Approssimazione e arrotondamento

Nel sistema di numerazione decimale, ogni cifra ha un valore che dipende dalla posizione che occupa. Dato il numero $58,347$, indica quale cifra occupa ciascuna delle seguenti posizioni:

1. a) I decimi.
2. b) I centesimi.
3. c) I millesimi.
4. d) Le unità.

Stai controllando i prezzi di un negozio online e trovi un accessorio per la tua console che costa $24,9632$ €. Approssima questo prezzo per troncamento ai centesimi (cioè ai centesimi di euro).

Nell'ora di Tecnologia avete misurato lo spessore di un pezzo con un calibro digitale, ottenendo il valore $3,749$ mm. Approssima questo valore ai decimi in due modi diversi:

1. a) Mediante troncamento.
2. b) Mediante arrotondamento.

Indica se le seguenti affermazioni sull'approssimazione di $4,572$ sono vere o false:

1. a) Il troncamento ai decimi è $4,5$.
2. b) L'arrotondamento ai decimi è $4,5$.
3. c) L'arrotondamento ai centesimi è $4,57$.
4. d) Il troncamento alle unità è $4$.

Un atleta ha registrato un tempo di $10,438$ secondi in una gara dei 100 metri piani. Arrotonda il suo tempo ai centesimi. L'arrotondamento è stato per eccesso o per difetto?

Completa la seguente tabella sul quaderno per il numero $7,4628$. Per ogni caso, indica se l'approssimazione ottenuta per arrotondamento è per difetto o per eccesso.

Considera il numero irrazionale $\pi \approx 3,14159265...$. Nella figura puoi vedere il valore di ciascuna posizione decimale.

1. a) Esegui un troncamento ai decimillesimi.

1. b) Esegui un arrotondamento ai decimillesimi.

1. c) Confronta i due risultati e spiega perché in questo caso particolare arrotondamento e troncamento non coincidono.

Approssima il numero $0,666...$ (periodico semplice) nei seguenti modi:

1. a) Troncando ai centesimi.
2. b) Arrotondando ai centesimi.
3. c) Arrotondando ai decimi.

Rappresenta sulla retta numerica il numero decimale periodico semplice $2,\widehat{6}$. Per farlo:

1. a) Individua tra quali due numeri interi si trova.
2. b) Indica quale numero otterresti arrotondando ai decimi.
3. c) Qual è il limite massimo dell'errore che commettiamo arrotondando ai decimi?

Osserva la seguente retta numerica in cui è stato segnato il punto $P$. Scrivi il numero decimale esatto che rappresenta $P$ e poi arrotonda tale valore all'unità più vicina (al numero intero più vicino).

Se il lato di un quadrato misura $6,8$ cm, stima la sua area arrotondando prima la misura del lato al numero intero più vicino. Disegna uno schema del quadrato indicando la misura approssimata.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Vai in cartoleria con una moneta da $2\text{ €}$ e una banconota da $10\text{ €}$ (in totale $12\text{ €}$). Devi comprare un compasso che costa $4,85\text{ €}$, un album da disegno da $3,15\text{ €}$ e un set di squadre da $3,90\text{ €}$.

1. a) Senza fare operazioni per iscritto né usare la calcolatrice, stima mentalmente il costo totale arrotondando il prezzo di ciascun articolo all'unità (euro interi). Secondo la tua stima preventiva, i soldi ti bastano per pagare?
2. b) Calcola ora il costo totale esatto dell'acquisto e determina l'errore assoluto che hai commesso nella tua stima.
3. c) La tua stima è stata per eccesso o per difetto? Spiega se nella vita quotidiana, facendo la spesa con un budget limite, sia più prudente arrotondare sempre i prezzi per eccesso invece di usare la regola standard di arrotondamento all'unità più vicina.

In un negozio di informatica i prezzi di tre componenti sono $15,99$ €, $32,45$ € e $12,80$ €.

Se decidi di stimare il costo totale arrotondando all'unità (euro) prima di sommare, qual è la differenza tra il prezzo reale totale e la tua stima? Hai stimato per eccesso o per difetto?

Un sarto deve comprare della stoffa per confezionare 7 federe per cuscini. Ogni federa richiede esattamente $1,428$ metri di stoffa.

1. a) Calcola in modo esatto la quantità totale di stoffa necessaria.
2. b) Se il sarto decide di comprare la stoffa arrotondando il totale ottenuto ai decimi, gli avanzerà o gli mancherà della stoffa? Calcola la quantità esatta di tale differenza.

Il tempo ufficiale di una gara dei 100 metri piani viene misurato in millesimi di secondo. Un corridore ha impiegato $10,437$ secondi.

1. a) Se nelle notizie riportano il tempo solo arrotondato ai centesimi, quale tempo diranno?
2. b) Se un altro corridore ha impiegato $10,432$ secondi, quale tempo gli verrebbe assegnato seguendo lo stesso criterio di arrotondamento?
3. c) Sarebbe giusto usare questo arrotondamento se entrambi i corridori gareggiassero nella stessa batteria? Motiva la risposta basandoti sulla precisione.

In una fabbrica di serramenti metallici si tagliano profili di alluminio per finestre con una macchina automatica. L'operaio può impostare la macchina con due metodi diversi di approssimazione ai millimetri interi:

• Metodo 1 (Troncamento): taglia il profilo sopprimendo semplicemente i decimi di millimetro.

• Metodo 2 (Arrotondamento): taglia il profilo applicando la regola matematica di arrotondamento al millimetro più vicino.

In un ordine si devono tagliare tre pezzi le cui misure esatte di progetto sono: Pezzo A: $120,3\text{ mm}$; Pezzo B: $120,5\text{ mm}$; Pezzo C: $120,9\text{ mm}$.

1. a) Determina la misura di taglio che produrrà ciascun metodo per i tre pezzi e calcola l'errore assoluto che si commette in ciascuno dei sei tagli.
2. b) Qual è l'errore assoluto massimo che si può arrivare a commettere con il Metodo 1 per una qualsiasi misura decimale? E con il Metodo 2?
3. c) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due è preferibile usare in fabbrica se si vuole minimizzare l'errore massimo nei tagli. Spiega inoltre se qualcuno dei metodi introduce una distorsione sistematica (tagliare sempre al di sotto di quanto richiesto).

Un agricoltore ha misurato l'area del suo appezzamento rettangolare e ha ottenuto un valore di $124,3756$ $m^2$.

1. a) Calcola il valore dell'area approssimando per arrotondamento ai centesimi.
2. b) Calcola l'errore assoluto commesso eseguendo tale approssimazione. Ricorda che l'errore assoluto è $E_a = |V_{real} - V_{aproximado}|$.

Un sensore di precisione in una stazione meteorologica registra l'umidità relativa dell'aria. Per motivi di archiviazione dei dati, il sistema informatico arrotonda automaticamente il valore ai centesimi. Se sullo schermo compare il valore $64,38\,\%$, determina l'intervallo esatto (valore minimo e valore massimo) in cui si trova l'umidità reale rilevata dal sensore prima di essere arrotondata.

La figura mostra la retta numerica con il valore dello schermo e i due valori con i centesimi che gli sono accanto.

La sonda spaziale Voyager 1 si trova approssimativamente a $2,348 \cdot 10^{10}$ chilometri dalla Terra. Un astronomo decide di approssimare questa distanza troncando il numero alle unità di miliardo (cioè lasciando solo due cifre significative: $2,3 \cdot 10^{10}$ km).

Nella figura sono stati segnati su una retta entrambi i valori, quello esatto e quello approssimato.

Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo commessi con questa approssimazione. Esprimi l'errore relativo in forma di percentuale arrotondata ai millesimi.

In una fabbrica di componenti elettronici, un pezzo rettangolare deve misurare $12,456$ mm di lunghezza e $8,321$ mm di larghezza. L'operaio della macchina arrotonda entrambe le misure ai decimi prima di eseguire il taglio.

1. Calcola l'area del pezzo con le misure originali (senza approssimare).

2. Calcola l'area del pezzo con le misure arrotondate.

3. Determina l'errore assoluto commesso nel calcolo dell'area a causa di questi arrotondamenti preliminari.