Percentuali
Un negozio di articoli sportivi annuncia: «Saldi del 50% più un ulteriore 20%: ben il 70% di sconto!». Sarà vero? E se un prezzo comprende già il 22% di IVA, come si risale al prezzo senza IVA? Le percentuali sono ovunque: saperle usare ti evita di farti ingannare da un cartellone o da uno scontrino.
Che cos'è una percentuale
Alcune percentuali si calcolano a mente: $50\% = \dfrac{1}{2}$, $25\% = \dfrac{1}{4}$, $10\% = \dfrac{1}{10}$ (basta spostare la virgola), $75\% = \dfrac{3}{4}$.
Calcola mentalmente: a) Il $25\%$ di $240$. b) Il $10\%$ di $380$. c) Il $50\%$ di $96$. d) Il $75\%$ di $800$.
Calcola mentalmente:
a) Il $25\%$ di $240$.
b) Il $10\%$ di $380$.
c) Il $50\%$ di $96$.
d) Il $75\%$ di $800$.
Un paio di scarpe da ginnastica da $60\text{ €}$ è scontato del $15\%$. Quanti euro risparmi? Quanto paghi?
Un paio di scarpe da ginnastica da $60\text{ €}$ è scontato del $15\%$. Quanti euro risparmi? Quanto paghi?
Una giacca che costava $74,90\text{ €}$ viene scontata del $30\%$. Quanti euro vengono scontati? Qual è il prezzo finale?
Una giacca che costava $74,90\text{ €}$ viene scontata del $30\%$. Quanti euro vengono scontati? Qual è il prezzo finale?
Quale percentuale è una parte del tutto?
Spesso si conoscono la parte e il totale e si cerca la percentuale. Basta scrivere il rapporto parte : totale e trasformarlo in una frazione con denominatore $100$ (o in un decimale).
La stessa idea serve per le variazioni percentuali: se un prezzo passa da $12\ €$ a $15\ €$, l'aumento è $3\ €$ e va confrontato con il prezzo di partenza: $\dfrac{3}{12} = 0{,}25 = 25\%$.
Degli $30$ alunni di una classe, $18$ sono ragazze. Che percentuale della classe sono ragazze? E ragazzi?
Degli $30$ alunni di una classe, $18$ sono ragazze. Che percentuale della classe sono ragazze? E ragazzi?
Che percentuale rappresenta $45$ rispetto a $180$?
Che percentuale rappresenta $45$ rispetto a $180$?
Il prezzo di un fumetto è passato da $12\text{ €}$ a $15\text{ €}$. Di quale percentuale è aumentato?
Il prezzo di un fumetto è passato da $12\text{ €}$ a $15\text{ €}$. Di quale percentuale è aumentato?
Il tutto, conoscendo la parte
Se sai che una parte vale $P$ ed è il $n\%$ del totale, il totale si ottiene dividendo per $\dfrac{n}{100}$.
Una giocatrice di pallacanestro ha segnato $17$ dei $25$ tiri liberi che ha tirato in questa stagione. Qual è la sua percentuale di successo?
Una giocatrice di pallacanestro ha segnato $17$ dei $25$ tiri liberi che ha tirato in questa stagione. Qual è la sua percentuale di successo?
In una scuola, $360$ alunni praticano uno sport agonistico, il che rappresenta il $37,5\%$ del totale. a) Quanti alunni ha la scuola? b) Quanti non praticano sport…
In una scuola, $360$ alunni praticano uno sport agonistico, il che rappresenta il $37,5\%$ del totale.
a) Quanti alunni ha la scuola?
b) Quanti non praticano sport agonistico?
Aumenti e sconti: il coefficiente moltiplicativo
Esempi: $+20\%$ vuol dire $\cdot\, 1{,}20$; $-15\%$ vuol dire $\cdot\, 0{,}85$; $+5\%$ vuol dire $\cdot\, 1{,}05$.
Con l'IVA funziona allo stesso modo. In Italia l'aliquota ordinaria è del $22\%$: aggiungerla significa moltiplicare per $1{,}22$. Un prezzo di $50\ €$ senza IVA diventa $50 \cdot 1{,}22 = 61\ €$.
Completa sul quaderno: a) Se ti fanno uno sconto del $30\%$, paghi il $\%$ del prezzo. b) Se un prezzo aumenta del $12\%$, paghi il $\%$ del prezzo originale. c) Se hai…
Completa sul quaderno:
a) Se ti fanno uno sconto del $30\%$, paghi il ____ $\%$ del prezzo.
b) Se un prezzo aumenta del $12\%$, paghi il ____ $\%$ del prezzo originale.
c) Se hai consumato il $45\%$ della batteria, ti resta il ____ $\%$.
Un paio di auricolari costa $50\text{ €}$ IVA esclusa. Se l'IVA è del $21\%$, qual è il prezzo finale?
Un paio di auricolari costa $50\text{ €}$ IVA esclusa. Se l'IVA è del $21\%$, qual è il prezzo finale?
Un negozio online vende uno zaino a $95\text{ €}$ IVA esclusa. Applica uno sconto del $20\%$ e poi aggiunge il $21\%$ di IVA sul prezzo già scontato. Qual è il prezzo…
Un negozio online vende uno zaino a $95\text{ €}$ IVA esclusa. Applica uno sconto del $20\%$ e poi aggiunge il $21\%$ di IVA sul prezzo già scontato. Qual è il prezzo finale che paghi?
Risalire al valore iniziale: lo scorporo dell'IVA
Se conosci il prezzo finale, dopo uno sconto o un aumento, per tornare al prezzo iniziale dividi per il coefficiente.
Lo scorporo dell'IVA è lo stesso procedimento: un prezzo con IVA al $22\%$ di $122\ €$ si divide per $1{,}22$ e dà il prezzo al netto dell'IVA, $100\ €$. Con più passaggi (sconto e poi IVA) si dividono per il prodotto dei coefficienti.
Per un paio di pantaloni scontati del $15\%$ ho pagato $59,50\text{ €}$. Qual era il prezzo prima dello sconto?
Per un paio di pantaloni scontati del $15\%$ ho pagato $59,50\text{ €}$. Qual era il prezzo prima dello sconto?
Un canale di cucina ha aumentato i suoi follower del $25\%$ nell'ultimo anno e ora ha $1\,800$ follower. Quanti follower aveva un anno fa?
Un canale di cucina ha aumentato i suoi follower del $25\%$ nell'ultimo anno e ora ha $1\,800$ follower. Quanti follower aveva un anno fa?
Lucia ha comprato su un sito web un paio di auricolari per $96,80\text{ €}$. Quel prezzo comprendeva già uno sconto del $20\%$ sul prezzo di base e, inoltre, il $21\%$…
Lucia ha comprato su un sito web un paio di auricolari per $96,80\text{ €}$. Quel prezzo comprendeva già uno sconto del $20\%$ sul prezzo di base e, inoltre, il $21\%$ di IVA applicata dopo lo sconto. Qual era il prezzo di base degli auricolari, senza sconto né IVA?
Variazioni successive
Torniamo all'annuncio dei saldi: «50% più 20%».
Un videogioco che costava $60\text{ €}$ è aumentato del $10\%$ nella campagna natalizia e, passate le feste, il nuovo prezzo è sceso del $10\%$. a) Qual era il prezzo…
Un videogioco che costava $60\text{ €}$ è aumentato del $10\%$ nella campagna natalizia e, passate le feste, il nuovo prezzo è sceso del $10\%$.
a) Qual era il prezzo dopo l'aumento?
b) Qual è il prezzo dopo la diminuzione?
c) È tornato al prezzo originale? Se non è così, di quale percentuale è variato in totale?
Motiva se queste affermazioni sono vere o false, aiutandoti con esempi numerici: a) Se un prezzo aumenta del $50\%$ e poi diminuisce del $50\%$, torna al prezzo…
Motiva se queste affermazioni sono vere o false, aiutandoti con esempi numerici:
a) Se un prezzo aumenta del $50\%$ e poi diminuisce del $50\%$, torna al prezzo iniziale.
b) Applicare due sconti consecutivi del $10\%$ equivale a un unico sconto del $19\%$.
c) Il $5\%$ di una quantità è la metà del $10\%$ di quella stessa quantità.
d) Se il $90\%$ degli alunni ha superato un esame, ne sono stati respinti $1$ su $10$.
Un negozio di articoli sportivi annuncia: «Saldi del $50\%$ più un ulteriore $20\%$: ben il $70\%$ di sconto totale!». Un paio di scarpe del negozio costa…
Un negozio di articoli sportivi annuncia: «Saldi del $50\%$ più un ulteriore $20\%$: ben il $70\%$ di sconto totale!». Un paio di scarpe del negozio costa $120\text{ €}$. Spiega l'errore dell'annuncio, calcola lo sconto percentuale reale applicato e il prezzo finale corretto delle scarpe.
Recuperare un calo: le percentuali non sono simmetriche
Il prezzo del biglietto d'ingresso a un parco acquatico è sceso del $20\%$ alla fine dell'estate. All'arrivo della stagione successiva, il parco vuole recuperare…
Il prezzo del biglietto d'ingresso a un parco acquatico è sceso del $20\%$ alla fine dell'estate. All'arrivo della stagione successiva, il parco vuole recuperare esattamente il prezzo originale. Di quale percentuale deve aumentare il prezzo scontato? Spiega perché la risposta non è $20\%$.
Le vendite di una libreria sono calate del $35\%$ a febbraio rispetto a gennaio. A marzo le vendite si sono riprese fino a raggiungere di nuovo il livello di gennaio. Di…
Le vendite di una libreria sono calate del $35\%$ a febbraio rispetto a gennaio. A marzo le vendite si sono riprese fino a raggiungere di nuovo il livello di gennaio. Di quale percentuale sono aumentate le vendite di marzo rispetto a quelle di febbraio? Arrotonda il risultato ai centesimi.
Interesse semplice
Se depositi un capitale $C$ in banca a un tasso annuo $r$ (in forma decimale), l'interesse semplice dopo $t$ anni è
$$I = C \cdot r \cdot t$$e il montante è $M = C + I$. L'interesse è sempre calcolato sul capitale iniziale.
Dalla formula si ricavano le formule inverse: $C = \dfrac{I}{r \cdot t}$, $r = \dfrac{I}{C \cdot t}$, $t = \dfrac{I}{C \cdot r}$. Se il tasso è mensile, anche $t$ va contato in mesi.
Per comprarsi una bicicletta elettrica, Andrea deposita $1\,200\text{ €}$ su un conto a interesse semplice del $3\%$ annuo per $2$ anni. Quale interesse riceverà? Quanto…
Per comprarsi una bicicletta elettrica, Andrea deposita $1\,200\text{ €}$ su un conto a interesse semplice del $3\%$ annuo per $2$ anni. Quale interesse riceverà? Quanto denaro avrà alla fine?
Martino vuole comprarsi una mountain bike e valuta diverse opzioni di deposito a interesse semplice: a) Quale capitale deve depositare al $4\%$ annuo per $3$ anni per…
Martino vuole comprarsi una mountain bike e valuta diverse opzioni di deposito a interesse semplice:
a) Quale capitale deve depositare al $4\%$ annuo per $3$ anni per ottenere $270\text{ €}$ di interessi?
b) A quale tasso percentuale annuo deve investire $2\,500\text{ €}$ per $2$ anni per ottenere $200\text{ €}$ di interessi?
c) Per quanto tempo deve mantenere $1\,800\text{ €}$ al $5\%$ annuo per ottenere $360\text{ €}$ di interessi?
Un conto di risparmio offre un interesse semplice del $0,4\%$ mensile. Se depositi $3\,000\text{ €}$: a) Quanto interesse guadagni ogni mese? b) Quanti mesi completi…
Un conto di risparmio offre un interesse semplice del $0,4\%$ mensile. Se depositi $3\,000\text{ €}$:
a) Quanto interesse guadagni ogni mese?
b) Quanti mesi completi devono passare per accumulare $180\text{ €}$ di interessi?
Torniamo all'inizio: «50% più 20%» significa pagare $0{,}50 \cdot 0{,}80 = 0{,}40$ del prezzo, cioè sconto reale del $60\%$, non del $70\%$; e per avere il prezzo senza IVA si divide il prezzo finale per $1{,}22$.