MCD, mcm e fattori primi

Multipli e divisori

Un multiplo di un numero si ottiene moltiplicandolo per $1, 2, 3, 4, \dots$ I multipli di $7$ sono $7, 14, 21, 28, 35, \dots$ e sono infiniti.

Un divisore di un numero è un numero che lo divide esattamente, cioè con resto $0$. I divisori di $12$ sono $1, 2, 3, 4, 6, 12$ e sono in numero finito.

Per trovare tutti i divisori di un numero, prova a dividerlo per $1, 2, 3, \dots$ e scrivi i divisori a coppie: da $48 = 1 \cdot 48$, $2 \cdot 24$, $3 \cdot 16$, $4 \cdot 12$, $6 \cdot 8$ ottieni $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$.

Un numero maggiore di $1$ che ha come divisori solo $1$ e se stesso si dice primo: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots$ Gli altri numeri (maggiori di $1$) si dicono composti.

Scomposizione in fattori primi

Ogni numero composto si può scrivere in un solo modo come prodotto di numeri primi (a parte l'ordine). Si divide ripetutamente per il più piccolo primo possibile, finché si arriva a $1$.

Per controllare, rimoltiplica i fattori: devi ritrovare il numero di partenza. Ricorda i criteri di divisibilità: per $2$ se finisce con cifra pari, per $3$ se la somma delle cifre è divisibile per $3$, per $5$ se finisce con $0$ o $5$.

MCD e mcm

Il MCD (massimo comune divisore) di due numeri è il più grande numero che divide entrambi. Il mcm (minimo comune multiplo) è il più piccolo multiplo, diverso da zero, comune a entrambi.

Metodo con la scomposizione:

• MCD: prodotto dei fattori primi comuni, ciascuno con l'esponente minore.

• mcm: prodotto di tutti i fattori primi (comuni e non comuni), ciascuno con l'esponente maggiore.

Il perché: un divisore comune può contenere solo ciò che sta in entrambi i numeri; un multiplo comune deve contenere tutto ciò che c'è in almeno uno dei due.

Due numeri con MCD uguale a $1$ si dicono primi tra loro. Vale inoltre questa relazione:

Con $12$ e $18$: $12 \cdot 18 = 216$ e $6 \cdot 36 = 216$.

Problemi con MCD e mcm

Riconoscere il tipo di problema è metà del lavoro.

• Mcm: qualcosa si ripete nel tempo e si chiede quando coincide di nuovo (autobus, fari, campane). Il risultato è un multiplo comune, e cerchiamo il primo.

• MCD: qualcosa va diviso in parti uguali, senza avanzi, e si chiede la parte più grande o il maggior numero di gruppi uguali.

Nei problemi con misure decimali (per esempio $4{,}2$ m e $3{,}6$ m) converti prima in un'unità che renda i numeri interi: $420$ cm e $360$ cm. Il lato massimo della piastrella quadrata è allora il MCD, e il numero di piastrelle si trova dividendo le due dimensioni per il lato.

Torna all'inizio: i due autobus si ritrovano dopo $60$ minuti, perché $60$ è il mcm di $12$ e $20$.

In sintesi