Cifre significative e stima di radici

Quante cifre contano in una misura?

Una misura non è mai esatta: dipende dallo strumento. Le cifre significative sono le cifre che portano informazione sulla misura: quelle che lo strumento ha davvero permesso di leggere.

Regole per contarle:

• le cifre diverse da $0$ contano sempre;

• gli zeri in mezzo a cifre diverse da zero contano;

• gli zeri all'inizio (a sinistra) non contano: servono solo a posizionare la virgola;

• gli zeri dopo la virgola, alla fine, contano: dicono che lo strumento ha letto proprio quella cifra.

Perché $7{,}0$ s e $7$ s sono diversi? Con $7{,}0$ s dico che il cronometro ha letto anche i decimi; con $7$ s no.

Potenze del 10 e ordine di grandezza

Per scrivere in modo compatto misure molto grandi o molto piccole si usa la notazione scientifica: $a \cdot 10^n$ con $1 \le a < 10$. Le cifre di $a$ sono proprio le cifre significative. Ricorda che $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$, quindi $0{,}0042$ kg $= 4{,}2 \cdot 10^{-3}$ kg.

L'ordine di grandezza è la potenza di $10$ più vicina al numero: per $4{,}2 \cdot 10^{3}$ è $10^3$. I prefissi del Sistema Internazionale sono potenze del $10$: kilo ($10^3$), mega ($10^6$), giga ($10^9$), milli ($10^{-3}$), micro ($10^{-6}$). Per esempio $2{,}5$ km $= 2{,}5 \cdot 10^3$ m.

Arrotondare alle cifre significative

Per scrivere un numero con $n$ cifre significative: conta $n$ cifre a partire dalla prima diversa da zero, guarda la cifra successiva e arrotonda (se è $5$ o più, aumenta di uno l'ultima cifra tenuta; altrimenti lasciala).

Calcoli con misure

Quando calcoli con misure, il risultato non può essere più preciso dei dati. Regola semplice: nei prodotti e nei quozienti, scrivi il risultato con tante cifre significative quante ne ha il dato che ne ha di meno.

Stimare una radice con le moltiplicazioni

Ricorda: la radice quadrata è l'operatore inverso dell'elevamento al quadrato: $\sqrt{a} = b$ se e solo se $b^2 = a$, con $b \ge 0$. Per questo ti aiuta la tavola dei quadrati: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ sono i quadrati perfetti, e le loro radici sono $1, 2, 3, \ldots, 12$. Se $a$ non è un quadrato perfetto, la radice non è intera, ma possiamo chiuderla tra due valori usando solo moltiplicazioni.

Esempio: $\sqrt{50}$. Poiché $7 \cdot 7 = 49$ e $8 \cdot 8 = 64$, si ha $7^2 < 50 < 8^2$, quindi $7 < \sqrt{50} < 8$. Poiché $50$ è molto vicino a $49$, la radice è poco sopra $7$.

Per avere i decimi, proviamo con i numeri tra $7$ e $8$.

Per avere i centesimi si ripete lo stesso procedimento tra due decimi consecutivi.

La radice ha due proprietà utili: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ e $\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}$. Per esempio $\sqrt{36 \cdot 4} = 6 \cdot 2 = 12$, e infatti $\sqrt{144} = 12$.

Attenzione: se $a$ è un numero naturale che non è un quadrato perfetto, $\sqrt{a}$ non è né una frazione né un numero decimale finito o periodico. Per esempio $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ ha infinite cifre decimali senza periodo: nessuna frazione e nessun decimale periodico, elevato al quadrato, dà esattamente $2$. Perciò le nostre stime sono sempre approssimazioni.

Radici e misure insieme

Nei problemi reali le due idee si incontrano: il lato di un quadrato si trova con una radice, e il risultato va scritto con un numero ragionevole di cifre.

Vuoi tornare al principio? Marco ha misurato con il centimetro: $4{,}67$ m (3 cifre significative) è la scrittura onesta, mentre $4{,}6728$ m finge una precisione al decimo di millimetro che lo strumento non ha.

In sintesi

• Le cifre significative sono quelle che lo strumento ha davvero letto: gli zeri iniziali non contano, quelli in mezzo e quelli finali dopo la virgola sì.

• Per arrotondare a $n$ cifre significative si guarda la cifra successiva: $5$ o più, si sale; altrimenti si lascia.

• In un prodotto o in un quoziente il risultato ha tante cifre significative quante il dato meno preciso.

• Per stimare $\sqrt{a}$ si cercano due quadrati perfetti tra cui sta $a$; poi con tentativi di moltiplicazione si restringe ai decimi e ai centesimi.

• Se la radice non è esatta, si scrive $\approx$ e si dice se la stima è per difetto o per eccesso.