Esercizi e applicazioni della similitudine

Il plastico di un nuovo palazzetto dello sport è costruito in scala $1:200$. Se la piscina olimpionica misura $25 \text{ cm}$ di lunghezza nel plastico, quanti metri misurerà la piscina nella realtà?

Una carta stradale ha scala $1:50.000$. Se la distanza tra due paesi vicini sulla carta è di $12 \text{ cm}$, quanti chilometri di distanza reale li separano?

Nella planimetria di un'abitazione in scala $1:75$, il salotto ha forma rettangolare con dimensioni di $8$ cm di lunghezza e $6$ cm di larghezza. Calcola la superficie reale del salotto in metri quadrati ($m^2$).

Abbiamo due rettangoli simili. Il primo misura $8 \text{ cm}$ di larghezza e $12 \text{ cm}$ di altezza. Se il secondo ha una larghezza di $20 \text{ cm}$, quale deve essere la sua altezza affinché mantenga la stessa forma?

Per decorare una parete, vogliamo ingrandire una fotografia che misura $10 \text{ cm} \times 15 \text{ cm}$ finché il suo lato maggiore misuri $1,2 \text{ metri}$. Quanto misurerà il lato minore della fotografia ingrandita?

Uno smartphone con diagonale di $6 \text{ pollici}$ ha uno schermo che misura $13,2 \text{ cm}$ di altezza e $7,4 \text{ cm}$ di larghezza. Se vogliamo vedere lo stesso contenuto su un tablet esattamente grande il doppio (rapporto di similitudine $k=2$), quali saranno le dimensioni dello schermo del tablet?

Due schermi televisivi sono simili. Il primo ha una diagonale di $32$ pollici e una superficie di circa $2800$ $cm^2$. Se il secondo schermo ha una diagonale di $48$ pollici:

1. Qual è il rapporto di similitudine tra lo schermo grande e quello piccolo?

2. Quale superficie occupa lo schermo da $48$ pollici?

Una fotografia rettangolare di $10 \times 15$ cm si vuole ingrandire per fare un poster. Se vogliamo che il lato più lungo dell'ingrandimento sia di $1,2$ metri:

1. Quanto misurerà il lato corto del poster?

2. Quante volte è maggiore l'area del poster rispetto all'area della fotografia originale?

Marco vuole stampare uno striscione gigante per la festa patronale del suo paese a partire da un cartellone pubblicitario originale. Il cartellone originale misura $40\text{ cm}$ di larghezza per $60\text{ cm}$ di lunghezza, e il suo costo di stampa è stato di $8$ €. Per lo striscione grande, Marco decide di triplicare entrambe le dimensioni (rapporto di similitudine $k = 3$), in modo che misuri $120\text{ cm} \times 180\text{ cm}$. Nel suo preventivo scrive: «Poiché le nuove dimensioni sono il triplo di quelle originali, la quantità di inchiostro e il costo dello striscione saranno il triplo, cioè $8 \cdot 3 = 24$ €».\n\na) Individua l'errore nel ragionamento di Marco e spiega con parole tue perché il costo non si triplica.\nb) Utilizzando la relazione tra le aree di figure simili, calcola il costo reale che avrà la stampa dello striscione gigante.

Un artista ha realizzato una scultura di bronzo che pesa $12$ kg e misura $40$ cm di altezza. Se vuole realizzare una replica esatta dello stesso materiale ma con un'altezza di $1$ metro, quanto peserà la nuova scultura? (Tieni presente che il peso è proporzionale al volume).

Due comuni, A e B, distano $18$ km nella realtà. Su una carta stradale, questa distanza è rappresentata da un segmento di $12$ cm.

1. Calcola la scala della carta.

2. Se altri due paesi sono separati sulla stessa carta da $7,5$ cm, qual è la loro distanza reale in chilometri?

Un designer di videogiochi sta creando due modelli di una torre difensiva. Il modello piccolo ha una superficie laterale di $150 \text{ cm}^2$ e un volume di $250 \text{ cm}^3$. Se il modello grande deve avere una superficie laterale di $600 \text{ cm}^2$ affinché i dettagli si vedano bene:

1. a) Qual è il rapporto di similitudine $k$ tra le lunghezze dei due modelli?
2. b) Qual sarà il volume del modello grande?
3. c) Se per realizzare il modello piccolo sono serviti 40 grammi di resina, quanti chili di resina serviranno per realizzare 10 modelli grandi?

In una mappa in scala $1:25.000$, una riserva naturale ha forma di trapezio. Sulla carta, le sue basi misurano $4 \text{ cm}$ e $6 \text{ cm}$, e la sua altezza è di $3 \text{ cm}$.

1. a) Calcola l'area della riserva sulla mappa in $\text{cm}^2$.
2. b) Utilizzando il rapporto di similitudine delle aree, calcola l'area reale della riserva in chilometri quadrati ($\text{km}^2$).
3. c) Se il governo decide di ampliare la riserva aumentando tutte le sue dimensioni lineari del $20\%$, quale sarà la nuova superficie reale?

Un parco ha la forma di un esagono regolare di lato $40 \text{ m}$. Si vuole costruire al suo centro una fontana circolare simile a una piccola fontana di $2 \text{ m}$ di diametro presente all'ingresso. Se il rapporto di similitudine tra il raggio del cerchio inscritto nell'esagono (apotema) e il raggio della fontana deve essere $4$:

1. a) Calcola l'apotema dell'esagono (puoi usare Pitagora).
2. b) Calcola il diametro della nuova fontana centrale.
3. c) Qual è il rapporto tra l'area del parco e l'area della fontana centrale?

L'Istituto Geografico Militare (IGM) pubblica mappe in scala $1:25\,000$. Una squadra di prevenzione degli incendi della Regione Piemonte analizza sulla mappa una zona boschiva delle Alpi che ha la forma di un triangolo rettangolo. Sulla mappa ufficiale, l'ipotenusa di questo triangolo misura $10\text{ cm}$ e la proiezione di uno dei suoi cateti sull'ipotenusa misura $3,6\text{ cm}$.\n\na) Utilizzando direttamente i teoremi di Euclide sulle misure della mappa, trova le lunghezze dei due cateti e dell'altezza relativa all'ipotenusa (in centimetri di carta).\nb) Calcola l'area della zona boschiva sulla mappa (in $\text{cm}^2$). Poi determina la superficie reale di tale zona in ettari ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$) utilizzando esclusivamente il rapporto di similitudine tra le aree $k^2$, senza prima convertire ogni lato in metri reali. Spiega perché questo procedimento è più diretto.\nc) Se le squadre forestali hanno come protocollo di pulizia il decespugliamento di una fascia perimetrale di sicurezza e avanzano a un ritmo medio di $1,2\text{ km}$ lineari al giorno, quanti giorni interi di lavoro serviranno per percorrere e mettere in sicurezza tutto il perimetro reale dell'area triangolare?

Per misurare l'altezza di un albero nel cortile della scuola, approfittiamo di una giornata di sole. Un'asta piantata verticalmente nel terreno, alta $1,5 \text{ m}$, proietta un'ombra di $0,9 \text{ m}$. Se nello stesso istante l'ombra dell'albero misura $6 \text{ m}$, qual è l'altezza dell'albero?

Sei in escursione nel Parco Nazionale del Gran Paradiso e vuoi scoprire l'altezza di una torre di avvistamento in legno senza salirci. Alle $11:30$ del mattino, pianti nel terreno orizzontale un bastone da escursionismo alto $1,20\text{ m}$, che proietta un'ombra di $80\text{ cm}$. Nello stesso istante, misuri l'ombra che la torre proietta sul terreno pianeggiante e ottieni $6,4\text{ m}$.\n\na) Prima di eseguire qualsiasi calcolo numerico formale, fai una stima ragionata: l'altezza della torre sarà maggiore o minore della lunghezza della sua ombra? Pensi che supererà i $10\text{ m}$?\nb) Imposta la proporzione di similitudine tra le altezze e le ombre per calcolare con esattezza l'altezza della torre.\nc) Confronta il valore ottenuto con la tua stima iniziale e valuta se il risultato è coerente con la realtà.

Un creator di contenuti sta girando un video all'aperto. Per calcolare l'altezza di una scultura moderna, posiziona il suo treppiede, alto $1,20$ metri, in modo che proietti sul terreno un'ombra di $90$ cm. Nello stesso istante, l'ombra della scultura misura $4,5$ metri. Che altezza ha la scultura?

Calcola l'altezza dell'edificio ($x$) utilizzando la similitudine dei triangoli che si formano nella figura. Gli occhi della persona sono a $1,60$ m da terra, la distanza della persona dalla recinzione è di $2$ m e la distanza della recinzione dall'edificio è di $10$ m. L'altezza della recinzione è di $2,40$ m.

Per misurare l'altezza della Torre degli Asinelli di Bologna senza usare strumenti complessi, un gruppo di studenti utilizza uno specchio posto a terra. Lo studente più alto, che misura $1,85 \text{ m}$, si colloca a una distanza tale da vedere la cima della torre riflessa al centro dello specchio. Lo specchio è a $120 \text{ m}$ dalla base della torre e lo studente è a $2,3 \text{ m}$ dallo specchio. Se gli occhi dello studente sono a $10 \text{ cm}$ dalla sommità della sua testa:

1. a) Disegna uno schema della situazione individuando i triangoli simili.
2. b) Calcola l'altezza della torre sapendo che l'angolo di incidenza della luce è uguale a quello di riflessione.
3. c) Se un altro studente alto $1,60 \text{ m}$, con gli occhi anch'essi a $10 \text{ cm}$ dalla sommità della testa, volesse vedere la stessa cosa senza spostare lo specchio, a quale distanza dallo specchio dovrebbe mettersi?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una camera oscura è una scatola chiusa con un piccolo foro da cui entra la luce, proiettando l'immagine di un oggetto esterno sulla parete opposta. Se abbiamo una scatola di $25 \text{ cm}$ di profondità e vogliamo fotografare un albero alto $12 \text{ m}$ che si trova a una distanza di $30 \text{ m}$ dalla camera:

1. a) Che altezza avrà l'immagine dell'albero proiettata all'interno della scatola?
2. b) Se avviciniamo la camera all'albero finché l'immagine proiettata misura il doppio, a che distanza dall'albero ci troveremo?
3. c) Qual è il rapporto di similitudine tra l'oggetto reale e l'immagine in quest'ultimo caso?

Due edifici verticali sono separati da una strada larga $20 \text{ m}$. L'edificio più alto misura $45 \text{ m}$ e quello più basso $30 \text{ m}$. Dal terrazzo dell'edificio più basso si osserva la base dell'edificio alto. Su questa stessa visuale si interpone un lampione che si trova a $5 \text{ m}$ dall'edificio basso.

1. a) Che altezza deve avere il lampione perché la sua sommità si trovi esattamente su quella linea visuale?
2. b) Se dal terrazzo dell'edificio alto tendiamo un cavo rettilineo fino al terrazzo dell'edificio basso, quanto sarà lungo il cavo?
3. c) A che altezza da terra quel cavo incrocerebbe il lampione (supponendo che il lampione sia abbastanza alto)?

Nella figura seguente, le rette $r$ e $s$ sono tagliate da tre rette parallele tra loro. Sapendo che i segmenti sulla retta $r$ misurano $AB = 3 \text{ cm}$ e $BC = 4 \text{ cm}$, e che il segmento corrispondente sulla retta $s$ è $A'B' = 4,5 \text{ cm}$, calcola la lunghezza del segmento $B'C'$.

Calcola il valore del segmento incognito $x$ nella figura seguente, sapendo che i due triangoli sono in posizione di Talete:

Per rinnovare il design di una scaffalatura, un falegname dispone tre ripiani paralleli tagliati da due listelli laterali, come mostrato nella figura. Se le misure dei segmenti su uno dei listelli sono $AB = 25$ cm e $BC = 40$ cm, e sull'altro listello il segmento omologo a $AB$ misura $A'B' = 30$ cm, quanto misurerà il segmento $B'C'$?

Si vuole dividere un terreno triangolare di $300 \text{ m}^2$ di superficie in due parcelle mediante una recinzione parallela a uno dei suoi lati. La recinzione è posta in modo da tagliare gli altri due lati a un terzo di distanza dal vertice superiore comune.

1. a) Qual è il rapporto di similitudine tra il triangolo piccolo (superiore) e il terreno originale?
2. b) Calcola l'area di ciascuna delle due parcelle risultanti.
3. c) Se la base del terreno originale misurava $30 \text{ m}$, quanto misurerà la nuova recinzione?

Nei lavori di ammodernamento del porto di Napoli si sta installando una rampa di carico per veicoli pesanti. Il profilo laterale della rampa ha forma di triangolo rettangolo, appoggiato sulla sua ipotenusa al suolo orizzontale. Proprio nel vertice dell'angolo retto è posto un pilastro verticale di sostegno di altezza $h$ perpendicolare al suolo, che divide la lunghezza totale della base in due tratti: uno di $4,5\text{ m}$ e l'altro di $8\text{ m}$.\n\na) Modellizza la situazione individuando quali elementi del triangolo rettangolo rappresentano i due tratti del suolo e l'altezza del pilastro.\nb) Calcola l'altezza esatta che deve avere il pilastro verticale applicando il secondo teorema di Euclide ($h^2 = m \cdot n$).\nc) Determina la lunghezza dei due tratti inclinati della rampa (i cateti) applicando il primo teorema di Euclide ($b^2 = m \cdot c$).\nd) Verifica che i tre lati del triangolo rettangolo complessivo soddisfano il teorema di Pitagora.

Nel triangolo rettangolo della figura, l'ipotenusa misura $25 \text{ cm}$. L'altezza relativa all'ipotenusa, $h$, la divide in due segmenti, $m$ e $n$. Se sappiamo che il cateto $b$ misura $15 \text{ cm}$:

1. a) Calcola la misura della proiezione $m$ utilizzando il primo teorema di Euclide.
2. b) Calcola il valore dell'altezza $h$ utilizzando il secondo teorema di Euclide.
3. c) Trova l'area e il perimetro del triangolo intero.

Nel progetto di una capriata di legno a forma di triangolo rettangolo per il tetto di un'abitazione bioclimatica, la trave verticale di rinforzo coincide con l'altezza relativa all'ipotenusa. La trave inferiore orizzontale (l'ipotenusa) misura $25\text{ m}$ e la proiezione della falda minore sul suolo misura $9\text{ m}$. Occorre calcolare la lunghezza esatta della trave verticale di rinforzo ($h$).\n\nPer risolverlo, due studenti di architettura propongono strade diverse:\n- Lucia dice: «Prima calcolo l'altra proiezione sul suolo sottraendo dall'ipotenusa totale ($n = 25 - 9 = 16\text{ m}$) e poi calcolo direttamente $h$ con il secondo teorema di Euclide».\n- Sofia dice: «Prima calcolo la falda minore (il cateto) con il primo teorema di Euclide e, una volta ottenuto quel lato, applico il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo formato da quel cateto, dalla sua proiezione di $9\text{ m}$ e dall'altezza $h$».\n\na) Sviluppa completamente entrambi i metodi con le rispettive formule e verifica se si arriva allo stesso valore per $h$.\nb) Confronta i due procedimenti e giustifica in modo critico quale dei due sia preferibile in termini di economia di operazioni e minore probabilità di commettere errori di arrotondamento o di calcolo.\nc) Se in un altro tetto non conoscessimo l'ipotenusa totale, ma soltanto la lunghezza del cateto e la sua proiezione, si potrebbe continuare a usare il metodo di Lucia senza calcolare prima l'ipotenusa? Giustificalo.

Uno studio di paesaggistica di Napoli deve progettare due aiuole a prato di forma triangolare e rigorosamente simili. L'aiuola piccola ha un'area di $12\text{ m}^2$ e il suo lato più lungo misura $6\text{ m}$. Il capitolato tecnico del comune impone che l'aiuola grande abbia esattamente un'area di $108\text{ m}^2$.\n\na) Determina il rapporto tra le aree delle due aiuole e deduci da esso quale deve essere il rapporto di similitudine lineare $k$ tra i loro lati.\nb) Quanto misurerà il lato più lungo dell'aiuola grande?\nc) Se per recintare tutto il perimetro dell'aiuola piccola sono stati impiegati $16\text{ m}$ di cordolo metallico, calcola quanti metri di cordolo serviranno per recintare l'aiuola grande. Giustifica la tua risposta senza bisogno di calcolare la misura degli altri due lati singolarmente.