Notazione scientifica

Perché un numero sia espresso correttamente in notazione scientifica, deve avere una sola cifra diversa da zero prima della virgola decimale.

Indica quali dei seguenti numeri sono scritti correttamente in notazione scientifica:

1. a) $12,5 \cdot 10^4$
2. b) $3,07 \cdot 10^8$
3. c) $0,95 \cdot 10^3$
4. d) $7 \cdot 10^{11}$

La balenottera azzurra è l'animale più grande del pianeta e può arrivare a pesare circa $180\,000$ chilogrammi. Scrivi questa quantità in notazione scientifica.

Esprimi in notazione decimale (scrivendo tutte le cifre) le seguenti distanze astronomiche date in notazione scientifica:

1. a) Distanza dalla Luna: $3,84 \cdot 10^5$ km
2. b) Distanza dal Sole: $1,5 \cdot 10^8$ km

Scrivi in notazione decimale (forma estesa) i seguenti dati scientifici tratti da una rivista di tecnologia:

1. a) Il numero di transistor in un microprocessore avanzato è $4,5 \cdot 10^9$.
2. b) La velocità di trasferimento di un cavo in fibra ottica è $2,4 \cdot 10^7$ bit al secondo.
3. c) La capacità di archiviazione di un server è $1,25 \cdot 10^{12}$ byte.

Completa sul quaderno con il segno $>$ (maggiore di) o $<$ (minore di) confrontando questi numeri in notazione scientifica:

1. a) $4,2 \cdot 10^5$ ____ $1,8 \cdot 10^6$
2. b) $9,5 \cdot 10^3$ ____ $9,45 \cdot 10^3$
3. c) $3 \cdot 10^7$ ____ $2,99 \cdot 10^7$

Su una retta numerica graduata in modo regolare sono rappresentati i numeri $2$, $3$ e $4$. Ogni unità è divisa in dieci parti uguali da tacche secondarie. Individua quali numeri decimali corrispondono ai punti indicati con le lettere $A$ (situato sulla quinta tacca tra $2$ e $3$) e $B$ (situato sulla quinta tacca tra $3$ e $4$):

Un famoso influencer ha raggiunto la cifra di $2,4 \cdot 10^6$ follower sul suo account principale. Se sull'account secondario ha $850\,000$ follower, quanti follower ha in totale? Esprimi il risultato finale in notazione scientifica.

Un computer esegue circa $5 \cdot 10^9$ operazioni al secondo. Quante operazioni eseguirà in un minuto ($60$ secondi)? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

La velocità della luce nel vuoto è di $300\,000$ chilometri al secondo. Se un raggio di luce impiega $100$ secondi per raggiungere un bersaglio, quale distanza ha percorso? Esprimi il risultato utilizzando la notazione scientifica.

Un globulo rosso ha un diametro approssimativo di $7,5 \cdot 10^{-6}$ metri. Se potessimo disporre in fila $100$ milioni di globuli rossi uno accanto all'altro, quale lunghezza totale raggiungerebbero? Esprimi il risultato finale in notazione scientifica e in chilometri.

Irene deve calcolare il prodotto $(4 \cdot 10^5) \cdot (5 \cdot 10^3)$ e dare il risultato finale in notazione scientifica. Sul suo quaderno ha scritto il seguente svolgimento:

Quando il professore le chiede come ha ottenuto l'ultimo passaggio, Irene ragiona: «Poiché $20$ non è minore di $10$, divido la mantissa per $10$ in modo che sia $2$, e per compensare sottraggo $1$ all'esponente, ottenendo $10^7$».

1. a) Spiega con un ragionamento qual è l'errore nella giustificazione di Irene sulla compensazione dell'esponente.
2. b) Scrivi la correzione completa dell'esercizio, giustificando che cosa devi fare realmente con l'esponente affinché il valore numerico non cambi.

Si considerano due numeri, $A$ e $B$, espressi in notazione scientifica: $A = 2,5 \cdot 10^n$ e $B = b \cdot 10^4$.

Sapendo che il loro prodotto è esattamente $A \cdot B = 10^8$ e che la mantissa $b$ è una cifra intera positiva ($1 \le b < 10$):

1. a) Ragiona su quale valore deve avere obbligatoriamente la mantissa $b$ affinché, moltiplicando le due mantisse ($2,5 \cdot b$), il risultato diventi una potenza esatta di $10$.
2. b) Una volta fissato quel valore di $b$, calcola con un ragionamento il valore dell'esponente intero $n$ mostrando i passaggi della tua deduzione.

La distanza media della Terra dal Sole è di circa $149\,600\,000$ chilometri.

1. a) Esprimi tale quantità in metri usando la notazione scientifica.
2. b) Indica qual è l'ordine di grandezza di questa distanza espressa in metri.

Un gruppo di ricerca ambientale preleva un campione di sedimento nelle paludi del Parco Nazionale del Delta del Po. L'analisi al microscopio stabilisce che c'è una concentrazione media di $3,8 \cdot 10^8$ microrganismi per ogni grammo di suolo. La massa totale del campione raccolto è di $4,2 \cdot 10^2\text{ grammi}$.

1. a) Stima: senza usare la calcolatrice e senza eseguire operazioni dettagliate sulla carta, arrotonda le mantisse all'unità più vicina e deduci mentalmente l'ordine di grandezza (l'esponente della potenza di $10$) che avrà il totale dei microrganismi nel campione. Spiega brevemente come hai ragionato.
2. b) Calcola: esegui la moltiplicazione con tutti i passaggi applicando le proprietà della notazione scientifica ed esprimi il risultato con la mantissa adeguata.
3. c) Verifica: confronta la tua stima iniziale con il risultato esatto ottenuto. L'ordine di grandezza coincideva? Giustifica perché fare una stima preventiva aiuta a individuare errori di calcolo.

Secondo i dati pubblicati dall'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), la popolazione residente in Italia è di circa $4,8 \cdot 10^7$ persone. In un anno intero, l'insieme delle famiglie e dei comuni italiani produce circa $2,4 \cdot 10^7$ tonnellate di rifiuti urbani.

1. a) Sapendo che $1\text{ tonnellata} = 10^3\text{ kg}$, scrivi in notazione scientifica la quantità totale di rifiuti prodotti in un anno in chilogrammi.
2. b) Calcola la quantità media di rifiuti che produce un abitante italiano in un anno (in $\text{kg/abitante}$). Esprimi l'operazione e il risultato in notazione scientifica.
3. c) Considerando l'anno di $365$ giorni, calcola quanti grammi di rifiuti produce in media al giorno una persona in Italia. Scrivi il risultato finale in notazione decimale standard e interpreta se il risultato ottenuto è coerente con la realtà.

Nel corpo di un adolescente ci sono circa $2,5 \cdot 10^{13}$ globuli rossi. Se ciascuno di questi globuli ha un diametro di appena $7 \cdot 10^{-6}$ metri, immagina di poterli disporre tutti in fila, uno dopo l'altro, formando una lunghissima catena.

Calcola la lunghezza totale di questa catena in chilometri ed esprimi il risultato in notazione scientifica. Quante volte potrebbe fare il giro della Terra questa catena se la circonferenza dell'equatore misura circa $4 \cdot 10^4$ km?

La distanza media della Terra dal Sole è di $1,496 \cdot 10^8$ km, mentre la distanza media di Marte dal Sole è di $2,279 \cdot 10^8$ km. In un dato momento, i tre astri sono perfettamente allineati, con la Terra situata tra il Sole e Marte.

Calcola la distanza che separa la Terra da Marte in quell'istante. Esprimi il risultato in notazione scientifica e in metri.

Il server di un popolare social network di video riceve ogni secondo in media $4,5 \cdot 10^5$ megabyte (MB) di informazioni.

1. a) Quanti gigabyte (GB) di informazioni riceve il server in un'ora? (Ricorda che $1$ GB = $10^3$ MB).
2. b) Se il server ha una capacità totale di archiviazione di $1,2 \cdot 10^9$ GB, in quanti giorni si riempirebbe completamente se non venisse cancellato alcun dato? Esprimi il risultato finale arrotondando alle unità.

In chimica si sa che una mole di qualsiasi sostanza contiene $6,022 \cdot 10^{23}$ molecole (numero di Avogadro). Se abbiamo un serbatoio che contiene $2,5 \cdot 10^2$ moli di acqua e sappiamo che la massa di una singola molecola d'acqua è, approssimativamente, $3 \cdot 10^{-23}$ grammi:

1. a) Calcola il numero totale di molecole d'acqua nel serbatoio.
2. b) Calcola la massa totale dell'acqua nel serbatoio in chilogrammi. Esprimi entrambi i risultati in notazione scientifica.

La luce viaggia a una velocità costante di $3 \cdot 10^8$ metri al secondo. Un processore di ultima generazione esegue un'operazione elementare ogni $0,5$ nanosecondi (un nanosecondo è $10^{-9}$ secondi).

Quale distanza percorre la luce nell'esatto tempo che il processore impiega per eseguire una sola operazione? Esprimi il risultato in millimetri e in notazione scientifica.

Una centrale elettrica produce ogni anno $2,8 \cdot 10^{10}$ kilowattora (kWh). In una città ci sono $5 \cdot 10^5$ abitazioni e ogni abitazione consuma in media $3,5 \cdot 10^3$ kWh all'anno.

Calcola quanta energia avanza dopo aver rifornito l'intera città. Esprimi il risultato in notazione scientifica e rifletti: questa energia avanzata potrebbe rifornire un'altra città di $2 \cdot 10^5$ abitazioni con lo stesso consumo medio? Giustifica la tua risposta eseguendo i calcoli necessari.

Se stendessimo tutto il DNA di una singola cellula umana, misurerebbe circa $2 \cdot 10^0$ metri (cioè 2 metri). Il corpo umano ha circa $3,7 \cdot 10^{13}$ cellule.

1. a) Quale sarebbe la lunghezza totale di tutto il DNA di una persona se potessimo unirlo? Esprimila in chilometri e in notazione scientifica.
2. b) Sapendo che la distanza della Terra dalla Luna è di $3,84 \cdot 10^5$ km, quante volte potremmo andare e tornare dalla Luna con tutto quel DNA?

Ordina dal minore al maggiore i seguenti valori, ma prima di farlo esprimili tutti come numero decimale "normale" (notazione standard) per verificare la tua precisione:

• $A = 345 \cdot 10^6$

• $B = 0,034 \cdot 10^{10}$

• $C = 3,5 \cdot 10^8$

• $D = 3,400 \cdot 10^5$

Una volta ordinati, esegui la seguente operazione ed esprimi il risultato finale in notazione scientifica: $\frac{A + C}{D}$. (Nota: fai molta attenzione agli esponenti quando sommi).

In una classe seconda media si propone di calcolare il risultato della seguente sottrazione: $R = 3,2 \cdot 10^{14} - 7,5 \cdot 10^{11}$. Due studenti sostengono strategie diverse:

• Sergio dice: «Io preferisco scrivere i due numeri con tutte le loro cifre e gli zeri nel sistema decimale tradizionale, metterli in colonna, sottrarre e poi riportare il risultato in notazione scientifica».

• Lucia replica: «È troppo rischioso. È molto meglio uguagliare gli esponenti in notazione scientifica trasformando uno dei termini, per poter raccogliere la potenza di $10$ e sottrarre solo le mantisse».

1. a) Analizza gli inconvenienti e i rischi di calcolo che presenta il metodo di Sergio in questo caso concreto, indicando quanti zeri dovrebbe scrivere per ciascun numero.
2. b) Applica il metodo di Lucia passo per passo: uguaglia gli esponenti al maggiore tra essi ($10^{14}$), esegui la sottrazione e fornisci la soluzione in notazione scientifica corretta.
3. c) Descrivi in quale situazione particolare di una somma o sottrazione sarebbe ragionevole applicare il metodo di Sergio e fai un esempio numerico con potenze di $10$ che lo giustifichi.

In un osservatorio astronomico si analizzano due corpi celesti, $X$ e $Y$, le cui masse stimate sono date da $M_X = 4,8 \cdot 10^k\text{ kg}$ e $M_Y = 1,6 \cdot 10^{k-2}\text{ kg}$, dove $k$ è un numero intero positivo di cui si sa che è maggiore di $5$.

1. a) Senza conoscere il valore numerico concreto di $k$, calcola quante volte il corpo $X$ è più massiccio del corpo $Y$. Giustifica in dettaglio perché il risultato ottenuto è indipendente dal valore di $k$.
2. b) Se i due corpi collidessero e si fondessero formando un unico oggetto di massa $M_T = M_X + M_Y$, calcola tale massa combinata espressa in notazione scientifica in funzione di $k$ (con la mantissa correttamente compresa tra $1$ e $10$).
3. c) Se gli astronomi affermano che la massa combinata $M_T$ è strettamente minore di $10^{19}\text{ kg}$, scopri qual è il massimo valore intero possibile che può assumere l'esponente $k$. Motiva la tua deduzione usando una disuguaglianza.

Calcola il risultato della seguente espressione, rispettando la priorità delle operazioni e mostrando i passaggi intermedi:

$3^3 \cdot \sqrt{64} - [4^2 + (12 - 5 \cdot 2) \cdot 7]$

Un famoso streamer fa un sorteggio di abbonamenti ogni $14$ giorni e una diretta speciale di domande e risposte ogni $21$ giorni. Se oggi, lunedì, ha fatto coincidere entrambe le attività, quanti giorni devono passare come minimo perché faccia di nuovo il sorteggio e la diretta speciale nello stesso giorno? Che giorno della settimana sarà?

Nel club di robotica della scuola hanno $54$ sensori a infrarossi e $72$ servomotori. Vogliono organizzare il materiale in scatole uguali con il maggior numero possibile di componenti, senza mescolare i tipi e senza che avanzi nulla.

1. a) Quanti componenti ci saranno in ogni scatola?
2. b) Quante scatole di sensori e quante di servomotori otterranno?

Riduci a una sola potenza utilizzando le proprietà delle potenze:

1. a) $(2^5 \cdot 2^3)^2 : 2^{10}$
2. b) $\frac{(3^4)^3 \cdot 9^2}{27^3}$ (Suggerimento: esprimi prima tutti i numeri come potenze di base 3)

Considera il numero $N = 3 \cdot 10^a$. Se sappiamo che il quadrato di questo numero è $90\,000$:

1. a) Trova il valore dell'esponente $a$.
2. b) Scrivi il numero $N$ in notazione decimale.
3. c) $N$ è un quadrato perfetto? Giustifica la tua risposta calcolandone la radice quadrata.