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2ª media · Matematica
Completamenti del programma di matematica · Numeri sulla retta numerica

Frazioni e decimali sulla retta

Giulia, Marco e Luca vanno a sciare a Cortina d'Ampezzo. Al mattino il termometro segna $-3{,}5$ °C, a mezzogiorno è salito di $\frac{9}{2}$ °C. Come si fa a «vedere» dove si trova questa temperatura, se un numero è scritto come frazione e l'altro come decimale? La retta numerica ci permette di mettere tutti i numeri sulla stessa strada, e di confrontarli a colpo d'occhio.

Frazioni sulla retta

Per rappresentare i numeri sulla retta si sceglie un punto che corrisponde a $0$ e un'unità di misura: il segmento da $0$ a $1$. I numeri interi stanno a distanza uguale uno dall'altro.

Per collocare una frazione come $\frac{3}{4}$:

  • il denominatore dice in quante parti uguali dividere l'unità (4 parti);

  • il numeratore dice quante parti contare a partire da $0$ (3 parti).

Retta numerica con l'unità divisa in quattro parti uguali e il punto 3/4 evidenziato 0 1 2 3 3/4

Se la frazione è impropria (numeratore maggiore del denominatore) il punto cade dopo l'$1$. Per esempio $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$: si superano due unità intere e si aggiunge un terzo di unità. Quindi $\frac{7}{3}$ sta tra $2$ e $3$.

Esercitati★☆☆
Disegna una retta numerica con unità lunga $8$ quadretti e rappresenta i numeri $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{3}{4};\ \dfrac{1}{8};\ \dfrac{7}{8}$.

Disegna una retta numerica con unità lunga $8$ quadretti e rappresenta i numeri $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{3}{4};\ \dfrac{1}{8};\ \dfrac{7}{8}$.

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Esercitati★☆☆
Tra quali due numeri interi consecutivi si trovano questi numeri? a) $\dfrac{7}{3}$ b) $-\dfrac{5}{2}$ c) $3,8$ d) $-0,4$

Tra quali due numeri interi consecutivi si trovano questi numeri?

  1. a) $\dfrac{7}{3}$
  2. b) $-\dfrac{5}{2}$
  3. c) $3,8$
  4. d) $-0,4$
Risolvi
Esercitati★★☆
Sulla retta numerica il segmento tra $0$ e $1$ è diviso in $5$ parti uguali. a) Scrivi le frazioni e i decimali corrispondenti ai punti di divisione. b) Colloca…

Sulla retta numerica il segmento tra $0$ e $1$ è diviso in $5$ parti uguali.

  1. a) Scrivi le frazioni e i decimali corrispondenti ai punti di divisione.
  2. b) Colloca $\dfrac{7}{5}$ e $-\dfrac{3}{5}$.
  3. c) Quale numero decimale si trova a metà tra $\dfrac{2}{5}$ e $\dfrac{3}{5}$?
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Decimali sulla retta e confronto

Un numero decimale si colloca dividendo l'unità in $10$ parti: ogni parte vale $0{,}1$. Per collocare $1{,}2$ parti da $0$, fai un passo intero fino a $1$ e poi $2$ decimi. Per i numeri negativi si procede verso sinistra: $-0{,}7$ sta a sinistra di $0$, a $7$ decimi di distanza.

Scegli l'unità in modo comodo: per $0{,}5;\ 1{,}2;\ -0{,}7;\ -1{,}5$ conviene un'unità lunga $10$ quadretti, così ogni decimo è un quadretto.

Sulla retta, di due numeri è maggiore quello che sta più a destra. Per questo ogni numero negativo è minore di ogni numero positivo, e tra due negativi è maggiore quello più vicino a $0$: $-0{,}6 > -1{,}5$.

Per confrontare una frazione con un decimale puoi trasformare la frazione in decimale (dividendo numeratore per denominatore) oppure usare un denominatore comune.

Retta numerica da -2 a 2 con i punti -1,5, -0,7, 0,5 e 1,2 -2 -1 0 1 2 -1,5 -0,7 0,5 1,2
Esercitati★☆☆
Rappresenta sulla retta numerica, scegliendo un'unità di misura adatta, i numeri $0,5;\ 1,2;\ -0,7;\ -1,5$.

Rappresenta sulla retta numerica, scegliendo un'unità di misura adatta, i numeri $0,5;\ 1,2;\ -0,7;\ -1,5$.

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Esercitati★★☆
Ordina in senso crescente, aiutandoti con la retta numerica: $\dfrac{3}{4};\ 0,7;\ \dfrac{5}{8};\ 0,8;\ -\dfrac{1}{2};\ -0,6$

Ordina in senso crescente, aiutandoti con la retta numerica:

$\dfrac{3}{4};\ 0,7;\ \dfrac{5}{8};\ 0,8;\ -\dfrac{1}{2};\ -0,6$

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Distanza e punto medio

La distanza tra due punti della retta è la lunghezza del segmento che li unisce: si ottiene sottraendo il numero minore dal maggiore.

$$d(A,B) = \text{maggiore} - \text{minore}$$

Il punto medio $M$ sta a metà strada: la sua coordinata è la media dei due estremi, cioè la somma divisa per $2$.

$$M = \frac{A + B}{2}$$

Con le frazioni si usa il denominatore comune. Per $P = \frac{2}{3}$ e $Q = \frac{5}{4}$: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ e $\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$, quindi $PQ = \frac{15}{12} - \frac{8}{12} = \frac{7}{12}$. Dividendo $PQ$ in $3$ parti uguali ogni parte vale $\frac{7}{36}$ e i punti di divisione si trovano aggiungendo a $P$ una parte, poi due.

Esercitati★★☆
Su una retta numerica il punto $A$ corrisponde a $-1,5$ e il punto $B$ a $2,5$. a) Calcola la distanza $AB$. b) Trova il punto medio $M$ di $AB$. c) Scrivi $M$ come…

Su una retta numerica il punto $A$ corrisponde a $-1,5$ e il punto $B$ a $2,5$.

  1. a) Calcola la distanza $AB$.
  2. b) Trova il punto medio $M$ di $AB$.
  3. c) Scrivi $M$ come frazione e altri due numeri compresi tra $A$ e $M$.
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Esercitati★★★
Sulla retta numerica i punti $P$ e $Q$ corrispondono a $\dfrac{2}{3}$ e $\dfrac{5}{4}$. a) Calcola la distanza $PQ$ come frazione. b) Dividi $PQ$ in $3$ parti uguali e…

Sulla retta numerica i punti $P$ e $Q$ corrispondono a $\dfrac{2}{3}$ e $\dfrac{5}{4}$.

  1. a) Calcola la distanza $PQ$ come frazione.
  2. b) Dividi $PQ$ in $3$ parti uguali e scrivi le coordinate dei punti di divisione.
  3. c) Quale dei due punti è più vicino a $1$? Giustifica.
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Esercitati★★★
Un termometro a Cortina d'Ampezzo segna $-3,5$ °C al mattino, sale di $\dfrac{9}{2}$ °C a mezzogiorno e scende di $2,75$ °C la sera. a) Rappresenta le tre temperature su…

Un termometro a Cortina d'Ampezzo segna $-3,5$ °C al mattino, sale di $\dfrac{9}{2}$ °C a mezzogiorno e scende di $2,75$ °C la sera.

  1. a) Rappresenta le tre temperature su una retta numerica.
  2. b) Calcola la temperatura serale.
  3. c) Qual è la variazione complessiva rispetto al mattino? Motiva con la retta.
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Tra due numeri ce ne sono infiniti

Tra $0$ e $1$ ci sono $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$, $0{,}1$, … Tra due numeri razionali, per quanto vicini, c'è sempre un altro numero razionale. Un modo per trovarlo è fare la media dei due.

Il procedimento non si ferma mai: si può amplificare con denominatori sempre più grandi, oppure calcolare la media di due numeri e poi la media tra uno dei due e quella appena trovata. Per questo i numeri razionali sono infiniti anche in un segmento piccolissimo.

Esercitati★★★
Tra $\dfrac{1}{3}$ e $\dfrac{1}{2}$ si vogliono trovare numeri razionali. a) Trasforma le frazioni con denominatore comune e trova tre frazioni comprese tra loro. b)…

Tra $\dfrac{1}{3}$ e $\dfrac{1}{2}$ si vogliono trovare numeri razionali.

  1. a) Trasforma le frazioni con denominatore comune e trova tre frazioni comprese tra loro.
  2. b) Scrivi un decimale compreso tra i due numeri.
  3. c) Spiega perché tra due numeri razionali distinti ce ne sono infiniti.
Risolvi

Vuoi trovare la temperatura delle sciate a Cortina? Con la retta è semplice: parti da $-3{,}5$, sali di $4{,}5$ e arrivi a $1$ °C; poi scendi di $2{,}75$ e arrivi a $-1{,}75$ °C.

Mettiti alla prova! 3 esercizi di livello medio in questa sezione
★★☆ Sulla retta numerica il segmento tra $0$ e $1$ è diviso in $5$ parti uguali. a) Scrivi le…★★☆ Ordina in senso crescente, aiutandoti con la retta numerica:…★★☆ Su una retta numerica il punto $A$ corrisponde a $-1,5$ e il punto $B$ a $2,5$. a)…

In sintesi

  • Per collocare una frazione sulla retta si divide l'unità in tante parti quante dice il denominatore e se ne contano tante quante dice il numeratore.

  • I decimali si collocano dividendo l'unità in decimi, centesimi, …; i negativi stanno a sinistra di $0$.

  • Tra due numeri è maggiore quello più a destra; per confrontare frazioni e decimali conviene scriverli nella stessa forma.

  • Distanza: $\text{maggiore} - \text{minore}$. Punto medio: $\dfrac{A+B}{2}$.

  • Tra due numeri razionali distinti ce ne sono infiniti.

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