Rapporto e proporzione

In una verifica di matematica di $20$ domande, Nerea ha risposto correttamente a $15$ e ha sbagliato $5$. Scrivi il rapporto tra:

1. a) Il numero di risposte esatte e il numero di risposte errate.
2. b) Il numero di risposte esatte e il totale delle domande.

Indica in ogni caso qual è l'antecedente e qual è il conseguente.

In una classe di seconda media ci sono $12$ ragazze e $18$ ragazzi. Marco afferma ad alta voce: «Il rapporto tra ragazze e ragazzi è $\dfrac{12}{30}$, che semplificato diventa $\dfrac{2}{5}$, il che significa che ogni $2$ ragazze ci sono $5$ ragazzi nella nostra classe».

1. a) Individua e spiega l'errore concettuale commesso da Marco nel costruire i termini del rapporto. Quale grandezza ha messo in realtà al denominatore?
2. b) Scrivi il rapporto corretto tra ragazze e ragazzi, semplificalo fino a ottenere una frazione ridotta ai minimi termini e interpreta con parole tue che cosa significa il risultato in questo contesto.
3. c) Se nella scuola vicina si mantiene esattamente lo stesso rapporto tra ragazze e ragazzi e sappiamo che ci sono $24$ ragazzi, quante ragazze ci sono in quella scuola? Scrivi la proporzione corrispondente e trova il valore incognito.

Su un social network, il video di un influencer ha ottenuto $450$ "mi piace" dopo essere stato visualizzato da $3000$ persone. Calcola il rapporto tra il numero di "mi piace" e il numero di visualizzazioni, semplifica il risultato e interpreta che cosa significa il valore ottenuto.

Un monopattino elettrico percorre $12$ chilometri in $30$ minuti. Calcola il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato (espresso in ore). Quale grandezza fisica rappresenta questo rapporto?

Su una piattaforma di streaming, un moderatore ha contato che negli ultimi $45$ minuti sono comparsi $1350$ messaggi nella chat della trasmissione.

1. a) Calcola il rapporto tra il numero di messaggi e il tempo trascorso in minuti.
2. b) Spiega che cosa significa il risultato ottenuto nel contesto del problema.
3. c) Se il rapporto rimane costante, quanti messaggi si riceveranno in un'ora intera?

In un allenamento di basket, Lucia ha realizzato $18$ canestri su $30$ tiri, mentre Marco ne ha realizzati $14$ su $20$ tiri.

1. a) Calcola il rapporto di successi (tiri a segno rispetto ai tiri totali) di ciascun giocatore come numero decimale.
2. b) Quale dei due giocatori ha avuto un rendimento migliore nell'allenamento?

Nel pronto soccorso di un ospedale di zona, la direzione sanitaria stabilisce che il rapporto ottimale tra il numero di pazienti in attesa e il numero di medici di guardia deve essere al massimo di $8$ a $1$ (cioè un rapporto di $\dfrac{8}{1}$).

In una notte con alta affluenza di pazienti ci sono $78$ persone che aspettano in sala e solo $6$ medici che li assistono.

1. a) Modella la situazione calcolando il rapporto attuale di pazienti per medico come numero decimale. Interpreta il risultato ottenuto e determina se il servizio rispetta la raccomandazione o se il personale è sovraccarico.
2. b) Se nel corso della notte non è possibile aggiungere nessun medico, quanti pazienti al massimo dovrebbero essere in attesa perché il rapporto sia esattamente quello raccomandato di $8:1$? Quanti pazienti bisognerebbe dirottare verso altri centri di assistenza primaria per ottenerlo?
3. c) Supponi che durante la notte arrivino nuovi pazienti e il totale delle persone in attesa salga a $96$. Per affrontare la situazione con una migliore qualità assistenziale, la direzione fissa un nuovo rapporto più esigente di $6$ pazienti per medico. Imposta un'equazione a partire dalla proporzione $\dfrac{96}{6 + x} = \dfrac{6}{1}$ per calcolare quanti medici di rinforzo ($x$) devono essere chiamati subito, e spiega ogni passaggio della risoluzione.

È stato costruito un plastico di un nuovo palazzetto dello sport comunale. L'edificio reale ha una lunghezza totale di $75$ metri, mentre nel plastico la stessa distanza misura $30$ centimetri.

1. a) Calcola il rapporto tra la misura del plastico e la misura reale (ricorda di esprimere entrambe nella stessa unità).
2. b) Qual è la scala utilizzata per il plastico?

La densità di popolazione è il rapporto tra il numero di abitanti di un territorio e la sua superficie espressa in $km^2$. Osserva i dati di queste due province fittizie:

• Provincia A: $450\,000$ abitanti e $15\,000$ $km^2$.

• Provincia B: $280\,000$ abitanti e $7\,000$ $km^2$.

1. a) Calcola la densità di popolazione di ciascuna provincia e interpreta il risultato.
2. b) Quale delle due province è più "popolata" in relazione alla sua estensione?

Si vuole costruire un plastico di un grattacielo. Il rapporto di similitudine tra il plastico e l'edificio reale è $1:250$.

1. a) Se la superficie della base dell'edificio reale è di $1\thinspace200$ $m^2$, qual è il rapporto tra la superficie della base del plastico e quella del grattacielo reale?

1. b) Calcola l'area della base del plastico in centimetri quadrati. (Attenzione: ricorda che il rapporto tra le superfici è il quadrato del rapporto tra le lunghezze).

Per ottenere un tono di vernice verde oliva, un imbianchino mescola barattoli di vernice bianca, gialla e nera. Il rapporto tra la quantità di vernice gialla e di vernice bianca è $3/4$, e il rapporto tra la vernice nera e la gialla è $1/5$.

Se per una stanza ha usato $2$ litri di vernice bianca:

1. a) Quanti litri di vernice gialla gli sono serviti?
2. b) Qual è il rapporto tra la vernice nera e la vernice bianca in questa miscela?

Per preparare una miscela di colore arancione, un artista usa $3$ barattoli di vernice rossa ogni $2$ barattoli di vernice gialla.

1. a) Esprimi il rapporto tra la vernice rossa e la gialla.
2. b) Se vuole mantenere lo stesso tono e usa $6$ barattoli di vernice gialla, quanti barattoli di rossa gli serviranno?

In un allenamento di basket, Marco ha realizzato $8$ tiri su $12$ tentativi, mentre Paola ne ha realizzati $6$ su $9$ tentativi.

1. a) Scrivi il rapporto di successi di ciascuno.

1. b) Verifica se i due rapporti formano una proporzione. Chi ha la mira migliore?

Un grafico sta lavorando con due formati di immagine. Il primo formato ha dimensioni di $12$ cm di larghezza e $18$ cm di altezza. Il secondo formato ha $20$ cm di larghezza e $30$ cm di altezza.

1. a) Calcola il rapporto tra la larghezza e l'altezza per ciascuno dei formati.
2. b) Queste dimensioni sono proporzionali? Giustifica la tua risposta confrontando i rapporti.

Per verificare se due rapporti formano una proporzione (cioè se $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$), si possono usare tre metodi diversi:

• Metodo 1 (valore decimale): calcolare il quoziente decimale di ciascun rapporto e verificare se coincidono.

• Metodo 2 (frazione ridotta ai minimi termini): semplificare entrambi i rapporti dividendo per il loro massimo comune divisore e confrontare le frazioni ridotte.

• Metodo 3 (prodotti incrociati): verificare se vale l'uguaglianza $a \cdot d = b \cdot c$.

Si presentano due coppie di rapporti ottenuti confrontando il consumo di carburante di diversi veicoli:

• Coppia A: $\dfrac{7}{13}$ e $\dfrac{21}{39}$

• Coppia B: $\dfrac{1200}{1800}$ e $\dfrac{1400}{2100}$

1. a) Per la Coppia A, applica il Metodo 1 e il Metodo 3. Spiega perché il Metodo 1 può generare dubbi nell'arrotondare cifre decimali periodiche infinite, mentre il Metodo 3 garantisce una risposta esatta.
2. b) Per la Coppia B, confronta lo sforzo di calcolo tra il Metodo 2 e il Metodo 3 se dovessi risolverla a mano senza calcolatrice. Giustifica quale dei due è decisamente più rapido e sicuro in questo caso.
3. c) Formula una conclusione motivata: in quali condizioni conviene scegliere il metodo dei prodotti incrociati e in quali è preferibile semplificare alla frazione ridotta ai minimi termini?