Potenze

Esprimi i seguenti prodotti sotto forma di potenza e indica qual è la base e qual è l'esponente in ciascun caso:

1. a) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

1. b) $12 \cdot 12 \cdot 12$

1. c) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

1. d) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Calcola il valore delle seguenti potenze elementari:

1. a) $3^{4}$

1. b) $2^{5}$

1. c) $7^{2}$

1. d) $11^{0}$

1. e) $1^{25}$

Osserva il seguente quadrato formato da piccole celle. Esprimi il numero totale di celle sotto forma di potenza e calcolane il risultato.

Scrivi la scomposizione polinomiale dei seguenti numeri usando potenze di base $10$:

1. a) $4\,527$

1. b) $30\,816$

1. c) $504$

Scrivi la scomposizione polinomiale dei seguenti numeri usando potenze di base 10:

a) $45\,208$

b) $306\,750$

c) $7\,003\,040$

Applica le proprietà delle potenze per scrivere il risultato come una sola potenza:

1. a) $3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{5}$

1. b) $a^{3} \cdot a^{4}$

1. c) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3}$

1. d) $2^{6} \cdot 2^{6}$

Riduci a una sola potenza utilizzando la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base:

1. a) $5^{8} : 5^{3}$

1. b) $x^{10} : x^{7}$

1. c) $10^{6} : 10^{5}$

1. d) $\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$

Applica le proprietà delle potenze per ridurre le seguenti espressioni a una sola potenza:

a) $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2 =$

b) $(3^4)^3 : 3^7 =$

c) $\frac{5^8 \cdot 5^2}{5^7} =$

Semplifica le seguenti espressioni lasciando il risultato sotto forma di un'unica potenza:

1. a) $(4^{3})^{2}$

1. b) $(10^{5})^{4}$

1. c) $(x^{2})^{8}$

In un magazzino di logistica le scatole sono disposte in scaffali cubici. Un blocco di stoccaggio è formato da 4 scaffali in larghezza, 4 in lunghezza e 4 in altezza. Se ogni scaffale contiene 4 scatole:

a) Esprimi il numero totale di scatole sotto forma di una sola potenza.

b) Se ogni scatola contiene $2^3$ pacchi di fogli, quanti pacchi di fogli ci sono in totale nel blocco? Esprimi il risultato come potenza di base 2.

Calcola il valore delle seguenti espressioni rispettando la priorità delle operazioni:

a) $2^4 - 3^2 + \sqrt{25} \cdot 2 =$

b) $(5-2)^3 + 10^2 : (2^2 + 1) =$

c) $2 \cdot (3^2 - 4) + \sqrt{64} : 2^3 =$

Calcola il valore della seguente espressione combinata, applicando le proprietà delle potenze ogni volta che è possibile per semplificare il calcolo prima di operare:

$$ \frac{(2^3 \cdot 2^2)^2 \cdot 5^7 \cdot 10^3}{(5^2)^4 \cdot 2^{12}} + \sqrt{144} : 2^2 $$

Un creator pubblica un video che diventa virale. Se ogni ora il numero di persone che lo hanno visto triplica ($3^{n}$), completa la seguente tabella esprimendo i risultati sotto forma di potenza:

Tempo trascorso	Persone che hanno visto il video
All'inizio (ora 0)	$3^{0} = 1$
Dopo 1 ora	$3^{1} = 3$
Dopo 2 ore
Dopo 5 ore
Dopo $n$ ore

Quale delle seguenti espressioni è maggiore? Esegui i calcoli necessari per giustificare la tua risposta senza usare la calcolatrice.

a) $2^6$

b) $4^3$

c) $8^2$

d) $64^1$

Che relazione trovi tra le basi di tutte queste potenze?

Risolvi le seguenti sfide costruendo le potenze che soddisfano le condizioni richieste:

1. a) Trova tre modi diversi di scrivere il numero $64$ come un'unica potenza $a^b$, dove sia la base $a$ sia l'esponente $b$ siano numeri naturali maggiori di $1$.
2. b) Scrivi il numero $81$ come potenza di base $3$ e come potenza di base $9$. Dimostra, applicando la proprietà della potenza di una potenza, perché entrambe le espressioni rappresentano esattamente la stessa quantità.
3. c) Scrivi una moltiplicazione di due potenze con base diversa ed esponente diverso (entrambi maggiori di $1$) il cui risultato finale sia esattamente uguale a $2^7$.

Senza eseguire il calcolo completo delle potenze, indica in modo ragionato quale dei seguenti numeri è maggiore. Utilizza a tal fine la trasformazione delle basi in una base comune:

$$ A = 8^{20} \cdot 4^{15} $$ $$ B = 16^{18} \cdot 2^5 $$

Un numero naturale $X$ ha la seguente scomposizione in fattori primi: $X = 2^a \cdot 3^2 \cdot 5^b$.

Si sa che:

• Il massimo comune divisore di $X$ e $180$ è $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0$.

• Il minimo comune multiplo di $X$ e $180$ è $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Trova i valori degli esponenti $a$ e $b$ e scrivi il numero $X$ in notazione decimale. (Dato: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$).

Trova il valore dell'incognita $x$ in ciascuna delle seguenti uguaglianze applicando le proprietà delle potenze:

a) $7^x \cdot 7^2 = 7^9$

b) $(5^3)^x = 5^{15}$

c) $10^8 : 10^x = 10^3$

Trova il valore dell'incognita $n$ nelle seguenti uguaglianze, applicando le regole delle potenze:

1. a) $2^n \cdot 2^3 \cdot 2 = 1024$
2. b) $5^6 : 5^n = 125$
3. c) $(3^2)^n \cdot 9 = 3^{10}$

Per decifrare un codice di sicurezza bisogna trovare un numero naturale $x$ che verifichi la seguente uguaglianza con potenze:

$$\frac{4^{x+2} \cdot 8^x}{16^x} = 64$$

1. a) Scomponi le basi $4$, $8$, $16$ e il risultato $64$ in potenze di base $2$.
2. b) Trasforma il membro di sinistra in un'unica potenza di base 2 applicando in modo ordinato le proprietà della potenza di una potenza, del prodotto e del quoziente di potenze con la stessa base.
3. c) Uguaglia gli esponenti ottenuti nei due membri per impostare una relazione di primo grado e calcola il valore di $x$. Verifica che la tua soluzione sia corretta sostituendo il valore trovato nell'espressione iniziale.
4. d) Ragionamento inverso: Se il membro di destra fosse $1$ invece di $64$, esisterebbe un numero naturale $x$ che soddisfi l'uguaglianza? Giustifica la tua risposta usando la proprietà dell'esponente 0 ($a^0 = 1$ per $a \neq 0$).

Esprimi i seguenti dati usando la notazione scientifica:

a) La distanza media della Terra dalla Luna è di circa $384\,400$ chilometri.

b) La popolazione mondiale approssimativa è di $8\,000\,000\,000$ di persone.

c) Un anno luce equivale approssimativamente a $9\,461\,000\,000\,000$ di chilometri.

Per semplificare e calcolare l'espressione numerica $\dfrac{12^4}{3^4 \cdot 4^2}$ senza calcolatrice, due studenti propongono strategie diverse:

• Metodo di Lucia: Raggruppa prima il numeratore e parte del denominatore mediante la potenza di un quoziente: $\dfrac{12^4}{3^4} = (12 : 3)^4 = 4^4$. In seguito divide $4^4 : 4^2$ sottraendo gli esponenti.

• Metodo di Marco: Scompone il numero $12$ in fattori primi ($12 = 2^2 \cdot 3$), applica la potenza di un prodotto al numeratore, scompone il denominatore ($4 = 2^2$) e semplifica sottraendo gli esponenti delle potenze con la stessa base.

1. a) Sviluppa passo per passo il procedimento seguendo il metodo di Lucia fino a trovare il valore finale.
2. b) Sviluppa il procedimento seguendo il metodo di Marco fino a ottenere il risultato.
3. c) Confronta i due percorsi: quale ritieni più rapido in questo esercizio e perché? In quale situazione il metodo di Lucia non si potrebbe applicare e sarebbe indispensabile usare quello di Marco?

Di fronte all'allerta per forti nevicate emessa in una zona di montagna, la Protezione Civile avvia un protocollo a catena per avvisare i rifugi isolati:

• Al passo 1 (dopo 10 minuti dall'allerta), il centro comprensoriale avvisa 3 postazioni principali.

• Al passo 2 (dopo 20 minuti), ciascuna di queste 3 postazioni avvisa 3 rifugi di zona.

• A ogni nuovo passo di 10 minuti, ogni rifugio avvisato nel turno precedente contatta 3 nuovi rifugi locali, senza interrompere la catena.

1. a) Modella mediante una potenza di base 3 il numero di rifugi nuovi che ricevono l'allerta esattamente al passo $n$. Quanti vengono avvisati al passo 4?
2. b) Esprimi mediante una somma di potenze il totale cumulato di rifugi avvisati dall'inizio fino al termine del passo 3 incluso.
3. c) Se la catena termina quando in un certo passo vengono avvisati $3^6$ rifugi, quanti minuti sono trascorsi in totale dall'inizio del primo avviso? Giustifica come ricavi il tempo a partire dall'esponente.

In una verifica di seconda media, Luca ha risolto due esercizi di semplificazione commettendo errori concettuali frequenti:

• Caso A: Ha scritto che $3^2 \cdot 3^4 = 9^6$, giustificando che «si moltiplicano le basi e si sommano gli esponenti».

• Caso B: Ha scritto che $2^3 \cdot 5^3 = 10^6$, giustificando che «si moltiplicano le basi e si sommano gli esponenti».

1. a) Spiega con ragionamento l'errore commesso nel Caso A, indica quale proprietà avrebbe dovuto applicare e scrivi il risultato corretto sotto forma di un'unica potenza.
2. b) Spiega l'errore commesso nel Caso B, quale proprietà corrisponde a quell'operazione e calcola la potenza corretta.
3. c) Scrivi una regola chiara e breve affinché un compagno non confonda quando si devono sommare gli esponenti e quando si devono moltiplicare le basi.

In uno scavo archeologico vicino all'antica Mesopotamia è stata trovata una struttura cerimoniale formata da blocchi di pietra cubici. La struttura segue uno schema di "cubi annidati". Il primo livello è un cubo di $2 \cdot 2 \cdot 2$ blocchi. Il secondo livello circonda il precedente formando un cubo di $4 \cdot 4 \cdot 4$ blocchi, e il terzo uno di $8 \cdot 8 \cdot 8$ blocchi.

1. a) Esprimi come un'unica potenza di base 2 il numero totale di blocchi che ci sarebbe al quinto livello se lo spigolo del cubo continua a raddoppiare a ogni passo.
2. b) Se ogni blocco ha una massa di $2^6$ kg, esprimi la massa totale della struttura del quinto livello come un'unica potenza.

Un nuovo social network ha rilevato che il numero di "condivisioni" di una notizia falsa triplica ogni ora. Alle 10:00 del mattino la notizia è già stata condivisa $3^4$ volte.

1. a) A che ora il numero di condivisioni supererà per la prima volta la cifra di $3^{10}$?
2. b) Se il server collassa quando il numero di condivisioni arriva a $9^7$, quante ore saranno passate dalle 10:00 fino al collasso? Esprimi tutti i passaggi usando le proprietà delle potenze.

La memoria di un supercomputer si misura in "Exabyte". Sapendo che $1 \text{ kilobyte} = 10^3 \text{ byte}$, $1 \text{ megabyte} = 10^3 \text{ kilobyte}$, $1 \text{ gigabyte} = 10^3 \text{ megabyte}$ e così via seguendo le potenze di 10 (terabyte, petabyte, exabyte):

1. a) Esprimi in notazione scientifica quanti byte ci sono in un Exabyte.
2. b) Se un file video ad alta definizione occupa $2 \cdot 10^9$ byte, quanti file di questo tipo entrano in un disco da $4 \text{ Petabyte}$? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

Si vuole progettare un mosaico quadrato composto da piastrelle anch'esse quadrate. Si sa che il numero di piastrelle utilizzate è il risultato della seguente operazione:

$$ \sqrt{10^2 - 8^2} \cdot (3^3 - 5^2)^2 - 2^3 $$

1. a) Quante piastrelle avrà il mosaico in totale?
2. b) Quante piastrelle ci saranno su ogni lato del mosaico quadrato?

L'archivio di un comune italiano deve digitalizzare dei verbali storici. Hanno catalogato $2^9$ scatole; ogni scatola contiene $2^6$ fascicoli e ogni fascicolo occupa, scansionato in alta risoluzione, $2^7\text{ KB}$ (kilobyte).

Il servizio tecnico è indeciso tra l'acquisto di una chiavetta USB da $64\text{ GB}$ o un disco di rete da $1\text{ TB}$.

Dati di equivalenza approssimata: $1\text{ GB} \approx 10^6\text{ KB}$, $1\text{ TB} \approx 10^9\text{ KB}$ e $2^{10} = 1024 \approx 10^3\text{ KB}$.

1. a) Stima: Senza calcolare il valore numerico esatto, calcola mentalmente la dimensione totale sommando gli esponenti in base 2 e usa l'approssimazione $2^{10} \approx 10^3$ per stimare l'ordine di grandezza dell'archivio in potenze di 10. Formula un'ipotesi: basterà la chiavetta da $64\text{ GB}$ o sarà necessario il disco da $1\text{ TB}$?
2. b) Verifica: Esprimi la dimensione totale esatta dell'archivio come un'unica potenza di base 2 applicando le proprietà del prodotto di potenze.
3. c) Scomponi tale potenza nella forma $(2^{10})^2 \cdot 2^k$ per calcolarne il valore numerico in kilobyte e stabilisci, motivando, se la tua stima iniziale era corretta e quale supporto conviene acquistare per non spendere inutilmente.

Il video di uno "streamer" è diventato virale su un social network. Nelle prime ore, il numero di persone che condividono il video triplica ogni ora. Se all'inizio lo hanno condiviso 3 persone:

a) Scrivi sotto forma di potenza il numero di persone che avranno condiviso il video dopo 5 ore.

b) Calcola il valore di tale potenza per sapere il numero totale di persone in quel momento.