Tabella di una funzione
Al festival di Milano un biglietto costa $15$ €. Se vai con $1$, $2$ o $10$ amici, quanto spendete in tutto? Il modo più rapido è organizzare i dati in una tabella: una riga con il numero di biglietti, una con il prezzo. La tabella è un altro modo di vedere la stessa funzione, accanto alla formula e al grafico.
La tabella di valori
Ogni colonna è una coppia $(x; y)$: prima la variabile indipendente, poi quella dipendente.
Affinché una relazione sia una funzione, a ogni valore della variabile indipendente ($x$) deve corrispondere un unico valore della variabile dipendente ($y$). Indica…
Affinché una relazione sia una funzione, a ogni valore della variabile indipendente ($x$) deve corrispondere un unico valore della variabile dipendente ($y$).
Indica quale delle seguenti tabelle NON rappresenta una funzione e spiega perché:
Tabella A:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 5 | 5 | 7 | 7 |
Tabella B:
| $x$ | 1 | 2 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 4 | 5 | 6 | 8 |
Un ciclista percorre un tragitto a una velocità costante di $20$ km/h. La seguente tabella mostra la distanza percorsa in funzione del tempo trascorso: | Tempo in ore…
Un ciclista percorre un tragitto a una velocità costante di $20$ km/h. La seguente tabella mostra la distanza percorsa in funzione del tempo trascorso:
| Tempo in ore ($x$) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| Distanza in km ($y$) | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $60$ |
A partire dalla tabella, indica:
-
a) Qual è la variabile indipendente e qual è la variabile dipendente?
-
b) È una funzione continua o discreta? Motiva la tua risposta.
Dalla formula alla tabella
Se conosci la formula, per riempire la tabella basta sostituire a $x$ ciascun valore richiesto e calcolare $y$.
Molte situazioni reali hanno una quota fissa più un costo per ogni unità. Per il noleggio di un monopattino con $2$ € di sblocco e $0{,}50$ € al minuto la formula è $y = 0{,}5x + 2$.
Data la funzione definita dall'espressione algebrica $y = 3x - 2$, costruisci una tabella di valori calcolando l'immagine ($y$) per i seguenti valori della variabile…
Data la funzione definita dall'espressione algebrica $y = 3x - 2$, costruisci una tabella di valori calcolando l'immagine ($y$) per i seguenti valori della variabile indipendente:
$x = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Un'azienda di noleggio di monopattini elettrici applica una quota fissa di $2$ € per sbloccare il monopattino e poi $0,50$ € per ogni minuto di utilizzo. Completa la…
Un'azienda di noleggio di monopattini elettrici applica una quota fissa di $2$ € per sbloccare il monopattino e poi $0,50$ € per ogni minuto di utilizzo.
Completa la tabella che mette in relazione il tempo di utilizzo con il costo totale del noleggio:
| Tempo in min ($x$) | 0 | 10 | 20 | 30 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| Costo in € ($y$) | $2$ | ? | ? | ? | ? |
Una piattaforma di streaming* di videogiochi offre un piano premium che costa $5 \text{ €}$ al mese come quota fissa, più $0,50 \text{ €}$ per ogni ora di gioco in alta…
Una piattaforma di streaming di videogiochi offre un piano premium che costa $5 \text{ €}$ al mese come quota fissa, più $0,50 \text{ €}$ per ogni ora di gioco in alta qualità.
La funzione che mette in relazione il costo mensile $y$ con il numero di ore giocate $x$ è $y = 0,5x + 5$.
Completa la seguente tabella di valori sul quaderno per analizzare la spesa mensile:
| Ore giocate ($x$) | $0$ | $4$ | $10$ | $20$ | $35$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Costo totale ($y$) |
Data la funzione $y = -2x + 3$, completa la seguente tabella di valori includendo numeri negativi e decimali: | $x$ | $-2$ | $-0,5$ | $0$ | $1$ | $2,5$ | | :--- | :---:…
Data la funzione $y = -2x + 3$, completa la seguente tabella di valori includendo numeri negativi e decimali:
| $x$ | $-2$ | $-0,5$ | $0$ | $1$ | $2,5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ |
Alla luce dei risultati, indica se la funzione è crescente o decrescente.
Proporzionalità diretta: il rapporto costante
Una tabella è di proporzionalità diretta se, dividendo ogni $y$ per la sua $x$, si ottiene sempre lo stesso numero: la costante di proporzionalità $k$.
Vogliamo studiare come varia il perimetro di un quadrato in funzione della lunghezza del suo lato. Ricorda che un quadrato ha i quattro lati uguali e che il perimetro è…
Vogliamo studiare come varia il perimetro di un quadrato in funzione della lunghezza del suo lato. Ricorda che un quadrato ha i quattro lati uguali e che il perimetro è la somma di tutti i lati.
Completa la tabella di valori e rispondi: quanto vale la costante di proporzionalità tra il perimetro e il lato?
| Lato in cm ($x$) | 1 | 2,5 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Perimetro in cm ($y$) | ? | ? | $12$ | ? | ? |
Osserva la relazione tra la lunghezza del lato di un quadrato e la sua area. Sappiamo che se il lato misura $x$, l'area è data dalla funzione $y = x^2$. Copia e completa…
Osserva la relazione tra la lunghezza del lato di un quadrato e la sua area. Sappiamo che se il lato misura $x$, l'area è data dalla funzione $y = x^2$.
Copia e completa la tabella sul quaderno:
| Lato del quadrato ($x$) in $cm$ | $1$ | $2,5$ | $4$ | $5$ | $6,2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Area ($y$) in $cm^2$ |
È questa una funzione di proporzionalità diretta? Giustifica la tua risposta basandoti sui valori della tabella.
Un drone decolla da terra e sale a una velocità costante di $3$ metri al secondo. a) Elabora una tabella di valori che metta in relazione il tempo di volo (in secondi)…
Un drone decolla da terra e sale a una velocità costante di $3$ metri al secondo.
- a) Elabora una tabella di valori che metta in relazione il tempo di volo (in secondi) con l'altezza raggiunta (in metri) per gli istanti $t = 0, 2, 4, 6, 8, 10$.
- b) Quale altezza raggiungerà il drone dopo $12$ secondi?
- c) Quanto tempo impiegherà a raggiungere un'altezza di $45$ metri? Amplia la tabella se necessario per rispondere.
Proporzionalità inversa: il prodotto costante
Un gruppo di amici affitta una casa in campagna per $240$ €: più sono le persone, meno paga ciascuno. Qui non è costante il rapporto, ma il prodotto $x \cdot y$.
Osserva la seguente tabella di valori che mette in relazione due grandezze: | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | 12 | 6 |…
Osserva la seguente tabella di valori che mette in relazione due grandezze:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 12 | 6 | 4 | 3 | 2,4 |
- a) Verifica che il prodotto $x \cdot y$ è costante in tutte le coppie di valori. Qual è questo valore?
- b) Di che tipo di funzione si tratta (lineare, affine o di proporzionalità inversa)?
Un gruppo di amici vuole affittare una casa in campagna che costa $240 \text{ €}$ per il fine settimana. Il prezzo che deve pagare ciascuno ($y$) dipende dal numero di…
Un gruppo di amici vuole affittare una casa in campagna che costa $240 \text{ €}$ per il fine settimana. Il prezzo che deve pagare ciascuno ($y$) dipende dal numero di persone che partecipano ($x$).
La tabella che mette in relazione le due grandezze è la seguente:
| Persone ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prezzo a persona ($y$) | $120$ | $60$ | $30$ |
- a) Completa i valori mancanti.
- b) Scrivi la formula della funzione.
- c) Di che tipo di funzione si tratta (lineare, affine o di proporzionalità inversa)?
In un laboratorio di fisica si sta studiando la relazione tra la pressione e il volume di un gas a temperatura costante (legge di Boyle). I dati ottenuti sono riportati…
In un laboratorio di fisica si sta studiando la relazione tra la pressione e il volume di un gas a temperatura costante (legge di Boyle). I dati ottenuti sono riportati nella seguente tabella di valori:
| Volume $V$ ($litros$) | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Pressione $P$ ($atm$) | 10 | 5 | 4 | 2,5 | 2 |
a) Verifica se si tratta di una funzione di proporzionalità inversa calcolando la costante di proporzionalità $k = V \cdot P$ per ogni coppia di valori.
b) Quale volume occuperà il gas se la pressione aumenta fino a $20 \text{ atm}$?
c) Se il volume si riduce a un quarto di quello iniziale ($2 \text{ litri}$), che cosa succede alla pressione secondo la costante trovata?
Dalla tabella alla formula
Se la tabella è di proporzionalità diretta, la formula è $y = kx$ con $k = y : x$. Se è di proporzionalità inversa, la formula è $y = k : x$ con $k = x \cdot y$. Qui sotto trovi un approfondimento sulle funzioni con quota fissa.
Una funzione è crescente se $y$ aumenta al crescere di $x$, decrescente se diminuisce: lo vedi subito leggendo la tabella da sinistra a destra.
Una società di spedizioni fa pagare $4 \text{ €}$ per la spedizione di un pacco, più una quantità variabile di $1,20 \text{ €}$ per ogni chilogrammo di peso. a)…
Una società di spedizioni fa pagare $4 \text{ €}$ per la spedizione di un pacco, più una quantità variabile di $1,20 \text{ €}$ per ogni chilogrammo di peso.
- a) Individua la variabile indipendente e la variabile dipendente.
- b) Crea una tabella di valori che metta in relazione il peso del pacco (da $1 \text{ kg}$ a $5 \text{ kg}$) con il costo totale della spedizione.
- c) Scrivi l'espressione algebrica della funzione.
È stata misurata la temperatura di un congelatore da quando è stato acceso. I dati ottenuti sono mostrati nella seguente tabella: | Tempo trascorso ($min$) | $0$ | $5$ |…
È stata misurata la temperatura di un congelatore da quando è stato acceso. I dati ottenuti sono mostrati nella seguente tabella:
| Tempo trascorso ($min$) | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ | $20$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Temperatura ($^\circ C$) | $18$ | $10$ | $2$ | $-6$ | $-14$ |
- a) Qual è la temperatura iniziale del congelatore?
- b) Di quanti gradi scende la temperatura ogni $5$ minuti? È una diminuzione uniforme?
- c) Se la tendenza si mantiene, quale temperatura ci sarà dopo $25$ minuti?
Trova l'espressione algebrica della funzione che corrisponde alla seguente tabella di valori: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :--- | :---: | :---: | :---: |…
Trova l'espressione algebrica della funzione che corrisponde alla seguente tabella di valori:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-2$ | $1$ | $4$ | $7$ | $10$ |
Un servizio di streaming di film ha un'offerta: il primo mese costa solo $2$ € e ogni mese aggiuntivo costa $8$ €. Scrivi la funzione che mette in relazione il numero di…
Un servizio di streaming di film ha un'offerta: il primo mese costa solo $2$ € e ogni mese aggiuntivo costa $8$ €.
Scrivi la funzione che mette in relazione il numero di mesi sottoscritti ($x$) con il costo totale ($y$) e completa la seguente tabella di valori:
| Mesi ($x$) | 1 | 2 | 3 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Costo totale in € ($y$) | $2$ | ? | ? | ? | ? |
Problemi con più tabelle
Le tabelle servono anche a confrontare due situazioni o a rispondere a domande: basta affiancare le colonne e leggere dove cambia il risultato. Se la tabella non arriva al valore cercato, ampliala continuando la regolarità.
Un'azienda di telecomunicazioni offre una tariffa dati per "gamer" che consiste in una quota fissa di $12 \text{ €}$ al mese. Questa quota include i primi…
Un'azienda di telecomunicazioni offre una tariffa dati per "gamer" che consiste in una quota fissa di $12 \text{ €}$ al mese. Questa quota include i primi $20 \text{ GB}$ di download. Da lì in poi, ogni $\text{GB}$ extra costa $1,5 \text{ €}$.
a) Completa la seguente tabella di valori che mette in relazione il consumo di dati in un mese ($x$) con il costo totale della fattura ($y$):
| Dati consumati ($GB$) | 10 | 20 | 25 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Costo totale ($€$) |
b) Questa relazione è una funzione di proporzionalità diretta? Giustifica la tua risposta analizzando i rapporti della tabella.
c) Determina l'espressione algebrica della funzione per il tratto in cui il consumo è superiore a $20 \text{ GB}$.
Una squadra di speleologi sta scendendo in una voragine profonda. Hanno osservato che la temperatura aumenta in modo costante man mano che scendono. A livello del suolo…
Una squadra di speleologi sta scendendo in una voragine profonda. Hanno osservato che la temperatura aumenta in modo costante man mano che scendono. A livello del suolo ($0 \text{ m}$) la temperatura è di $18 \text{ °C}$. Per ogni $150 \text{ m}$ di discesa, la temperatura aumenta di $2,25 \text{ °C}$.
a) Costruisci una tabella di valori che mostri la temperatura per profondità di $0, 300, 600, 900$ e $1200$ metri sotto il livello del suolo.
b) Calcola la costante di crescita (coefficiente angolare) di questa funzione, esprimendo di quanto aumenta la temperatura per ogni metro di discesa.
c) Se sul fondo della voragine il termometro segna $45 \text{ °C}$, usa la logica della tabella per determinare a quale profondità si trovano.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Due piattaforme di streaming competono per i clienti. La piattaforma "CineTotal" fa pagare una quota fissa di $8 \text{ €}$ e $0,50 \text{ €}$ per ogni film in anteprima…
Due piattaforme di streaming competono per i clienti. La piattaforma "CineTotal" fa pagare una quota fissa di $8 \text{ €}$ e $0,50 \text{ €}$ per ogni film in anteprima noleggiato. La piattaforma "EstrenosYA" non ha quota fissa, ma fa pagare $2,50 \text{ €}$ per ogni film in anteprima.
a) Elabora una tabella di valori comparativa per il noleggio di $0, 2, 4, 5$ e $6$ film in entrambe le piattaforme.
b) Analizzando la tabella, a partire da quanti film l'abbonamento a "CineTotal" comincia a essere più conveniente?
c) Che tipo di funzione rappresenta ciascuna piattaforma? (Lineare, affine o costante).
Un giardiniere utilizza un serbatoio da $500 \text{ litri}$ di acqua per annaffiare. Il serbatoio perde acqua a un ritmo costante di $12,5 \text{ litri}$ al minuto…
Un giardiniere utilizza un serbatoio da $500 \text{ litri}$ di acqua per annaffiare. Il serbatoio perde acqua a un ritmo costante di $12,5 \text{ litri}$ al minuto quando l'irrigazione è accesa. Il grafico mostra come varia il volume d'acqua del serbatoio con il tempo.
a) Crea una tabella di valori che metta in relazione il tempo trascorso ($0, 5, 10, 20, 30$ minuti) con la quantità d'acqua rimasta nel serbatoio.
b) Individua il valore dell'ordinata all'origine (quantità iniziale) e il coefficiente angolare (ritmo di perdita) a partire dai dati della tua tabella.
c) Quanto tempo impiegherà il serbatoio a ridursi esattamente a metà della sua capacità?
Data la seguente tabella di valori di una funzione affine, trova i valori mancanti e determina l'espressione algebrica che la definisce: | $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 3 | |…
Data la seguente tabella di valori di una funzione affine, trova i valori mancanti e determina l'espressione algebrica che la definisce:
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | -11 | -5 | -2 |
a) Calcola l'aumento di $y$ per ogni unità di cui aumenta $x$ per trovare il coefficiente angolare $m$.
b) Completa gli spazi vuoti della tabella basandoti sulla regolarità trovata.
c) Scrivi l'espressione analitica della funzione nella forma $y = mx + n$.
Un ciclista professionista svolge un allenamento di resistenza. La tabella mostra la distanza percorsa in funzione del tempo, ma in diversi tratti di intensità: | Tempo…
Un ciclista professionista svolge un allenamento di resistenza. La tabella mostra la distanza percorsa in funzione del tempo, ma in diversi tratti di intensità:
| Tempo ($h$) | 0 | 1 | 1,5 | 2,5 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Distanza ($km$) | 0 | 30 | 45 | 75 | 120 |
a) Indica se la velocità è stata costante durante tutto l'allenamento analizzando gli incrementi della tabella.
b) Quale distanza avrà percorso dopo $3 \text{ ore e } 15 \text{ minuti}$ se mantiene lo stesso ritmo dell'ultimo tratto?
c) Rappresenta i punti della tabella in un sistema di coordinate. Sono tutti i punti allineati sulla stessa retta che passa per l'origine?
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Una ONG ha calcolato che il costo di spedizione di pacchi di aiuti umanitari dipende dal numero di camion utilizzati. I costi fissi di logistica sono di $2500 \text{ €}$…
Una ONG ha calcolato che il costo di spedizione di pacchi di aiuti umanitari dipende dal numero di camion utilizzati. I costi fissi di logistica sono di $2500 \text{ €}$ e il costo operativo di ogni camion è di $1200 \text{ €}$.
a) Completa la tabella di valori mettendo in relazione il numero di camion ($1, 2, 5, 10$) con il costo totale della spedizione.
b) Se il budget massimo della ONG per una spedizione è di $20000 \text{ €}$, aggiungi una colonna alla tabella calcolando il denaro avanzato in ogni caso.
c) La funzione "denaro avanzato" è crescente o decrescente? Giustifica la tua risposta osservando la tabella.
Torniamo all'inizio: per $1$, $2$ o $10$ biglietti da $15$ € si pagano $15$ €, $30$ € e $150$ €, valori che la formula $y = 15x$ fornisce subito e che la tabella ordina con chiarezza.