Esercizi: Teorema di Pitagora

In un allenamento di calcio, un giocatore corre in linea retta da un angolo del campo all'angolo opposto. Se il campo misura $80$ metri di lunghezza e $60$ metri di larghezza, quale distanza percorre il giocatore nella sua corsa in diagonale?

Una scala doppia aperta ha un'altezza verticale di $2,4$ metri. Se la distanza tra i piedi appoggiati al suolo è di $1,4$ metri, quanto misura ciascuno dei bracci della scala? Suggerimento: Osserva che l'altezza divide la scala in due triangoli rettangoli uguali.

Verifica se un triangolo i cui lati misurano $7$ cm, $10$ cm e $12$ cm è un triangolo rettangolo. A tal fine, verifica se vale l'uguaglianza del teorema di Pitagora tra i suoi lati.

Vogliamo collocare un cavo dalla sommità di un'antenna per telefonia alta $12$ metri fino a un punto di ancoraggio situato a terra, a $9$ metri dalla base dell'antenna. Quale lunghezza deve avere il cavo perché risulti completamente teso?

Trova la lunghezza del lato incognito ($c$) nel seguente triangolo rettangolo, sapendo che l'ipotenusa misura $13$ cm e uno dei cateti misura $5$ cm.

Gli schermi dei televisori si misurano in pollici in base alla loro diagonale. Se un televisore ha una larghezza di $32$ cm e un'altezza di $24$ cm, quanti centimetri misura la sua diagonale?

Calcola il perimetro di un rombo le cui diagonali misurano $16$ cm e $12$ cm. Ricorda che le diagonali di un rombo sono perpendicolari e si tagliano nel loro punto medio, formando quattro triangoli rettangoli.

Un faro proietta una luce che arriva fino a una nave. Il faro è alto $30$ metri e la nave si trova a una distanza orizzontale di $40$ metri dalla base del faro. Qual è la distanza diretta tra la lampada del faro e la nave?

Per calcolare la lunghezza della diagonale di uno schermo televisivo rettangolare che misura $40\text{ cm}$ di larghezza e $30\text{ cm}$ di altezza, Lucia scrive sul quaderno il seguente procedimento:

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Spiega in dettaglio quale errore algebrico ha commesso Lucia con la radice quadrata e perché la radice di una somma non si può separare nella somma delle radici.
2. b) Senza eseguire ancora il calcolo corretto, ragiona geometricamente sul perché un risultato di $70\text{ cm}$ è impossibile per quella diagonale (ricorda la disuguaglianza triangolare: la lunghezza di qualsiasi lato di un triangolo deve essere minore della somma degli altri due).
3. c) Correggi il procedimento di Lucia e trova la misura reale della diagonale di quello schermo.

Un campo sportivo scolastico di pallacanestro ha dimensioni ufficiali di $28\text{ m}$ di lunghezza per $15\text{ m}$ di larghezza. L'insegnante di Educazione fisica chiede ai suoi alunni di correre in linea retta da un angolo all'angolo diagonalmente opposto.

1. a) Prima di fare qualsiasi operazione con le radici, fai una stima ragionata: giustifica perché la distanza diagonale percorsa deve essere necessariamente maggiore di $28\text{ m}$ e minore di $43\text{ m}$. Tra quali due numeri interi pensi che si troverà il risultato?
2. b) Applica il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza esatta della diagonale, arrotondando il risultato ai centesimi di metro.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la tua stima precedente e valuta criticamente se il risultato ottenuto ha senso pratico in un campo sportivo.

Per fissare una rete da pallavolo nel cortile della scuola, è stato collocato un cavo di tensione dalla parte superiore di un palo a un ancoraggio a terra. Il palo è alto $2,4$ metri e la distanza dalla base del palo all'ancoraggio è di $1,8$ metri. Se vogliamo mettere un cavo identico su un altro palo che è un ingrandimento in scala $k = 1,5$ del primo, quanto misurerà il nuovo cavo?

Lo schermo rettangolare di uno smartphone ha un'altezza di $12\text{ cm}$ e una larghezza di $5\text{ cm}$. Un tablet è simile allo smartphone e il suo lato minore misura $15\text{ cm}$. Calcola prima la diagonale dello smartphone usando il teorema di Pitagora e poi utilizza il rapporto di similitudine per trovare la diagonale del tablet.

Un falegname sta progettando due mensole triangolari simili per gli angoli di una stanza. La mensola piccola ha due lati (cateti) di $30\text{ cm}$ e $40\text{ cm}$. La mensola grande ha un perimetro di $240\text{ cm}$. Quanto misura il lato più lungo (ipotenusa) della mensola grande?

In un parco c'è una rampa per skate che vista di profilo forma un triangolo rettangolo. La base della rampa misura $4\text{ metri}$ e l'altezza massima è di $3\text{ metri}$. A una distanza di $1,6\text{ metri}$ dalla base è stato collocato un sostegno verticale di rinforzo.

• a) Calcola la lunghezza totale della rampa (la parte inclinata).

• b) Usando la similitudine tra triangoli, calcola l'altezza del sostegno verticale.

Un giardino ha la forma di un triangolo isoscele. I suoi due lati uguali misurano $13\text{ metri}$ e il lato diverso (la base) misura $10\text{ metri}$. Vogliamo costruire un plastico di questo giardino che sia una riduzione e la cui base nel plastico sia di $20\text{ cm}$. Calcola:

• a) L'altezza reale del giardino.

• b) L'area che occuperà il plastico in $\text{cm}^2$.

Due edifici proiettano la loro ombra alla stessa ora del giorno. L'edificio A ha un'altezza di $15\text{ metri}$ e la sua ombra misura $12\text{ metri}$. L'edificio B è accanto e proietta un'ombra di $20\text{ metri}$.

• a) Qual è l'altezza dell'edificio B?

• b) Se uniamo la sommità di ciascun edificio con l'estremità della sua ombra, si formano due triangoli rettangoli. Calcola la lunghezza di queste linee immaginarie (ipotenuse) per entrambi gli edifici.

Calcola l'area di un esagono regolare di lato $8\text{ cm}$. Ricorda che un esagono regolare si può dividere in sei triangoli equilateri. Dovrai usare il teorema di Pitagora per trovare l'apotema dell'esagono prima di calcolare la sua area totale.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti che misurano $9\text{ cm}$ e $16\text{ cm}$.

• a) Calcola l'altezza del triangolo usando il secondo teorema di Euclide ($h^2 = m \cdot n$, dove $m$ e $n$ sono i due segmenti dell'ipotenusa).

• b) Una volta trovata l'altezza, utilizza il teorema di Pitagora per calcolare quanto misurano i due cateti del triangolo originale.

Un laboratorio di falegnameria deve progettare un pezzo di giunzione a forma di triangolo rettangolo la cui ipotenusa misuri esattamente $\sqrt{65}\text{ dm}$.

1. a) Trova due coppie distinte di numeri interi positivi $(a, b)$ che possano essere le lunghezze dei cateti in decimetri. Dimostra algebricamente, mediante il teorema di Pitagora, che entrambe le coppie danno come risultato esatto l'ipotenusa richiesta.
2. b) Se il laboratorio decidesse che il pezzo deve essere, oltre che rettangolo, anche un triangolo isoscele (con entrambi i cateti uguali) mantenendo l'ipotenusa di $\sqrt{65}\text{ dm}$, imposta un'equazione e deduci quanto dovrebbe misurare esattamente ciascun cateto. Possono misurare un numero intero di decimetri in questo secondo caso? Giustifica la tua risposta.

Durante le attività di sorveglianza antincendio nelle Alpi, un posto di osservazione forestale si trova a un'altitudine di $1900\text{ m}$. Il guardiaboschi individua una colonna di fumo la cui posizione sulla carta si trova a $1200\text{ m}$ verso est e $900\text{ m}$ verso nord rispetto alla torre, ma in una valletta situata a una quota più bassa, a $1100\text{ m}$ di altitudine.

1. a) Modella la situazione sul piano orizzontale e calcola la distanza in linea retta sulla carta (distanza orizzontale) che separa il posto di osservazione dalla colonna di fumo.
2. b) Modella la situazione in tre dimensioni tenendo conto della differenza di altitudine tra la torre e il fuoco. Calcola la distanza reale e diretta che percorrerebbe un drone di ricognizione in linea retta nello spazio dal posto di osservazione al principio d'incendio.

Un servizio di corriere utilizza scatole di cartone a forma di parallelepipedo rettangolo. Una delle sue scatole più grandi ha dimensioni di $60\text{ cm}$ di lunghezza, $45\text{ cm}$ di larghezza e $30\text{ cm}$ di altezza. Un cliente deve spedire un tubo rigido che misura esattamente $82\text{ cm}$.

Utilizza il teorema di Pitagora per determinare se il tubo entra nella scatola (collocandolo in diagonale, unendo due vertici opposti dello spazio interno) e giustifica la tua risposta con i calcoli necessari.

Un architetto ha progettato una vetrata a forma di triangolo isoscele la cui base misura $12\text{ m}$ e i cui lati uguali misurano $10\text{ m}$ ciascuno. Per motivi di illuminazione, deve collocare una traversa orizzontale esattamente a metà dell'altezza del triangolo.

Calcola prima l'altezza totale della vetrata usando il teorema di Pitagora e, successivamente, utilizza la similitudine tra triangoli per trovare la lunghezza della traversa orizzontale.

Un'agenzia pubblicitaria ha realizzato un telone a forma di rombo per coprire la facciata di un edificio. Le diagonali del rombo misurano $16\text{ m}$ e $12\text{ m}$. Vogliono realizzare una replica in scala per un ufficio il cui rapporto di similitudine rispetto all'originale è $k = 0,25$.

Calcola il perimetro del telone originale (usando Pitagora per trovare il lato) e, a partire da questo dato, determina il perimetro e l'area della replica piccola senza dover calcolare i suoi lati uno per uno.

Un drone sorvola un terreno pianeggiante a un'altezza di $120\text{ m}$. A un certo momento, la sua telecamera individua la sommità di una torre di controllo. I sensori indicano che la distanza in linea retta (diagonale) dal drone alla cima della torre è di $150\text{ m}$. Sapendo che l'ombra della torre nello stesso istante misura $18\text{ m}$, calcola:

1. La distanza orizzontale sul terreno dal drone alla verticale della torre.

2. L'altezza della torre di controllo utilizzando la similitudine tra la torre e la sua ombra, sapendo che i raggi del sole incidono con un angolo tale che un palo di $2\text{ m}$ proietta un'ombra di $1,2\text{ m}$.

Un giardino ha la forma di un esagono regolare di lato $8\text{ m}$. Si vuole installare un sistema di irrigazione circolare che copra esattamente fino ai punti medi di ciascun lato (cioè il cerchio inscritto nell'esagono).

1. Calcola il raggio di tale cerchio (apotema dell'esagono) utilizzando il teorema di Pitagora.

2. Se una pianta del giardino è realizzata in scala $1:200$, qual è l'area dell'esagono nella pianta in $\text{cm}^2$?

Due edifici verticali sono separati da una distanza di $16\text{ m}$. L'edificio A è alto $24\text{ m}$ e l'edificio B è alto $36\text{ m}$. Si vuole tendere un cavo di fibra ottica che vada dal tetto dell'edificio A al tetto dell'edificio B.

1. Quale lunghezza minima deve avere il cavo?

2. Se un tecnico si trova sul cavo a una distanza orizzontale di $4\text{ m}$ dall'edificio A, a quale altezza dal suolo si trova in quel punto? (Utilizza la similitudine tra triangoli).

Si ha una piramide quadrangolare regolare la cui base è un quadrato di lato $10\text{ cm}$. L'altezza della piramide (dal centro della base al vertice) è di $12\text{ cm}$.

1. Calcola l'altezza di una faccia laterale (apotema della piramide) usando Pitagora.

2. Se costruiamo una piramide simile più piccola con rapporto di similitudine $k = 0,5$, calcola il volume della piramide piccola sapendo che il volume dell'originale è $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Area di base} \cdot \text{Altezza}$.

In un parco, un'altalena è formata da due pali metallici che si incrociano formando una "X". I piedi dei pali sono distanti $3\text{ m}$ sul terreno. I pali misurano $5\text{ m}$ ciascuno, sono inclinati simmetricamente (formano lo stesso angolo con il suolo) e si incrociano esattamente a un'altezza di $2\text{ m}$ dal suolo.

Calcola la distanza tra le estremità superiori dei pali utilizzando le proprietà della similitudine (triangoli in posizione di Talete) e il teorema di Pitagora per trovare le distanze ausiliarie necessarie.

Nel plastico di un parco giochi, una rampa dritta per monopattini ha la forma di un triangolo rettangolo con base $12\text{ cm}$ e altezza $5\text{ cm}$. La rampa reale costruita nel parco è un ingrandimento simile in scala con rapporto di similitudine $k = 20$. Per determinare la lunghezza del piano inclinato della rampa reale (l'ipotenusa), due studenti propongono percorsi diversi:

• Metodo di Marco: Calcola prima l'ipotenusa del plastico usando il teorema di Pitagora e poi moltiplica questa misura per il rapporto di similitudine $k = 20$.

• Metodo di Sara: Moltiplica prima le due dimensioni del plastico per il rapporto $k = 20$ per trovare la base e l'altezza reali del parco, e poi applica il teorema di Pitagora su questi valori maggiori.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi passo dopo passo e verifica se entrambi portano allo stesso risultato numerico in metri.
2. b) Se dovessi risolvere questo esercizio in una verifica senza usare la calcolatrice, quale dei due metodi sceglieresti e perché? Giustifica la tua scelta analizzando la difficoltà operativa dei calcoli coinvolti e basandoti sulle proprietà della similitudine.

I vigili del fuoco di Torino dispongono di una scala di soccorso di lunghezza fissa $6,5\text{ m}$. Per raggiungere un balcone, appoggiano l'estremità superiore alla facciata verticale di un edificio e la base su un marciapiede orizzontale, a una distanza di $2,5\text{ m}$ dalla parete.

1. a) Modella la situazione con un triangolo rettangolo e calcola a quale altezza della facciata arriva l'estremità superiore della scala nella posizione iniziale.
2. b) Per liberare una pista ciclabile, i vigili avvicinano la base della scala di $0,9\text{ m}$ alla parete (arrivando a $1,6\text{ m}$ da essa). L'estremità superiore salirà lungo la parete esattamente degli stessi $0,9\text{ m}$ di cui si è spostata la base verso l'interno? Formula un'ipotesi motivata prima di calcolare e poi calcola la nuova altezza raggiunta per verificare la tua ipotesi.
3. c) Confronta la variazione orizzontale della base con la variazione verticale dell'altezza e spiega perché, a causa della relazione quadratica del teorema di Pitagora ($a^2 + b^2 = c^2$), lo spostamento orizzontale e quello verticale non mantengono un rapporto costante e, in generale, non sono uguali.