Figure equivalenti e formule inverse
Marco e Giulia ricevono ciascuno un pezzo di cartoncino per un lavoro di arte: il primo è un rettangolo, il secondo un quadrato. Sembrano molto diversi, ma Giulia dice: «Con questi due pezzi ricopro la stessa superficie». Può essere vero? E se conosci l'area e una sola misura, come trovi l'altra? Lo scopri in questa pagina.
Figure equivalenti
Due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa area, cioè la stessa estensione, anche se la forma è diversa.
Un modo per vederlo è la scomposizione: si taglia una figura e con i pezzi se ne compone un'altra. Due figure che si possono scomporre negli stessi pezzi si dicono equiscomponibili (o equicomposte) e sono sempre equivalenti. Si dicono equiestese due figure che hanno la stessa estensione, cioè la stessa area, anche quando non si riesce a scomporle l'una nell'altra. Un parallelogramma, per esempio, si trasforma in un rettangolo spostando un triangolo.
Le formule di area sono quindi le stesse: parallelogramma e rettangolo con uguali base e altezza hanno $A = b \cdot h$.
Un rettangolo ha base $12$ cm e altezza $5$ cm. Un quadrato ha lo stesso valore di area. Calcola l'area e il lato del quadrato se è $\sqrt{60}\approx 7,7$ cm; indica poi…
Un rettangolo ha base $12$ cm e altezza $5$ cm. Un quadrato ha lo stesso valore di area. Calcola l'area e il lato del quadrato se è $\sqrt{60}\approx 7,7$ cm; indica poi se le due figure sono equivalenti o congruenti.
Formule inverse
La formula dell'area del rettangolo, $A = b \cdot h$, collega tre numeri. Se ne conosci due, trovi il terzo con l'operazione inversa: la moltiplicazione si annulla con la divisione.
$$A = b \cdot h \quad\Rightarrow\quad b = \frac{A}{h}, \qquad h = \frac{A}{b}$$Il ragionamento vale per ogni formula: per trovare un fattore, dividi il prodotto per l'altro fattore.
Se i dati sono numeri e il lato di un quadrato non è esatto, puoi cercarlo per tentativi con i quadrati perfetti: se $l^2 = 72$, poiché $8^2 = 64 < 72 < 81 = 9^2$, il lato è tra $8$ e $9$ cm, circa $8{,}5$ cm.
Poligoni regolari
In un poligono regolare l'apotema $a$ è il segmento che unisce il centro al punto medio di un lato. Con $2p$ perimetro e $p$ semiperimetro: $A = \dfrac{2p \cdot a}{2} = p \cdot a$. Le formule inverse sono $a = \dfrac{2A}{2p}$ e $2p = \dfrac{2A}{a}$.
In ogni poligono regolare il rapporto tra apotema e lato è costante e dipende solo dal numero dei lati: si chiama numero fisso $f$. Quindi $a = f \cdot l$ e $l = a : f$. Per l'esagono regolare $f \approx 0{,}866$; per il quadrato $f = 0{,}5$; per il pentagono regolare $f \approx 0{,}688$. Nell'esagono con lato $10$ cm, per esempio, $a \approx 0{,}866 \cdot 10 = 8{,}66$ cm, in accordo con il risultato dell'esempio qui sotto.
Il triangolo
Per il triangolo $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$. Il $2$ divide il prodotto, quindi per ricavare $b$ o $h$ devi prima moltiplicare l'area per $2$:
$$b = \frac{2A}{h}, \qquad h = \frac{2A}{b}$$Un rettangolo ha area $84$ cm² e base $12$ cm. Calcola l'altezza usando la formula inversa.
Un rettangolo ha area $84$ cm² e base $12$ cm. Calcola l'altezza usando la formula inversa.
Un triangolo ha area $30$ cm² e base $10$ cm. Calcola la sua altezza.
Un triangolo ha area $30$ cm² e base $10$ cm. Calcola la sua altezza.
Trapezio e rombo
Anche le altre formule si invertono con lo stesso metodo.
| Figura | Formula | Formula inversa |
|---|---|---|
| Parallelogramma | $A = b \cdot h$ | $h = A : b$ |
| Trapezio | $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$ | $B + b = \dfrac{2A}{h}$ |
| Rombo | $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ | $d = \dfrac{2A}{D}$ |
Per il trapezio conviene trovare prima la somma delle basi $B + b$, poi sottrarre la base nota.
Quando due figure diverse sono equivalenti, uguagli le aree e ricavi la misura mancante.
Un parallelogramma ha base $18$ cm e altezza $10$ cm. Un triangolo equivalente ha base $24$ cm. Calcola l'altezza del triangolo.
Un parallelogramma ha base $18$ cm e altezza $10$ cm. Un triangolo equivalente ha base $24$ cm. Calcola l'altezza del triangolo.
Un trapezio ha area $150$ cm², base maggiore $18$ cm e altezza $10$ cm. Calcola la base minore.
Un trapezio ha area $150$ cm², base maggiore $18$ cm e altezza $10$ cm. Calcola la base minore.
Un rombo ha diagonale maggiore $24$ cm e area $108$ cm². Calcola la diagonale minore e il lato del rombo.
Un rombo ha diagonale maggiore $24$ cm e area $108$ cm². Calcola la diagonale minore e il lato del rombo.
Problemi con più passaggi
Nei problemi più lunghi combini equivalenza, formule inverse, rapporti e Pitagora. Procedi per tappe: scrivi cosa conosci, cosa chiede il problema e quale area ti collega i dati.
Un terreno rettangolare a Lecce di lati $40$ m e $25$ m è equivalente a un trapezio con basi in rapporto $2:3$ e altezza $20$ m. a) Calcola la somma delle basi. b)…
Un terreno rettangolare a Lecce di lati $40$ m e $25$ m è equivalente a un trapezio con basi in rapporto $2:3$ e altezza $20$ m.
- a) Calcola la somma delle basi.
- b) Calcola le due basi.
Un triangolo rettangolo ha cateti $15$ cm e $20$ cm. a) Calcola area, ipotenusa e altezza relativa all'ipotenusa. b) Un rettangolo equivalente ha base $10$ cm: calcola…
Un triangolo rettangolo ha cateti $15$ cm e $20$ cm.
- a) Calcola area, ipotenusa e altezza relativa all'ipotenusa.
- b) Un rettangolo equivalente ha base $10$ cm: calcola altezza e perimetro.
Un quadrato di lato $l$ e un rettangolo con base doppia del lato e altezza $l - 3$ cm hanno la stessa area di $72$ cm²... verifica se è possibile: calcola il lato del…
Un quadrato di lato $l$ e un rettangolo con base doppia del lato e altezza $l - 3$ cm hanno la stessa area di $72$ cm²... verifica se è possibile: calcola il lato del quadrato, poi l'altezza del rettangolo con base $2l$, e spiega se i dati sono coerenti con l'equivalenza.
Vuoi altri esercizi?
In sintesi
Vuoi un ultimo controllo? Torna al cartoncino di Giulia: un rettangolo $12 \times 5$ cm e un quadrato di lato circa $7{,}7$ cm coprono la stessa superficie di $60$ cm², quindi Giulia aveva ragione.