Figure composte e problemi di misura

La figura mostra una casa formata da un rettangolo largo $8$ m e alto $5$ m e da un tetto triangolare alto $3$ m.

1. a) Calcola l'area della parte rettangolare.
2. b) Calcola l'area del tetto triangolare.
3. c) Qual è l'area totale della facciata?

Una lettera «T» gigante per un photocall è formata da due rettangoli: la traversa superiore, lunga $120$ cm e alta $30$ cm, e l'asta verticale, alta $90$ cm e larga $30$ cm, unita al di sotto e centrata.

1. a) Calcola l'area totale del cartello.
2. b) Se il materiale costa $8,50\ \text{€}$ al metro quadrato, quanto costa il cartello? Esprimi prima l'area in $\text{m}^2$.

Un cartello a forma di freccia è formato da un rettangolo lungo $30$ cm e alto $12$ cm (il corpo) e da un triangolo di base $12$ cm e altezza $9$ cm (la punta).

1. a) Disegna uno schema del cartello sul quaderno.
2. b) Calcola l'area totale del cartello.
3. c) Se il vinile per stamparlo costa $15\ \text{€}$ al metro quadrato, quanto costa il materiale del cartello? Esprimi prima l'area in $\text{m}^2$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per trovare l'area della facciata di una casa formata da un rettangolo largo $8$ m e alto $5$ m con un tetto triangolare alto $3$ m, una studentessa ha calcolato $8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 64$ e ha risposto $64\ \text{m}^2$.

1. a) Spiega quale errore ha commesso nel calcolo del tetto.
2. b) Calcola l'area corretta della facciata.
3. c) La facciata ha inoltre una porta di $2$ m per $1$ m e una finestra quadrata di lato $1,5$ m. Quale superficie bisogna dipingere?

La cornice della figura è un rettangolo di $30$ cm per $24$ cm, e la foto che contiene misura $24$ cm per $18$ cm.

1. a) Calcola l'area del rettangolo esterno e quella della foto.
2. b) Qual è l'area della cornice (la zona arancione)?
3. c) Quanto è larga la cornice nella parte superiore? Spiega come l'hai calcolato.

Si vuole dipingere una parete rettangolare larga $5$ m e alta $2,5$ m che ha una finestra di $1,5$ m per $1,2$ m.

1. a) Quale superficie bisogna dipingere?
2. b) Un barattolo di vernice rende per $10\ \text{m}^2$ e costa $24,90\ \text{€}$. Quanti barattoli servono per dare due mani di vernice? Quanto costeranno?

Il cortile condominiale di un edificio ha forma a «L». Può essere descritto geometricamente come un grande rettangolo lungo $12\text{ m}$ e largo $8\text{ m}$ a cui manca, in un angolo, un incavo rettangolare lungo $5\text{ m}$ e largo $3\text{ m}$ occupato dal locale contatori.

1. a) Metodo 1 (per sottrazione): calcola l'area del cortile sottraendo l'area dell'incavo all'area del grande rettangolo.
2. b) Metodo 2 (per scomposizione): dividi mentalmente il cortile in due rettangoli con un taglio rettilineo. Scrivi le dimensioni dei due rettangoli che hai scelto, calcola le loro aree separatamente e sommale per verificare di ottenere lo stesso risultato.
3. c) Se ti chiedessero di calcolare il perimetro esterno di tutto il cortile, ti serve direttamente qualcuno dei calcoli delle aree precedenti o devi procedere in un altro modo? Spiega quale metodo ti è sembrato più comodo per l'area e perché.

Da un quadrato di cartoncino di lato $8$ cm si ritaglia un quadrato più piccolo di lato $2$ cm.

1. a) Calcola l'area della figura risultante. Dipende da dove si fa il ritaglio?
2. b) Calcola il perimetro della figura risultante in ciascuno di questi tre casi: il ritaglio è fatto in un angolo, al centro di un lato e all'interno del cartoncino (un buco).
3. c) Uno studente afferma: «Se togliendo un pezzo a una figura l'area diminuisce, anche il perimetro diminuisce sempre». È vero? Usa i risultati del punto b) per ragionare.

Per segnalare un sentiero escursionistico, Lucia progetta una targa di legno unendo due pezzi senza sovrapporli: un quadrato di lato $10\text{ cm}$ e, sul suo lato superiore, un triangolo equilatero anch'esso di lato $10\text{ cm}$.

Per ordinare una striscia metallica che protegga tutto il bordo esterno, Lucia fa il seguente calcolo:

«Perimetro del quadrato = $4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$. Perimetro del triangolo = $3 \cdot 10 = 30\text{ cm}$. Quindi mi servono $40 + 30 = 70\text{ cm}$ di striscia metallica».

1. a) Spiega con ragionamento quale errore concettuale ha commesso Lucia e quale parte delle figure ha contato in più.
2. b) Quanti centimetri di striscia metallica servono realmente per circondare il contorno esterno della targa?
3. c) Se l'altezza del triangolo equilatero è di circa $8,7\text{ cm}$, calcola l'area totale di legno della targa.

Uno scudo di legno ha la forma di un pentagono: è un rettangolo largo $20$ cm e alto $24$ cm completato nella parte inferiore da un triangolo di base $20$ cm (la punta dello scudo) e altezza $10$ cm.

1. a) Calcola l'area dello scudo.
2. b) Si vuole bordare tutto il contorno con un nastro metallico. I lati inclinati della punta misurano $14,1$ cm ciascuno. Quanti centimetri di nastro servono?

Su una parete si vuole realizzare un murale a forma di lettera «L» formato da due rettangoli: uno verticale alto $3$ m e largo $0,8$ m, e uno orizzontale lungo $1,6$ m e alto $0,8$ m che sporge verso destra dalla parte inferiore del primo, senza sovrapporsi a esso.

1. a) Disegna uno schema e calcola l'area totale del murale.
2. b) La vernice del murale si compra in barattoli che coprono $2\ \text{m}^2$ ciascuno. Quanti barattoli servono?
3. c) Qual è il perimetro esterno del murale?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una stanza rettangolare di $4,5$ m per $3,2$ m ha due porte larghe $0,9$ m e un armadio a muro che occupa $1,8$ m di una delle pareti.

1. a) Calcola il perimetro della stanza.
2. b) Quanti metri di battiscopa servono? Ricorda che il battiscopa non si mette nei vani delle porte né dove c'è l'armadio.
3. c) Il battiscopa costa $6,75\ \text{€}$ al metro e si vende solo in barre da $2$ m. Quante barre bisogna comprare e quanto costeranno?

Il giardino della figura è un rettangolo di $12$ m per $8$ m con una piscina circolare di raggio $2$ m al suo interno.

1. a) Calcola l'area dell'intero giardino.
2. b) Calcola l'area della piscina (prendi $\pi \approx 3,14$).
3. c) Quale superficie rimane a prato?
4. d) Quanti metri di recinzione servono per circondare tutto il giardino?

La figura mostra una pista di atletica formata da due tratti rettilinei di $80$ m e due semicerchi di raggio $20$ m alle estremità.

1. a) Quanto misura ciascuno dei due tratti curvi? Ricorda che due semicerchi uguali formano un cerchio completo (prendi $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calcola la lunghezza totale di un giro completo della pista lungo il bordo interno.
3. c) Le corsie della pista sono larghe $1,22$ m. Un corridore percorre la stessa distanza nella corsia interna e in quella esterna? Motiva la risposta senza fare calcoli.

Il comune di una cittadina deve rinnovare la pavimentazione della pista di pattinaggio del palazzetto dello sport. La pista è formata da un rettangolo centrale lungo $25\text{ m}$ e largo $12\text{ m}$, e da due zone semicircolari addossate ai suoi due lati più corti (ogni semicerchio ha un diametro di $12\text{ m}$, cioè un raggio di $6\text{ m}$).

Per proteggere il suolo si applicherà una resina sintetica con le seguenti specifiche tecniche:

• Servono $0,4\text{ kg}$ di resina per ogni metro quadrato di pista.

• Il prodotto si vende solo in fusti da $10\text{ kg}$.

• Ogni fusto ha un prezzo di $45,80\text{ €}$.

(Prendi $\pi \approx 3,14$).

1. a) Quale figura geometrica completa formano insieme le due estremità semicircolari? Calcola l'area totale della pista di pattinaggio.
2. b) Quanti chilogrammi di resina servono come minimo per coprire tutta la superficie?
3. c) Quanti fusti interi deve acquistare il comune e quale sarà il costo totale della vernice?

In una scuola si vuole ristrutturare un cortile rettangolare in terra battuta lungo $24\text{ m}$ e largo $16\text{ m}$ per trasformarlo in un'area verde con prato naturale. All'interno di questo spazio devono essere rispettate tre zone che non avranno prato:

• Uno spazio circolare intorno a un ulivo secolare, con un raggio di $3\text{ m}$.

• Due zone quadrate identiche per i tavoli da scacchi, di lato $4\text{ m}$ ciascuna.

(Prendi $\pi \approx 3,14$).

1. a) Modellizza la situazione e calcola la superficie netta di terreno che verrà coperta con il prato.
2. b) Intorno al bordo del cerchio dell'ulivo e delle due zone quadrate verrà posato un cordolo protettivo in gomma per separare la terra dal prato. Quanti metri lineari di cordolo servono come minimo? Arrotonda al metro intero superiore.
3. c) Si ricevono due preventivi da aziende locali:

• Azienda VerdeSur: applica una tariffa fissa di $750\text{ €}$ per trasporto e livellamento del suolo, più $8,50\text{ €}$ per ogni metro quadrato di prato posato.

• Azienda EcoJardín: non applica tariffa fissa, ma fattura $11,00\text{ €}$ per ogni metro quadrato di prato posato.

Quale delle due aziende è più economica per la scuola? Giustifica la tua decisione confrontando gli importi totali delle due opzioni.

Un parco a forma di trapezio ha la base maggiore di $50$ m, la base minore di $30$ m e un'altezza di $24$ m. All'interno c'è un'area giochi triangolare di base $18$ m e altezza $12$ m; il resto è prato.

1. a) Calcola l'area totale del parco.
2. b) Calcola l'area dedicata al prato.
3. c) Per seminare il prato servono $1$ kg di semi ogni $40\ \text{m}^2$, e i semi si vendono in sacchi da $5$ kg a $22,40\ \text{€}$ al sacco. Quanti sacchi bisogna comprare e quanto costeranno?

Un'impresa di ristrutturazioni deve dipingere la facciata di un capannone agricolo. La facciata è formata da una parete rettangolare larga $10\text{ m}$ e alta $4\text{ m}$, sormontata da un frontone triangolare di base $10\text{ m}$ e altezza $h$ incognita.

Sulla parete rettangolare si trovano una porta d'accesso larga $3\text{ m}$ e alta $3\text{ m}$ e due finestre quadrate di aerazione di lato $1,5\text{ m}$ ciascuna. Né la porta né le finestre verranno dipinte.

1. a) Scrivi un'espressione algebrica semplificata che rappresenti l'area netta da dipingere in funzione dell'altezza $h$ del tetto triangolare.
2. b) Nella fattura finale risulta che sono stati dipinti esattamente $46,5\text{ m}^2$ di facciata. Imposta un'equazione a partire dalla tua espressione precedente e calcola l'altezza $h$ del frontone triangolare.
3. c) Per completare l'opera si colloca una grondaia metallica sui due lati inclinati del tetto triangolare. Se ciascuno di questi lati misura $6,4\text{ m}$, qual è il perimetro esterno completo della facciata finita?

Sfida del tema. Progetta il tuo angolo ideale! Progetterai la ristrutturazione della tua camera o di una stanza di casa tua applicando la geometria piana a una situazione reale.

1. Misurazione reale: Con un metro a nastro, misura la lunghezza e la larghezza della stanza (supponi che sia rettangolare) e ottieni con precisione il suo perimetro e la sua area totale in $\text{m}^2$.

2. Progetto in scala: Con GeoGebra o su carta quadrettata, disegna la nuova disposizione. Devi inserire obbligatoriamente: un tavolo triangolare, un tappeto quadrilatero e un pouf o una lampada con base circolare o semicircolare.

3. Calcoli geometrici: Determina il perimetro e l'area di ogni elemento piano. Poi trova l'area libera calpestabile risolvendo il problema delle figure composte (sottraendo i mobili dalla superficie totale).

4. Preventivo e relazione: Consulta sul sito di un negozio di bricolage il prezzo per $\text{m}^2$ di un pavimento in vinile (per esempio, $8,95\text{ €/m}^2$) e calcola il costo per coprire la zona libera. Scrivi una breve relazione di una pagina con la planimetria e i calcoli giustificati.

Verrà valutato:

• Correttezza nella rilevazione delle misure reali e nell'applicazione delle formule di perimetri e aree con le relative unità di misura.

• Tracciato geometrico adeguato e giustificato di triangoli, quadrilateri e cerchi.

• Corretta risoluzione del calcolo dell'area composta e della stima del preventivo finale.

Nel reticolo della figura, ogni quadretto rappresenta $1\ \text{cm}^2$. Il contorno blu è il bordo di un piccolo lago.

1. a) Conta i quadretti che si trovano completamente all'interno del lago.
2. b) Conta quelli che il lago tocca solo in parte.
3. c) Dai una stima dell'area del lago spiegando il criterio che hai usato.

In Scienze hanno progettato su una mappa quadrettata un piccolo stagno per anfibi nell'orto scolastico. Sulla mappa, ogni quadretto del reticolo rappresenta $1\text{ m}^2$.

Lo stagno ha forma irregolare ed è interamente contenuto in una zona rettangolare lunga $5\text{ m}$ e larga $4\text{ m}$. Contando sulla mappa, lo stagno copre completamente $9$ quadretti interi e tocca o copre in parte altri $8$ quadretti.

1. a) Prima di fare i calcoli, fai una stima: è possibile che la superficie dello stagno sia $22\text{ m}^2$? Giustifica la risposta osservando solo il rettangolo che lo contiene.
2. b) Indica tra quali due valori (minimo e massimo) si trova con certezza l'area reale dello stagno.
3. c) Applica il criterio di sommare ai quadretti completi la metà di quelli parziali per ottenere una stima dell'area. Valuta se il risultato ottenuto è coerente con la tua analisi del punto a).

Su un foglio quadrettato con quadretti di $1\ \text{cm}^2$ è caduta una macchia d'inchiostro. Contando con attenzione, la macchia copre completamente $14$ quadretti e ne tocca parzialmente altri $18$.

1. a) Tra quali due valori è sicuramente compresa l'area della macchia? Motiva la tua risposta.
2. b) Dai una stima ragionevole dell'area e spiega il criterio che hai usato.
3. c) Qual è l'errore massimo che può avere la tua stima?