Proporzionalità inversa
Quattro amici puliscono la palestra della scuola in 30 minuti. Se arrivano altri due compagni a dare una mano, in quanto tempo finiranno? Certamente in meno tempo, ma di quanto? Più sono le persone al lavoro, meno tempo serve: quando una grandezza aumenta, l'altra diminuisce. Vediamo come calcolare con precisione di quanto.
Che cos'è la proporzionalità inversa
Per esempio: se raddoppi il numero di rubinetti aperti, il tempo per riempire una vasca si dimezza; se triplichi i rubinetti, il tempo diventa un terzo.
Indica in modo ragionato se le seguenti coppie di grandezze sono in relazione di proporzionalità inversa: a) Il numero di persone che dipingono una staccionata e il…
Indica in modo ragionato se le seguenti coppie di grandezze sono in relazione di proporzionalità inversa:
- a) Il numero di persone che dipingono una staccionata e il tempo che impiegano a finirla.
- b) Il numero di chili di mele che compri e il prezzo totale che paghi.
- c) La velocità a cui viaggia un treno e il tempo che impiega a percorrere la distanza tra due città.
- d) Il numero di pagine di un libro e il suo peso.
Per montare il palco di un festival musicale, $4$ operai hanno lavorato per $12$ ore. Se il festival decide di assumere un totale di $8$ operai che lavorano con lo…
Per montare il palco di un festival musicale, $4$ operai hanno lavorato per $12$ ore. Se il festival decide di assumere un totale di $8$ operai che lavorano con lo stesso ritmo, quante ore impiegheranno a montare lo stesso palco?
Il prodotto costante
Un gruppo di amici vuole noleggiare un furgone per andare in gita. Se vanno $6$ amici, ciascuno deve pagare $15$ euro. Calcola quanto dovrebbe pagare ciascuno se alla…
Un gruppo di amici vuole noleggiare un furgone per andare in gita. Se vanno $6$ amici, ciascuno deve pagare $15$ euro. Calcola quanto dovrebbe pagare ciascuno se alla fine si iscrivono $10$ persone al viaggio.
Per montare il palco di un festival musicale, $8$ operai hanno lavorato per $15$ ore. Se il comune ha bisogno che il montaggio sia terminato in sole $10$ ore, quanti…
Per montare il palco di un festival musicale, $8$ operai hanno lavorato per $15$ ore. Se il comune ha bisogno che il montaggio sia terminato in sole $10$ ore, quanti operai in più dovranno essere assunti, supponendo che tutti lavorino con lo stesso ritmo?
Il problema del tre inverso
Quando conosci tre dati e cerchi il quarto, hai un problema del tre semplice inverso. Si risolve con il prodotto costante.
Si può anche scrivere come proporzione, ma invertendo un rapporto: $x_1 : x_2 = y : y_1$.
Marta ha fatto un viaggio in auto a una velocità costante di $90$ km/h e ha impiegato $4$ ore. Se per il viaggio di ritorno decide di andare più piano, a una velocità di…
Marta ha fatto un viaggio in auto a una velocità costante di $90$ km/h e ha impiegato $4$ ore. Se per il viaggio di ritorno decide di andare più piano, a una velocità di $60$ km/h, quanto tempo impiegherà a fare lo stesso percorso?
Un gruppo di amici ha vinto un premio di $300$ € in una gara di robotica e ha deciso di dividerlo in parti uguali. Completa la seguente tabella per scoprire quanto…
Un gruppo di amici ha vinto un premio di $300$ € in una gara di robotica e ha deciso di dividerlo in parti uguali. Completa la seguente tabella per scoprire quanto denaro riceverebbe ciascuno in base al numero di persone che formano il gruppo. Indica anche qual è la costante di proporzionalità inversa.
| Numero di amici ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Denaro a persona ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
Nel grafico puoi vedere evidenziato il caso di $2$ amici.
Due ruote dentate sono ingranate. La prima ha $48$ denti e gira a $150$ giri al minuto (rpm). A quale velocità girerà la seconda ruota se ha $30$ denti?
Due ruote dentate sono ingranate. La prima ha $48$ denti e gira a $150$ giri al minuto (rpm). A quale velocità girerà la seconda ruota se ha $30$ denti?
La funzione y = k/x e il suo grafico
Il prodotto costante si scrive come funzione:
$$y = \frac{k}{x}$$Qui $x$ è la grandezza che scegliamo e $y$ quella che ne dipende. Se $k = 12$, ecco la tabella di valori:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Riportando i punti $(x; y)$ sul piano cartesiano e unendoli, si ottiene un ramo di iperbole nel primo quadrante.
Osserva: la curva non è una retta e non passa per l'origine; più $x$ cresce, più $y$ si avvicina a 0 senza mai raggiungerlo. Nella proporzionalità diretta, invece, il grafico è una retta per l'origine.
| Diretta | Inversa | |
|---|---|---|
| Legge | $y = kx$ | $y = \dfrac{k}{x}$ |
| Costante | $k = y : x$ | $k = x \cdot y$ |
| Grafico | retta per l'origine | ramo di iperbole |
Un'aula di tecnologia ha varie tavole rettangolari di compensato che occupano tutte la stessa superficie: $1200$ cm². Completa la tabella delle possibili dimensioni…
Un'aula di tecnologia ha varie tavole rettangolari di compensato che occupano tutte la stessa superficie: $1200$ cm². Completa la tabella delle possibili dimensioni (base e altezza) di queste tavole e spiega quale relazione esiste tra di esse.
| Base ($cm$) | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $60$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Altezza ($cm$) | ? | $60$ | ? | ? | ? |
Osserva la seguente tabella che rappresenta la relazione tra due grandezze $M$ e $N$. Determina se si tratta di una relazione di proporzionalità inversa calcolando la…
Osserva la seguente tabella che rappresenta la relazione tra due grandezze $M$ e $N$. Determina se si tratta di una relazione di proporzionalità inversa calcolando la sua costante $k$. Una volta trovata, completa i valori mancanti, esprimendoli come numeri interi o decimali finiti.
| Grandezza $M$ | $2$ | $4,5$ | $x$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Grandezza $N$ | $18$ | $y$ | $12$ | $z$ |
Vuoi mettere alla prova tutto? Prova con problemi più articolati:
Tre amici decidono di dividersi i $282$ € ottenuti come premio in una gara di robotica in modo inversamente proporzionale ai minuti che hanno impiegato a risolvere la…
Tre amici decidono di dividersi i $282$ € ottenuti come premio in una gara di robotica in modo inversamente proporzionale ai minuti che hanno impiegato a risolvere la prova finale. Se il primo amico ha impiegato $12$ minuti, il secondo $15$ minuti e il terzo $20$ minuti, quanto denaro spetta a ciascuno?
Torniamo all'inizio: se 4 persone impiegano 30 minuti, la costante è $4 \cdot 30 = 120$ persone·minuti. Con 6 persone: $120 : 6 = 20$ minuti.