Esercizi: Scala di aree e volumi

Due figure piane sono simili con rapporto di similitudine $k = 3$.

a) Per quale numero si moltiplicano le lunghezze?

b) Per quale numero si moltiplica l'area?

c) Se fossero solidi, per quale numero si moltiplicherebbe il volume?

Due quadrati sono simili con rapporto $k = 2$. Se quello piccolo ha lato di $5$ cm:

a) Quanto misura il lato di quello grande?

b) Quali sono le aree dei due quadrati?

Un cubo ha spigolo di $4$ cm e un altro cubo, simile a esso, ha lo spigolo lungo il doppio.

a) Qual è il volume di ciascun cubo?

b) Quante volte è maggiore il volume del cubo grande rispetto a quello del piccolo?

In una pianta in scala $1:100$, una stanza occupa $12\ \text{cm}^2$. Qual è la sua superficie reale? Esprimila in metri quadrati.

Si ingrandisce una foto di $40\ \text{cm}^2$ con una fotocopiatrice al $150\%$. Quale superficie ha l'ingrandimento?

In un modellino in scala $1:50$, un serbatoio ha un volume di $80\ \text{cm}^3$. Qual è il volume del serbatoio reale? Esprimilo in metri cubi.

Ragiona se queste affermazioni sono vere o false:

a) Se raddoppio i lati di un rettangolo, raddoppio la sua area.

b) Il rapporto tra le aree di due figure simili è il quadrato del rapporto di similitudine.

c) Se il rapporto di similitudine di due solidi è $2$, il volume del grande è $8$ volte quello del piccolo.

d) In una pianta in scala $1:50$, un centimetro quadrato della pianta rappresenta $50\ \text{cm}^2$ reali.

Osserva i due rettangoli simili della figura.

a) Verifica che il rapporto di similitudine è $3$.

b) Se l'area del rettangolo piccolo è $8\ \text{cm}^2$, qual è l'area di quello grande?

Errore altrui. Marco vuole stampare uno striscione pubblicitario per la festa del quartiere a partire da un bozzetto che misura $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ (superficie: $600\text{ cm}^2$). Per lo striscione finale decide di triplicare la misura di tutti i lati, applicando un rapporto di similitudine $k = 3$. In tipografia, Marco calcola il costo dicendo: «Dato che ho moltiplicato i lati per $3$, mi servirà esattamente il triplo di telo e di inchiostro, cioè $3 \cdot 600 = 1800\text{ cm}^2$».\n\na) Senza bisogno di calcolare le nuove misure dei lati, spiega con parole tue perché il ragionamento di Marco è sbagliato, basandoti sulla relazione tra lunghezze e aree.\nb) Correggi il calcolo: qual sarà la superficie reale dello striscione in $\text{cm}^2$ e in $\text{m}^2$? Per quale numero si moltiplica realmente la spesa di telo e inchiostro?

Stima e verifica. Una gelateria artigianale vende vaschette cilindriche simili di due dimensioni. La vaschetta «Piccola» ha un diametro di $6\text{ cm}$ e una capacità di $125\text{ ml}$. La vaschetta «Gigante» è esattamente simile a quella piccola, ma il suo diametro misura $12\text{ cm}$.\n\na) Stima: Prima di fare calcoli con le formule, rifletti: raddoppiando il diametro, la vaschetta gigante conterrà il doppio del gelato ($250\text{ ml}$), il quadruplo ($500\text{ ml}$) o molto di più? Scrivi la tua previsione spiegando brevemente su cosa ti basi.\nb) Verifica: Trova il rapporto di similitudine lineare $k$ e calcola la capacità esatta della vaschetta gigante in millilitri.\nc) Confronta il risultato con la tua stima iniziale e valuta se è ragionevole che la vaschetta gigante costi il triplo di quella piccola, tenendo conto della quantità di gelato che contiene.

Per il plastico di un quartiere sono state costruite due casette simili con rapporto di similitudine $1,5$. La casetta piccola ha richiesto $7,2\ \text{dm}^2$ di cartoncino e il suo volume interno è di $6,4$ litri.

a) Quanto cartoncino servirà per la casetta grande?

b) Quale sarà il suo volume interno?

Due acquari sono simili: quello piccolo è lungo $40$ cm e quello grande $80$ cm.

a) Qual è il rapporto di similitudine?

b) Se il vetro dell'acquario piccolo è costato $30\text{ €}$, quanto costerà quello del grande, allo stesso prezzo per superficie?

c) Se riempire d'acqua quello piccolo costa $5\text{ €}$, quanto costerà riempire quello grande?

Un'artista dipinge un murale a partire da un bozzetto di $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ applicando un rapporto di scala $k = 8$.

a) Quali dimensioni avrà il murale?

b) Quale superficie avrà?

c) Se un barattolo di vernice copre $2\ \text{m}^2$, di quanti barattoli avrà bisogno come minimo?

Nella planimetria di un residence, disegnata in scala $1:75$, un giardino rettangolare occupa $96\ \text{cm}^2$. Qual è la superficie reale del giardino in metri quadrati?

Un cantiere navale costruisce un modellino di una barca a vela in scala $1:40$ che pesa $3$ kg. Se la barca reale fosse costruita con gli stessi materiali e la stessa densità media, quanto peserebbe? Esprimi il risultato in tonnellate.

Una scultura e la sua miniatura ricordo sono simili con rapporto di similitudine $5$.

a) Se per dipingere la miniatura si usano $120$ ml di vernice, quanti litri servono per dipingere la scultura?

b) Se la miniatura pesa $2$ kg ed entrambe sono dello stesso materiale, quanto pesa la scultura?

In una mappa in scala $1:2\,000$, un campo da calcio occupa $17,5\ \text{cm}^2$.

a) Qual è la sua superficie reale in metri quadrati?

b) Si avvicina alla superficie regolamentare di un campo da calcio, di circa $7\,000\ \text{m}^2$?

Osserva i due cubi della figura: quello piccolo ha spigolo di $2$ cm e quello grande di $6$ cm. Il volume del cubo piccolo è $8\ \text{cm}^3$.

a) Qual è il rapporto di similitudine?

b) Calcola il volume del cubo grande senza usare la formula del volume del cubo, a partire dal volume di quello piccolo.

c) Se l'area totale del cubo piccolo è $24\ \text{cm}^2$, qual è l'area totale di quello grande?

Problema inverso. Un'azienda di spedizioni sostenibile vuole riprogettare la sua scatola standard di cartone. Ordinerà un nuovo modello esattamente con la stessa forma (simile), ma riducendo le dimensioni in modo che la superficie totale di cartone necessaria sia il $64\,\%$ della superficie della scatola originale (cioè, l'area della nuova scatola è $0,64$ volte l'area di quella vecchia).\n\na) Imposta la relazione tra le aree e ricava il rapporto di similitudine lineare $k$ tra la scatola nuova e quella originale.\nb) Se l'altezza della scatola originale era $35\text{ cm}$, quanto deve misurare l'altezza del nuovo modello?\nc) Quale percentuale del volume originale conserverà la nuova scatola? Il volume si riduce nella stessa proporzione del cartone? Giustifica la tua risposta interpretando la scala dei volumi.

Modellizza. Una cooperativa olearia di Foggia commercializza il suo olio extravergine di oliva gourmet in bottiglie di vetro di design simile in due formati: una bottiglia singola da $100\text{ ml}$ e una bottiglia famiglia da $800\text{ ml}$.\n\na) Le due bottiglie sono solidi simili. A partire dalle loro capacità, determina il rapporto di similitudine lineare $k$ tra la bottiglia famiglia e quella singola.\nb) Se la bottiglia singola è alta $14\text{ cm}$, quanto sarà alta la bottiglia famiglia?\nc) Se l'etichetta adesiva che avvolge la bottiglia singola ha una superficie di $25\text{ cm}^2$, quanti centimetri quadrati misurerà l'etichetta della bottiglia famiglia?\nd) Per fabbricare il corpo della bottiglia singola si usano $120\text{ g}$ di vetro fuso (che forma esclusivamente la parete esterna del recipiente, il cui spessore è lo stesso nei due formati). Un operaio afferma che per la bottiglia famiglia serviranno $960\text{ g}$ di vetro ($8$ volte di più). Ragiona se l'operaio ha ragione o no, indicando la quantità reale approssimata di vetro necessaria.

a) Il rapporto tra le aree di due figure piane simili è $9$. Qual è il rapporto di similitudine tra i loro lati? E il rapporto tra i loro perimetri?

b) I volumi di due solidi simili sono in rapporto $\frac{27}{8}$. Qual è il rapporto di similitudine?

c) Le aree di due appezzamenti simili sono in rapporto $\frac{1}{4}$. Qual è il rapporto tra i loro lati?

Un proiettore forma un quadrato di $1,5$ m di lato su uno schermo posto a $3$ m. Allontanando lo schermo fino a $6$ m, l'immagine continua a essere quadrata, come mostra la figura.

a) Qual è il rapporto di similitudine tra le due immagini? Quanto misura il lato del quadrato a $6$ m?

b) Quante volte è maggiore l'area dell'immagine lontana rispetto a quella vicina?

c) Poiché la stessa quantità di luce si distribuisce su tutta la superficie, con quale frazione di luminosità per metro quadrato si vede l'immagine a $6$ m rispetto a $3$ m?

d) A quale distanza bisognerebbe collocare lo schermo perché l'area dell'immagine fosse $9$ volte quella iniziale?

Un'impresa di traslochi vuole «raddoppiare la capacità» delle sue scatole cubiche e decide di costruirle con lo spigolo doppio. Il titolare afferma: «Così ci starà il doppio delle cose».

a) Spiega l'errore del titolare.

b) Quante volte maggiore sarà realmente la capacità della nuova scatola?

c) Se la scatola piccola ha un volume di $27\ \text{dm}^3$, quale sarà il volume di quella nuova?

Due serbatoi cilindrici sono simili e il rapporto tra le loro altezze è $2$. Riempire d'acqua il serbatoio piccolo costa $15\text{ €}$ e verniciare la sua superficie esterna costa $40\text{ €}$.

a) Quanto costerà riempire d'acqua il serbatoio grande?

b) Quanto costerà verniciare la sua superficie esterna?

c) Un operaio afferma che «tutto costerà il doppio, perché il serbatoio è il doppio più grande». Correggi la sua affermazione usando i risultati precedenti e spiega perché sbaglia.

Scegli il metodo. Uno studio di architettura progetta la copertura di un palazzetto dello sport comunale composta da $150$ lastre triangolari diverse tra loro unite come un mosaico poliedrico. Nello studio costruiscono un plastico in scala $1:20$ ($k = 20$). Dopo aver misurato il plastico, sanno che la superficie totale di plastica delle $150$ lastre è esattamente $1,2\text{ m}^2$. Per ordinare le lastre di policarbonato per l'opera reale, due architetti discutono su come procedere:\n\n- Metodo di Alba: Misurare con il calibro i tre lati di ciascuno dei $150$ triangoli del plastico, moltiplicare ogni lunghezza per $20$, calcolare l'area di ciascun triangolo reale e sommare le $150$ aree ottenute.\n- Metodo di Bruno: Prendere la superficie totale del plastico ($1,2\text{ m}^2$) e moltiplicarla direttamente per $k^2 = 20^2 = 400$.\n\na) Confronta i due metodi: quale dei due è preferibile dal punto di vista dell'efficienza e dell'accumulo di errori di arrotondamento? Giustifica la tua scelta.\nb) Applica il metodo più conveniente per calcolare la superficie totale di policarbonato da acquistare per la copertura reale.\nc) Se il metro quadrato di policarbonato costa $38\text{ \euro}$, quale sarà il costo del materiale della copertura?

Modellizza e trasferisci. Uno scultore fonde in bronzo una statua commemorativa. Per verificare l'equilibrio e calcolare il preventivo, realizza prima un modello pieno alto $20\text{ cm}$, che pesa $1,5\text{ kg}$ e la cui base d'appoggio ha un'area di $75\text{ cm}^2$. La scultura monumentale definitiva sarà alta $3\text{ m}$ e sarà fusa con la stessa lega di bronzo.\n\na) Determina il rapporto di similitudine lineare $k$ tra la scultura reale e il modello.\nb) Se la statua monumentale fosse realizzata completamente piena (come il modello), quale sarebbe la sua massa in chilogrammi e in tonnellate?\nc) Quale superficie occuperà la base d'appoggio della grande scultura sul piedistallo?\nd) La pressione che il piedistallo sopporta sotto la scultura è proporzionale a $\frac{\text{Masa}}{\text{Area}}$. Esprimi come si trasforma questa frazione in funzione di $k$ e dimostra perché la scultura grande esercita una pressione molto maggiore per centimetro quadrato rispetto al modello. Quale soluzione tecnica adottano nella realtà gli scultori per evitare questo problema di sovrappeso?

La sfida del tema. Hai mai voluto calcolare l'altezza di un elemento intorno a te senza salirci sopra e progettarne una replica? Diventa topografo e progettista tecnico da casa.

1. Raccolta dati e Talete: In una giornata di sole, misura con un metro la tua altezza ($h_1$) e la lunghezza della tua ombra ($s_1$). Misura nello stesso momento l'ombra proiettata da un oggetto alto vicino ($s_2$, come un lampione o un albero). Applicando la similitudine dei triangoli e il teorema di Talete, ricava la sua altezza reale ($h_2$).

2. Applicazione di Pitagora: Prendendo $s_2$ e $h_2$ come cateti di un triangolo rettangolo, applica il teorema di Pitagora per trovare la distanza reale dalla sommità dell'oggetto all'estremità della sua ombra.

3. Scale in un foglio di calcolo: Imposta un plastico in scala $1:20$ ($k = 0,05$). In un foglio di calcolo (o GeoGebra), tabula le misure reali e quelle del plastico. Calcola la scala delle aree ($k^2$) per stimare la superficie di materiale che useresti e la scala dei volumi ($k^3$) per confrontare la capacità o la massa della replica rispetto all'originale.

Elabora una breve relazione con i tuoi dati, le operazioni giustificate e una schermata del tuo foglio di calcolo.

Verrà valutato:

• Rigore geometrico nell'applicare Talete e Pitagora con misure prese da te.

• Corretta deduzione e uso delle scale $k$, $k^2$ e $k^3$ nel foglio di calcolo.

• Chiarezza, ordine e giustificazione matematica nella relazione finale.