Piantine e scala

Su una carta stradale dell'Italia, la scala indicata è $1:250.000$. Se usi un righello per misurare la distanza tra due paesi e segni esattamente $8\text{ cm}$, quanti chilometri separano questi due paesi nella realtà?

Un gruppo di archeologi ha disegnato su un foglio un vaso antico. Nel disegno il vaso è alto $15\text{ cm}$. Se sappiamo che il vaso reale ha un'altezza di $75\text{ cm}$, qual è la scala usata dagli archeologi?

Nel plastico di una famosa torre di telecomunicazioni, l'altezza della replica è di $85$ cm. Se sappiamo che l'altezza reale della torre è di $255$ metri, determina la scala numerica semplificata con cui è stato costruito il plastico.

Vuoi fare sul tuo quaderno un disegno della tua nuova tavoletta grafica. La tavoletta ha una lunghezza reale di $30\text{ cm}$. Se decidi di usare una scala di riduzione di $1:3$, quanto misurerà in lunghezza il disegno sul tuo quaderno?

Osservi una scala grafica su una mappa escursionistica in cui un segmento di $1\text{ cm}$ equivale a $500\text{ metri}$ nella realtà. Se il percorso che vuoi fare misura $12\text{ cm}$ sulla mappa, quanti chilometri percorrerai in totale?

Su una mappa escursionistica delle Alpi, la scala indicata è $1:25.000$. Se la distanza misurata con un righello tra il Passo del Moncenisio e il Rifugio Vittorio Emanuele è di $12,4$ cm sulla carta, quanti chilometri reali dovrà percorrere un gruppo di escursionisti per andare da un punto all'altro in linea retta?

Su una carta stradale dell'Italia in scala $1:2.500.000$, la distanza misurata con un righello tra Roma e Napoli è di $14,2\text{ cm}$. Un camion per le consegne parte da Roma alle $08:00\text{ h}$ e viaggia verso Napoli a una velocità media di $90\text{ km/h}$.

A che ora è previsto che arrivi a destinazione se si ferma mezz'ora a metà strada per riposare?

Una mappa antica ha perso l'indicazione della scala numerica. Tuttavia, mostra una scala grafica in cui un segmento che misura $3,5\text{ cm}$ sulla carta rappresenta una distanza reale di $17,5\text{ chilometri}$.

1. Determina la scala numerica della mappa.

2. Se due paesi sono separati sulla mappa da $12\text{ cm}$, quante ore impiegherà un ciclista ad andare da uno all'altro a una velocità costante di $24\text{ km/h}$?

Una carta stradale ha una scala grafica in cui un segmento di $2$ cm rappresenta una distanza reale di $15$ km. Se la distanza tra due città su quella carta è di $9,4$ cm, qual è la distanza reale in chilometri tra le due città?

Un biologo osserva una formica al microscopio. Nel suo disegno tecnico, la formica ha una lunghezza di $12$ cm. Se la scala del disegno è di ingrandimento $25:1$, qual è la lunghezza reale della formica espressa in millimetri?

Un biologo fotografa una piccola formica regina usando una scala di ingrandimento di $5:1$. Se nella fotografia la formica è lunga $45\text{ mm}$, qual è la sua dimensione reale in millimetri?

Hai a disposizione due mappe diverse della stessa zona. Nella Mappa A, la distanza tra due paesi è di $6$ cm e la scala è $1:50.000$. Nella Mappa B, la distanza tra gli stessi paesi è di $15$ cm. Calcola qual è la scala numerica della Mappa B.

Un drone per la sorveglianza forestale percorre una rotta rettangolare sopra un parco naturale. Nel centro di controllo, i tecnici visualizzano la rotta su uno schermo digitale in cui la scala è $1:50.000$. Su questo schermo, il rettangolo misura $12\text{ cm}$ di lunghezza e $8\text{ cm}$ di larghezza. Tuttavia, per il rapporto stampato, devono ridurre la mappa in modo che la lunghezza della rotta misuri solo $4\text{ cm}$.

Calcola:

1. L'area reale del parco naturale in chilometri quadrati ($\text{km}^2$).

2. La scala numerica che deve avere la mappa del rapporto stampato.

Un'app di mappe su uno smartphone mostra una zona della città. Quando lo zoom è al livello A, la scala è $1:15.000$ e la distanza tra due fermate della metropolitana è di $6\text{ cm}$. Se l'utente fa "zoom out" finché la scala diventa $1:50.000$ (livello B):

1. Qual è la distanza in centimetri tra le stesse fermate sullo schermo?

2. Se lo schermo del telefono ha un'area di $80\text{ cm}^2$, quanti chilometri quadrati reali di superficie urbana vengono visualizzati al livello B?

La piantina di un campo da calcio comunale è disegnata in scala $1:400$. Nella piantina, l'area occupata dal prato è un rettangolo di $25$ cm di lunghezza per $15$ cm di larghezza. Calcola l'area reale del campo da calcio in metri quadrati.

Stai progettando la tua "Gaming Room" su una piantina in scala $1:40$. Nel disegno, la stanza ha una superficie di $75\text{ cm}^2$. Hai visto una scrivania professionale che occupa una superficie reale di $1,28\text{ m}^2$ e una sedia che occupa $0,6\text{ m}^2$.

Se decidi di collocare la scrivania e due sedie uguali, quale superficie reale resterà libera nella stanza? Esprimi il risultato in metri quadrati ($\text{m}^2$).

Durante un episodio di alte temperature, la Protezione Civile monitora un incendio boschivo attivo mediante un'applicazione di emergenza impostata in scala $1:25.000$. Sulla mappa tattica, la zona bruciata si approssima a un trapezio con basi di $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$ e un'altezza di $4\text{ cm}$.

1. Calcola l'area occupata dall'incendio sulla mappa in $\text{cm}^2$ e, usando la relazione quadratica tra le scale ($\text{Area reale} = \text{Area nel piano} \cdot k^2$), calcola la superficie reale bruciata espressa direttamente in ettari ($1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2$). Giustifica il fattore di conversione utilizzato.

2. Sulla stessa mappa tattica, il fronte di avanzamento che le squadre a terra devono attaccare misura un segmento di $12\text{ cm}$. I comandanti chiedono di stampare una scheda tascabile per le squadre su una lamina plastificata il cui spazio utile massimo disponibile è di $15\text{ cm}$. Se si richiede di utilizzare una scala tecnica normalizzata $1:k$ dove $k$ sia un multiplo esatto di $5.000$ ($1:15.000$, $1:20.000$, $1:25.000$, $1:30.000$...), determina qual è la scala di massimo dettaglio (valore minore di $k$) che permette di rappresentare l'intero fronte senza superare i $15\text{ cm}$ e calcola la lunghezza esatta che avrà tale fronte sulla scheda.

Un architetto ha costruito un plastico di un nuovo auditorium in scala $1:250$. Il volume totale del plastico è di $0,64\text{ dm}^3$.

Sapendo che la densità dei materiali reali è diversa, ma il volume resta proporzionale al cubo della scala, calcola il volume reale dell'auditorium in metri cubi ($\text{m}^3$).

(Nota: ricorda che se la scala di lunghezza è $k$, la scala di volume è $k^3$).