico su un altro palo che è un ingrandimento in scala $k = 1,5$ del primo, quanto misurerà il nuovo cavo?

Trova la lunghezza del lato incognito ($c$) nel seguente triangolo rettangolo, sapendo che l'ipotenusa misura $13$ cm e uno dei cateti misura $5$ cm.

Una scala doppia aperta ha un'altezza verticale di $2,4$ metri. Se la distanza tra i piedi appoggiati al suolo è di $1,4$ metri, quanto misura ciascuno dei bracci della scala? Suggerimento: Osserva che l'altezza divide la scala in due triangoli rettangoli uguali.

In un parco c'è una rampa per skate che vista di profilo forma un triangolo rettangolo. La base della rampa misura $4\text{ metri}$ e l'altezza massima è di $3\text{ metri}$. A una distanza di $1,6\text{ metri}$ dalla base è stato collocato un sostegno verticale di rinforzo.

• a) Calcola la lunghezza totale della rampa (la parte inclinata).

• b) Usando la similitudine tra triangoli, calcola l'altezza del sostegno verticale.

Gli schermi dei televisori si misurano in pollici in base alla loro diagonale. Se un televisore ha una larghezza di $32$ cm e un'altezza di $24$ cm, quanti centimetri misura la sua diagonale?

Calcola il perimetro di un rombo le cui diagonali misurano $16$ cm e $12$ cm. Ricorda che le diagonali di un rombo sono perpendicolari e si tagliano nel loro punto medio, formando quattro triangoli rettangoli.

Un giardino ha la forma di un triangolo isoscele. I suoi due lati uguali misurano $13\text{ metri}$ e il lato diverso (la base) misura $10\text{ metri}$. Vogliamo costruire un plastico di questo giardino che sia una riduzione e la cui base nel plastico sia di $20\text{ cm}$. Calcola:

• a) L'altezza reale del giardino.

• b) L'area che occuperà il plastico in $\text{cm}^2$.

Calcola l'area di un esagono regolare di lato $8\text{ cm}$. Ricorda che un esagono regolare si può dividere in sei triangoli equilateri. Dovrai usare il teorema di Pitagora per trovare l'apotema dell'esagono prima di calcolare la sua area totale.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti che misurano $9\text{ cm}$ e $16\text{ cm}$.

• a) Calcola l'altezza del triangolo usando il secondo teorema di Euclide ($h^2 = m \cdot n$, dove $m$ e $n$ sono i due segmenti dell'ipotenusa).

• b) Una volta trovata l'altezza, utilizza il teorema di Pitagora per calcolare quanto misurano i due cateti del triangolo originale.

Lo schermo rettangolare di uno smartphone ha un'altezza di $12\text{ cm}$ e una larghezza di $5\text{ cm}$. Un tablet è simile allo smartphone e il suo lato minore misura $15\text{ cm}$. Calcola prima la diagonale dello smartphone usando il teorema di Pitagora e poi utilizza il rapporto di similitudine per trovare la diagonale del tablet.

Un falegname sta progettando due mensole triangolari simili per gli angoli di una stanza. La mensola piccola ha due lati (cateti) di $30\text{ cm}$ e $40\text{ cm}$. La mensola grande ha un perimetro di $240\text{ cm}$. Quanto misura il lato più lungo (ipotenusa) della mensola grande?

Due edifici proiettano la loro ombra alla stessa ora del giorno. L'edificio A ha un'altezza di $15\text{ metri}$ e la sua ombra misura $12\text{ metri}$. L'edificio B è accanto e proietta un'ombra di $20\text{ metri}$.

• a) Qual è l'altezza dell'edificio B?

• b) Se uniamo la sommità di ciascun edificio con l'estremità della sua ombra, si formano due triangoli rettangoli. Calcola la lunghezza di queste linee immaginarie (ipotenuse) per entrambi gli edifici.

Un architetto ha progettato una vetrata a forma di triangolo isoscele la cui base misura $12\text{ m}$ e i cui lati uguali misurano $10\text{ m}$ ciascuno. Per motivi di illuminazione, deve collocare una traversa orizzontale esattamente a metà dell'altezza del triangolo.

Calcola prima l'altezza totale della vetrata usando il teorema di Pitagora e, successivamente, utilizza la similitudine tra triangoli per trovare la lunghezza della traversa orizzontale.

Un'agenzia pubblicitaria ha realizzato un telone a forma di rombo per coprire la facciata di un edificio. Le diagonali del rombo misurano $16\text{ m}$ e $12\text{ m}$. Vogliono realizzare una replica in scala per un ufficio il cui rapporto di similitudine rispetto all'originale è $k = 0,25$.

Calcola il perimetro del telone originale (usando Pitagora per trovare il lato) e, a partire da questo dato, determina il perimetro e l'area della replica piccola senza dover calcolare i suoi lati uno per uno.

Un servizio di corriere utilizza scatole di cartone a forma di parallelepipedo rettangolo. Una delle sue scatole più grandi ha dimensioni di $60\text{ cm}$ di lunghezza, $45\text{ cm}$ di larghezza e $30\text{ cm}$ di altezza. Un cliente deve spedire un tubo rigido che misura esattamente $82\text{ cm}$.

Utilizza il teorema di Pitagora per determinare se il tubo entra nella scatola (collocandolo in diagonale, unendo due vertici opposti dello spazio interno) e giustifica la tua risposta con i calcoli necessari.

Durante le attività di sorveglianza antincendio nelle Alpi, un posto di osservazione forestale si trova a un'altitudine di $1900\text{ m}$. Il guardiaboschi individua una colonna di fumo la cui posizione sulla carta si trova a $1200\text{ m}$ verso est e $900\text{ m}$ verso nord rispetto alla torre, ma in una valletta situata a una quota più bassa, a $1100\text{ m}$ di altitudine.

1. a) Modella la situazione sul piano orizzontale e calcola la distanza in linea retta sulla carta (distanza orizzontale) che separa il posto di osservazione dalla colonna di fumo.
2. b) Modella la situazione in tre dimensioni tenendo conto della differenza di altitudine tra la torre e il fuoco. Calcola la distanza reale e diretta che percorrerebbe un drone di ricognizione in linea retta nello spazio dal posto di osservazione al principio d'incendio.