Scala di aree e volumi
Se raddoppi il lato di un quadrato, non raddoppi la sua area: la quadruplichi. Il rapporto di similitudine $k$ non agisce allo stesso modo su lunghezze, aree e volumi, e confonderli è uno degli errori più costosi nella vita reale (letteralmente, nel prezzo delle cose). Per esempio: un negozio vende una pizza da $15$ cm di raggio e una da $30$ cm. Quella grande è «il doppio»? Lo scoprirai in questa pagina.
Lunghezze, aree e volumi: tre rapporti diversi
Guarda i tre quadrati: il lato diventa il doppio, poi il triplo, ma l'area cresce molto di più.
Due figure piane sono simili con rapporto di similitudine $k = 3$. a) Per quale numero si moltiplicano le lunghezze? b) Per quale numero si moltiplica l'area? c) Se…
Due figure piane sono simili con rapporto di similitudine $k = 3$.
a) Per quale numero si moltiplicano le lunghezze?
b) Per quale numero si moltiplica l'area?
c) Se fossero solidi, per quale numero si moltiplicherebbe il volume?
Due quadrati sono simili con rapporto $k = 2$. Se quello piccolo ha lato di $5$ cm: a) Quanto misura il lato di quello grande? b) Quali sono le aree dei due quadrati?
Due quadrati sono simili con rapporto $k = 2$. Se quello piccolo ha lato di $5$ cm:
a) Quanto misura il lato di quello grande?
b) Quali sono le aree dei due quadrati?
Ragiona se queste affermazioni sono vere o false: a) Se raddoppio i lati di un rettangolo, raddoppio la sua area. b) Il rapporto tra le aree di due figure simili è il…
Ragiona se queste affermazioni sono vere o false:
a) Se raddoppio i lati di un rettangolo, raddoppio la sua area.
b) Il rapporto tra le aree di due figure simili è il quadrato del rapporto di similitudine.
c) Se il rapporto di similitudine di due solidi è $2$, il volume del grande è $8$ volte quello del piccolo.
d) In una pianta in scala $1:50$, un centimetro quadrato della pianta rappresenta $50\ \text{cm}^2$ reali.
Calcolare con il rapporto tra le aree
Se conosci come cambia l'area, per trovare $k$ devi fare la radice quadrata, non dividere per $2$.
Con le piantine il discorso è lo stesso: in una scala $1:100$ le lunghezze reali sono $100$ volte quelle del disegno, quindi le aree reali sono $100^2 = 10.000$ volte quelle del disegno. Per esempio, $12\ \text{cm}^2$ sulla piantina sono $12 \cdot 10.000 = 120.000\ \text{cm}^2 = 12\ \text{m}^2$.
In una pianta in scala $1:100$, una stanza occupa $12\ \text{cm}^2$. Qual è la sua superficie reale? Esprimila in metri quadrati.
In una pianta in scala $1:100$, una stanza occupa $12\ \text{cm}^2$. Qual è la sua superficie reale? Esprimila in metri quadrati.
Un'artista dipinge un murale a partire da un bozzetto di $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ applicando un rapporto di scala $k = 8$. a) Quali dimensioni avrà il…
Un'artista dipinge un murale a partire da un bozzetto di $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ applicando un rapporto di scala $k = 8$.
a) Quali dimensioni avrà il murale?
b) Quale superficie avrà?
c) Se un barattolo di vernice copre $2\ \text{m}^2$, di quanti barattoli avrà bisogno come minimo?
a) Il rapporto tra le aree di due figure piane simili è $9$. Qual è il rapporto di similitudine tra i loro lati? E il rapporto tra i loro perimetri? b) I volumi di due…
a) Il rapporto tra le aree di due figure piane simili è $9$. Qual è il rapporto di similitudine tra i loro lati? E il rapporto tra i loro perimetri?
b) I volumi di due solidi simili sono in rapporto $\frac{27}{8}$. Qual è il rapporto di similitudine?
c) Le aree di due appezzamenti simili sono in rapporto $\frac{1}{4}$. Qual è il rapporto tra i loro lati?
Calcolare con il rapporto tra i volumi
Stesso ragionamento, ma con la radice cubica: se conosci come cambia il volume, $k$ si ricava con $\sqrt[3]{\ }$.
Anche qui valgono le scale: in un modellino $1:50$ il volume reale è $50^3 = 125.000$ volte quello del modellino. Ricorda che $1\ \text{m}^3 = 1.000.000\ \text{cm}^3$.
Un cubo ha spigolo di $4$ cm e un altro cubo, simile a esso, ha lo spigolo lungo il doppio. a) Qual è il volume di ciascun cubo? b) Quante volte è maggiore il volume del…
Un cubo ha spigolo di $4$ cm e un altro cubo, simile a esso, ha lo spigolo lungo il doppio.
a) Qual è il volume di ciascun cubo?
b) Quante volte è maggiore il volume del cubo grande rispetto a quello del piccolo?
Per il plastico di un quartiere sono state costruite due casette simili con rapporto di similitudine $1,5$. La casetta piccola ha richiesto $7,2\ \text{dm}^2$ di…
Per il plastico di un quartiere sono state costruite due casette simili con rapporto di similitudine $1,5$. La casetta piccola ha richiesto $7,2\ \text{dm}^2$ di cartoncino e il suo volume interno è di $6,4$ litri.
a) Quanto cartoncino servirà per la casetta grande?
b) Quale sarà il suo volume interno?
Un proiettore forma un quadrato di $1,5$ m di lato su uno schermo posto a $3$ m. Allontanando lo schermo fino a $6$ m, l'immagine continua a essere quadrata, come mostra…
Un proiettore forma un quadrato di $1,5$ m di lato su uno schermo posto a $3$ m. Allontanando lo schermo fino a $6$ m, l'immagine continua a essere quadrata, come mostra la figura.
a) Qual è il rapporto di similitudine tra le due immagini? Quanto misura il lato del quadrato a $6$ m?
b) Quante volte è maggiore l'area dell'immagine lontana rispetto a quella vicina?
c) Poiché la stessa quantità di luce si distribuisce su tutta la superficie, con quale frazione di luminosità per metro quadrato si vede l'immagine a $6$ m rispetto a $3$ m?
d) A quale distanza bisognerebbe collocare lo schermo perché l'area dell'immagine fosse $9$ volte quella iniziale?
Plastici, mappe e quanto costa ingrandire
Questi rapporti compaiono in situazioni molto concrete: quanto vetro serve per un acquario, quanto costa riempire d'acqua un serbatoio più grande, quanto terreno reale occupa un campo disegnato su una mappa.
Si ingrandisce una foto di $40\ \text{cm}^2$ con una fotocopiatrice al $150\%$. Quale superficie ha l'ingrandimento?
Si ingrandisce una foto di $40\ \text{cm}^2$ con una fotocopiatrice al $150\%$. Quale superficie ha l'ingrandimento?
Due acquari sono simili: quello piccolo è lungo $40$ cm e quello grande $80$ cm. a) Qual è il rapporto di similitudine? b) Se il vetro dell'acquario piccolo è costato…
Due acquari sono simili: quello piccolo è lungo $40$ cm e quello grande $80$ cm.
a) Qual è il rapporto di similitudine?
b) Se il vetro dell'acquario piccolo è costato $30\text{ €}$, quanto costerà quello del grande, allo stesso prezzo per superficie?
c) Se riempire d'acqua quello piccolo costa $5\text{ €}$, quanto costerà riempire quello grande?
Un cantiere navale costruisce un modellino di una barca a vela in scala $1:40$ che pesa $3$ kg. Se la barca reale fosse costruita con gli stessi materiali e la stessa…
Un cantiere navale costruisce un modellino di una barca a vela in scala $1:40$ che pesa $3$ kg. Se la barca reale fosse costruita con gli stessi materiali e la stessa densità media, quanto peserebbe? Esprimi il risultato in tonnellate.
Un'impresa di traslochi vuole «raddoppiare la capacità» delle sue scatole cubiche e decide di costruirle con lo spigolo doppio. Il titolare afferma: «Così ci starà il…
Un'impresa di traslochi vuole «raddoppiare la capacità» delle sue scatole cubiche e decide di costruirle con lo spigolo doppio. Il titolare afferma: «Così ci starà il doppio delle cose».
a) Spiega l'errore del titolare.
b) Quante volte maggiore sarà realmente la capacità della nuova scatola?
c) Se la scatola piccola ha un volume di $27\ \text{dm}^3$, quale sarà il volume di quella nuova?
Vuelve al principio: la pizza
Torniamo alla pizza da $15$ cm e a quella da $30$ cm: il rapporto di similitudine è $k = 2$, ma la quantità di pizza cresce con l'area, cioè $2^2 = 4$ volte. Quella grande non è «il doppio»: è il quadruplo.