Teorema di Talete

Nel disegno seguente, le rette $r$ e $s$ sono tagliate da tre rette parallele ($a$, $b$ e $c$). Sapendo che i segmenti individuati sulla retta $r$ misurano $AB = 4\text{ cm}$ e $BC = 6\text{ cm}$, e che il segmento corrispondente a $AB$ sulla retta $s$ misura $A'B' = 2\text{ cm}$, calcola la lunghezza del segmento $B'C'$.

Calcola il valore dell'incognita $x$ nella figura seguente, sapendo che i segmenti orizzontali sono paralleli tra loro.

Nel seguente diagramma, le rette $r$ e $s$ sono tagliate da tre rette parallele ($a$, $b$ e $c$). Utilizza i dati forniti per calcolare la lunghezza del segmento incognito $x$.

In una libreria di design, tre sostegni metallici paralleli tra loro sono tagliati da due ripiani di legno. Il ripiano superiore è diviso dai sostegni in due tratti consecutivi di $25$ cm e $x$. Il ripiano inferiore è diviso in due tratti corrispondenti di $y$ e $48$ cm. Sapendo che il ripiano superiore misura in totale $65$ cm, calcola la misura dei tratti indicati con $x$ e $y$.

Due triangoli sono in posizione di Talete. Il triangolo piccolo ha i lati che misurano $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$. Se il lato corrispondente a quello di $3\text{ cm}$ nel triangolo grande misura $9\text{ cm}$, quanto misureranno gli altri due lati del triangolo maggiore?

Un falegname sta costruendo una scaffalatura e vuole verificare se i due ripiani sono paralleli. Per farlo, misura le distanze sui montanti laterali. Sul lato sinistro, la distanza tra il pavimento e il primo ripiano è $30\text{ cm}$, e tra il primo e il secondo ci sono $40\text{ cm}$. Sul lato destro, la distanza dal pavimento è $45\text{ cm}$ e tra i ripiani ci sono $60\text{ cm}$. I ripiani sono paralleli? Giustifica la tua risposta utilizzando la proporzione del teorema di Talete.

Un giovane grafico sta creando un logo che comprende due triangoli in posizione di Talete. Sapendo che il segmento $DE$ è parallelo a $BC$, calcola le lunghezze dei segmenti $AD$ e $BC$ se sappiamo che $AB = 12$ cm, $AE = 5$ cm, $AC = 15$ cm e $DE = 3$ cm.

Si progetta una struttura triangolare $ABC$ di rinforzo per una gru, in cui la base orizzontale $BC$ misura $120\text{ cm}$ e il lato inclinato $AB$ misura $90\text{ cm}$. Si deve saldare un tirante d'acciaio orizzontale $DE$, parallelo alla base $BC$, con il punto $D$ situato sul lato $AB$ e il punto $E$ sul lato $AC$.

1. a) Se si vuole che la lunghezza del tirante $DE$ sia esattamente $40\text{ cm}$, a che distanza dal vertice $A$ deve essere saldato il punto $D$ lungo il lato $AB$?
2. b) Se si decide di modificare il progetto in modo che il tirante $DE$ divida il lato $AB$ in modo tale che il segmento superiore $AD$ misuri esattamente il doppio del segmento inferiore $DB$, quanto misurerà la lunghezza della barra $DE$ in questo nuovo caso?
3. c) Ricava una formula algebrica che esprima la lunghezza della barra orizzontale $DE$ (che chiameremo $y$) in funzione della distanza $AD$ (che chiameremo $x$), e indica tra quali valori ha senso geometrico che vari $x$.

Verifica se le rette $r$ e $s$ della seguente figura sono parallele. Per farlo, verifica se vale la relazione di proporzionalità tra i segmenti che esse determinano sulle rette trasversali che le tagliano. Giustifica la tua risposta con i calcoli necessari.

Due rette incidenti, $r$ e $s$, sono tagliate da tre rette parallele ($a$, $b$ e $c$). Sulla retta $r$, queste parallele determinano due segmenti consecutivi: $AB = 3\text{ cm}$ e $BC = 5\text{ cm}$. Sulla retta $s$, i segmenti corrispondenti sono $A'B' = 4,5\text{ cm}$ e $B'C' = x$.

Per calcolare il valore di $x$, Marco ha scritto sul quaderno la seguente uguaglianza:

e dopo aver ricavato l'incognita ha ottenuto $x = 2,7\text{ cm}$.

1. a) Indica quale è stato l'errore di ragionamento di Marco nell'abbinare i segmenti nella proporzione.
2. b) Senza fare ancora calcoli numerici, argomenta perché un risultato di $2,7\text{ cm}$ contraddice la logica geometrica del teorema di Talete, osservando le misure di $AB$ e $BC$.
3. c) Scrivi la proporzione corretta, risolvila passo dopo passo e determina la misura reale del segmento $B'C'$.

In una verifica scritta viene proposto il seguente problema: «In un triangolo $ABC$, il lato $AB$ misura $15\text{ cm}$. Si traccia un segmento interno $DE$ parallelo al lato $BC$ (con $D$ su $AB$ e $E$ su $AC$), in modo che $AD = 6\text{ cm}$ e la base $BC = 20\text{ cm}$. Calcola la lunghezza del segmento parallelo $DE$».

Due studenti discutono sul modo corretto di risolverlo:

• Elena afferma: «Per il teorema di Talete, i segmenti sono proporzionali. Poiché il segmento inferiore è $DB = 15 - 6 = 9\text{ cm}$, la proporzione è $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$, cioè $\frac{6}{9} = \frac{DE}{20}$, il che dà $DE \approx 13,33\text{ cm}$».

• Paolo ribatte: «La tua formula è sbagliata perché i lati paralleli appartengono a triangoli interi, non a segmenti tagliati su una trasversale. La proporzione corretta è $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$, cioè $\frac{6}{15} = \frac{DE}{20}$, il che dà $DE = 8\text{ cm}$».

1. a) Giustifica in modo rigoroso chi ha ragione e spiega con precisione l'errore concettuale della persona che sbaglia, la quale confonde i segmenti delle trasversali con le basi parallele.
2. b) Per difendere Elena, un terzo alunno dice: «La formula di Elena funziona se $D$ si colloca proprio nel punto medio di $AB$». Verifica che cosa succederebbe con la formula di Elena se $AD = 7,5\text{ cm}$ e $DB = 7,5\text{ cm}$, calcola il valore che prevede e argomenta perché quel risultato dimostra geometricamente che la formula resta comunque un controsenso.
3. c) Se si definisce il rapporto di similitudine come $r = \frac{AD}{AB}$, scrivi la relazione generale corretta che permette di calcolare la lunghezza del segmento $DE$ a partire dalla base $BC$ e da $r$.

Disegna sul quaderno un segmento $AB$ che misuri $10\text{ cm}$. Utilizzando il metodo del teorema di Talete, dividilo esattamente in $4$ parti uguali. Descrivi brevemente i passaggi che hai seguito (tracciamento della semiretta ausiliaria, divisioni uguali e congiunzione degli estremi).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Dividi un segmento di $7\text{ cm}$ in due parti il cui rapporto sia $2$ a $3$. Per farlo, utilizza una semiretta ausiliaria e segna $5$ divisioni uguali ($2+3$). Quanto misura ciascuno dei due nuovi segmenti ottenuti sull'originale?

Dividi graficamente un segmento $AB$ lungo $9$ cm in tre parti proporzionali ai numeri $2$, $3$ e $4$. Spiega brevemente i passaggi eseguiti basandoti sul teorema di Talete.

Trova il quarto proporzionale di tre segmenti le cui lunghezze sono $a = 8$ cm, $b = 12$ cm e $c = 10$ cm. Esegui sia il calcolo numerico sia la costruzione geometrica utilizzando il teorema di Talete su due semirette con l'origine in comune.

Un ragazzo alto $1,5\text{ metri}$ proietta un'ombra lunga $1\text{ metro}$. Nello stesso istante, l'ombra di un lampione della strada misura $4\text{ metri}$. Quanto è alto il lampione? Disegna uno schema con due triangoli rettangoli per visualizzare la situazione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un parco, un albero alto $2\text{ metri}$ proietta un'ombra di $3,5\text{ metri}$. A pochi metri c'è una statua la cui ombra misura esattamente $7\text{ metri}$. Qual è l'altezza della statua? Utilizza la similitudine dei triangoli che stabilisce il teorema di Talete.

Nel cortile della tua scuola, alle $12:00$, pianti verticalmente nel terreno un righello alto $1\text{ m}$ e osservi che la sua ombra misura esattamente $0,5\text{ m}$. Proprio accanto, un lampione proietta nello stesso istante un'ombra di $2,6\text{ m}$.

1. a) Senza fare operazioni con carta e penna, stima in modo ragionato se il lampione sarà più o meno alto di $5\text{ m}$, spiegando la tua deduzione a partire dal rapporto tra l'altezza del righello e la sua ombra.
2. b) Applica il teorema di Talete per calcolare con precisione l'altezza reale del lampione.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la tua stima precedente e spiega perché il risultato è coerente.

Per misurare l'altezza di un canestro da basket, un alunno di seconda media colloca un palo verticale alto $1,5$ metri in modo che l'estremità della sua ombra coincida esattamente con l'estremità dell'ombra del canestro. Se l'ombra del palo misura $2,1$ metri e la distanza dalla base del palo alla base del canestro è $2,2$ metri, quanto è alto il canestro?

Una scala a pioli lunga $2,4$ metri è appoggiata a una parete. I pioli sono paralleli al suolo. Il primo piolo è a $30$ cm da terra lungo l'inclinazione della scala, e il secondo a ulteriori $30$ cm dal primo. Se la distanza orizzontale dalla base della scala alla parete è $1,2$ metri, qual è la distanza orizzontale dalla base alla verticale del secondo piolo?

Un artista di strada vuole proiettare l'ombra di una scultura verticale alta $2,5$ metri su un muro che si trova a una certa distanza. Per farlo, colloca un faro a terra a $6$ metri dalla scultura. Se l'ombra proiettata sul muro è alta esattamente $4$ metri, a che distanza si trova il muro dal faro? Se l'artista avvicina il faro di $2$ metri verso la scultura, quanto sarà alta la nuova ombra?

Per misurare la profondità di un pozzo circolare di $2$ metri di diametro, una persona alta $1,70$ metri si pone a $1,2$ metri dal bordo del pozzo. Da quella posizione, i suoi occhi (situati a $1,60$ metri da terra) vedono allineati il bordo del pozzo e l'estremità inferiore della parete opposta. Disegna uno schema della situazione e calcola la profondità del pozzo utilizzando il teorema di Talete.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due edifici situati nella stessa strada proiettano ombre che si sovrappongono in un dato momento della giornata. L'edificio A è alto $18$ metri e proietta un'ombra di $12$ metri. L'edificio B è situato dietro in modo che la sua ombra termini esattamente nello stesso punto di quella dell'edificio A. Se la distanza tra la base dell'edificio A e la fine della sua ombra è $12$ metri, e la distanza tra i due edifici è $10$ metri, calcola l'altezza dell'edificio B.

Per misurare l'altezza del campanile del loro paese durante un'uscita didattica, due gruppi di seconda media propongono due procedimenti basati sulla similitudine:

• Metodo 1 (ombra del sole): Piantano nel terreno un'asta verticale di $1,5\text{ m}$, misurano la sua ombra ($0,9\text{ m}$) e l'ombra proiettata dalla torre ($15\text{ m}$) alle $11:30$ del mattino.

• Metodo 2 (specchio a terra): Collocano uno specchio piano orizzontale a terra a $20\text{ m}$ dal piede della torre. Un'alunna la cui altezza fino agli occhi è $1,60\text{ m}$ si allontana di $1,28\text{ m}$ dallo specchio in linea retta fino a vedere la cima della torre riflessa al centro dello specchio (sapendo che l'angolo con cui la luce incide sullo specchio è uguale all'angolo con cui viene riflessa).

1. a) Esegui i calcoli che farebbe ciascun gruppo e verifica se i due metodi forniscono un risultato coincidente per l'altezza del campanile.
2. b) Spiega il fondamento geometrico del metodo dello specchio dimostrando perché i due triangoli coinvolti sono simili e come si collega alla configurazione di Talete.
3. c) Se l'attività dovesse svolgersi obbligatoriamente in un giorno molto nuvoloso senza ombre definite, oppure in una piazza chiusa in cui gli edifici adiacenti coprono l'ombra della torre, quale dei due metodi sceglieresti? Giustifica vantaggi, limiti e svantaggi di ciascuno in situazioni reali.

Per migliorare il comfort termico di un centro sanitario, il Comune commissiona l'installazione di una pergola inclinata con pannelli solari. La trave maestra inclinata è lunga $6\text{ m}$ e poggia dal suolo fino alla parte superiore di un muro verticale alto $2,4\text{ m}$. Per rinforzare la struttura metallica vengono collocati due pilastri verticali ausiliari (paralleli al muro):

• Il primo pilastro è collocato a $1,5\text{ m}$ dal punto di appoggio a terra (misurati sulla trave inclinata).

• Il secondo pilastro è collocato a $4\text{ m}$ da tale appoggio (misurati sempre sulla trave).

1. a) Imposta il modello della situazione individuando i triangoli in posizione di Talete e giustifica perché i due pilastri e il muro soddisfano le condizioni del teorema.
2. b) Calcola l'altezza esatta che deve avere ciascuno dei due pilastri verticali di rinforzo.
3. c) Se la normativa comunale sull'accessibilità richiede che l'altezza libera di passaggio sotto qualsiasi punto praticabile della struttura sia di almeno $1,5\text{ m}$, determina con un ragionamento se un adulto che cammina in posizione eretta può passare sotto il primo pilastro.

In una struttura progettata per un ponte pedonale sono state collocate tre travi di rinforzo orizzontali parallele tra loro. Le travi sono collegate da due tiranti d'acciaio obliqui, come mostra la figura. Sapendo che i segmenti determinati sul primo tirante misurano $x$ e $x + 2$ metri, e i segmenti corrispondenti sul secondo tirante misurano $3$ e $4$ metri, calcola il valore di $x$ e la lunghezza totale del primo tirante.

In un parco avventura, un cavo di teleferica collega la sommità di due torri verticali. Una barra di sicurezza alta $3$ metri è posta perpendicolarmente al suolo in modo da toccare esattamente il cavo. Se la distanza dalla base della torre piccola alla barra è $12$ metri e la distanza dalla barra al punto di ancoraggio del cavo a terra è $8$ metri, calcola l'altezza della torre piccola. Se la torre grande si trova a $30$ metri dall'ancoraggio a terra, qual è la sua altezza?

Un falegname sta costruendo una libreria di design a forma di triangolo rettangolo. Ha collocato due ripiani orizzontali paralleli alla base. La base della libreria misura $1,2$ metri. Il primo ripiano si trova a un'altezza di $40$ cm rispetto alla base ed è lungo $90$ cm. Il secondo ripiano è lungo $60$ cm. A che altezza rispetto alla base si trova il secondo ripiano? Qual è l'altezza totale della libreria? (Esprimi tutti i risultati in centimetri).

In una mappa in scala $1:2.500$, un terreno a forma di trapezio rettangolo ha la base maggiore di $8$ cm e la base minore di $5$ cm. Se nella realtà l'altezza di questo terreno è $100$ metri, calcola:

1. La lunghezza reale delle basi in metri.

2. La misura dell'altezza sulla mappa in centimetri.

3. Se tracciamo una retta parallela alle basi che divida l'altezza della mappa esattamente in due parti uguali, quanto misurerà questo nuovo segmento sulla mappa?

Calcola il valore dei segmenti $y$ e $z$ nella seguente configurazione di rette parallele tagliate da trasversali. Si sa che il rapporto tra i segmenti superiori è $x / 2 = 5 / 4$. Utilizza i dati forniti nell'immagine per impostare le proporzioni necessarie basandoti sul teorema di Talete.