Esercizi: Rapporto

Su un social network, il video di un influencer ha ottenuto $450$ "mi piace" dopo essere stato visualizzato da $3000$ persone. Calcola il rapporto tra il numero di "mi piace" e il numero di visualizzazioni, semplifica il risultato e interpreta che cosa significa il valore ottenuto.

Un negozio di videogiochi offre un pacchetto di $3$ custodie per controller a $12,60$ €. Esprimi il rapporto tra il prezzo e il numero di custodie. Come chiameremmo abitualmente questo risultato nel linguaggio quotidiano?

Calcola il rapporto tra la base e l'altezza dello schermo del seguente tablet e spiega se il risultato sarebbe lo stesso se il tablet fosse il doppio più grande mantenendo la stessa forma.

In una verifica di matematica di $20$ domande, Nerea ha risposto correttamente a $15$ e ha sbagliato $5$. Scrivi il rapporto tra:

1. a) Il numero di risposte esatte e il numero di risposte errate.
2. b) Il numero di risposte esatte e il totale delle domande.

Indica in ogni caso qual è l'antecedente e qual è il conseguente.

Per preparare una miscela di colore arancione, un artista usa $3$ barattoli di vernice rossa ogni $2$ barattoli di vernice gialla.

1. a) Esprimi il rapporto tra la vernice rossa e la gialla.
2. b) Se vuole mantenere lo stesso tono e usa $6$ barattoli di vernice gialla, quanti barattoli di rossa gli serviranno?

Un monopattino elettrico percorre $12$ chilometri in $30$ minuti. Calcola il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato (espresso in ore). Quale grandezza fisica rappresenta questo rapporto?

In un allenamento di basket, Marco ha realizzato $8$ tiri su $12$ tentativi, mentre Paola ne ha realizzati $6$ su $9$ tentativi.

1. a) Scrivi il rapporto di successi di ciascuno.

1. b) Verifica se i due rapporti formano una proporzione. Chi ha la mira migliore?

Dato il rapporto $\frac{4}{5}$, inventa un contesto reale per adolescenti (per esempio legato al cinema, ai vestiti o allo sport) in cui si usino queste quantità e spiega il suo significato. Indica quali sono le grandezze che stai confrontando.

In una classe di seconda media ci sono $12$ ragazze e $18$ ragazzi. Marco afferma ad alta voce: «Il rapporto tra ragazze e ragazzi è $\dfrac{12}{30}$, che semplificato diventa $\dfrac{2}{5}$, il che significa che ogni $2$ ragazze ci sono $5$ ragazzi nella nostra classe».

1. a) Individua e spiega l'errore concettuale commesso da Marco nel costruire i termini del rapporto. Quale grandezza ha messo in realtà al denominatore?
2. b) Scrivi il rapporto corretto tra ragazze e ragazzi, semplificalo fino a ottenere una frazione ridotta ai minimi termini e interpreta con parole tue che cosa significa il risultato in questo contesto.
3. c) Se nella scuola vicina si mantiene esattamente lo stesso rapporto tra ragazze e ragazzi e sappiamo che ci sono $24$ ragazzi, quante ragazze ci sono in quella scuola? Scrivi la proporzione corrispondente e trova il valore incognito.

In un laboratorio di pasticceria artigianale di Siena si prepara il marzapane tradizionale utilizzando solo mandorle macinate e zucchero. Il maestro pasticcere indica che il rapporto tra la massa di mandorle e la massa di zucchero deve essere esattamente di $3$ a $2$ (cioè $\dfrac{3}{2}$).

1. a) Proponi due diverse combinazioni di quantità di mandorle e zucchero (in grammi) che rispettino esattamente questo rapporto, in modo che la massa totale della miscela non superi in nessun caso $600\text{ g}$.
2. b) Se hai una confezione chiusa da $450\text{ g}$ di mandorle macinate e vuoi usarla per intero senza che avanzi nulla, quale quantità esatta di zucchero devi aggiungere per mantenere la proporzione? Imposta la proporzione prima di ricavare l'incognita.
3. c) Un apprendista afferma che mescolando $350\text{ g}$ di mandorle con $250\text{ g}$ di zucchero si mantiene la proporzione perché «ha aggiunto $50\text{ g}$ a ogni ingrediente rispetto alla miscela di $300\text{ g}$ e $200\text{ g}$». Giustifica matematicamente mediante i rapporti perché il suo ragionamento è errato.

Su una piattaforma di streaming, un moderatore ha contato che negli ultimi $45$ minuti sono comparsi $1350$ messaggi nella chat della trasmissione.

1. a) Calcola il rapporto tra il numero di messaggi e il tempo trascorso in minuti.
2. b) Spiega che cosa significa il risultato ottenuto nel contesto del problema.
3. c) Se il rapporto rimane costante, quanti messaggi si riceveranno in un'ora intera?

Per una festa di fine anno, gli studenti stanno confrontando due offerte di sacchetti di patatine per vedere qual è la più conveniente. La marca "Crunch" offre un sacchetto da $250$ g a $1,75$ €, mentre la marca "Snack" vende un sacchetto da $400$ g a $2,60$ €.

1. a) Calcola il rapporto tra il prezzo e il peso (in euro al grammo) per ciascuna marca.
2. b) Utilizzando i rapporti ottenuti, indica quale delle due marche costa meno.

Un grafico sta lavorando con due formati di immagine. Il primo formato ha dimensioni di $12$ cm di larghezza e $18$ cm di altezza. Il secondo formato ha $20$ cm di larghezza e $30$ cm di altezza.

1. a) Calcola il rapporto tra la larghezza e l'altezza per ciascuno dei formati.
2. b) Queste dimensioni sono proporzionali? Giustifica la tua risposta confrontando i rapporti.

Per ottenere un tono di vernice verde oliva, un imbianchino mescola barattoli di vernice bianca, gialla e nera. Il rapporto tra la quantità di vernice gialla e di vernice bianca è $3/4$, e il rapporto tra la vernice nera e la gialla è $1/5$.

Se per una stanza ha usato $2$ litri di vernice bianca:

1. a) Quanti litri di vernice gialla gli sono serviti?
2. b) Qual è il rapporto tra la vernice nera e la vernice bianca in questa miscela?

In un allenamento di basket, Lucia ha realizzato $18$ canestri su $30$ tiri, mentre Marco ne ha realizzati $14$ su $20$ tiri.

1. a) Calcola il rapporto di successi (tiri a segno rispetto ai tiri totali) di ciascun giocatore come numero decimale.
2. b) Quale dei due giocatori ha avuto un rendimento migliore nell'allenamento?

È stato costruito un plastico di un nuovo palazzetto dello sport comunale. L'edificio reale ha una lunghezza totale di $75$ metri, mentre nel plastico la stessa distanza misura $30$ centimetri.

1. a) Calcola il rapporto tra la misura del plastico e la misura reale (ricorda di esprimere entrambe nella stessa unità).
2. b) Qual è la scala utilizzata per il plastico?

La densità di popolazione è il rapporto tra il numero di abitanti di un territorio e la sua superficie espressa in $km^2$. Osserva i dati di queste due province fittizie:

• Provincia A: $450\,000$ abitanti e $15\,000$ $km^2$.

• Provincia B: $280\,000$ abitanti e $7\,000$ $km^2$.

1. a) Calcola la densità di popolazione di ciascuna provincia e interpreta il risultato.
2. b) Quale delle due province è più "popolata" in relazione alla sua estensione?

In una scuola secondaria, il rapporto tra il numero di studenti e il numero di insegnanti è $18$.

1. a) Spiega con una frase che cosa significa questo valore del rapporto.
2. b) Se nella scuola ci sono attualmente $32$ insegnanti, quanti studenti sono iscritti?
3. c) Se per il prossimo anno si prevede che il numero di studenti aumenti fino a $630$, quanti insegnanti dovrebbero esserci per mantenere lo stesso rapporto?

In una tappa di media montagna del Giro d'Italia si analizzano due salite:

• Il Colle del Rovere ha una lunghezza orizzontale di $6\text{ km}$ e supera un dislivello accumulato di $420\text{ m}$.

• Il Colle delle Hazas ha una lunghezza orizzontale di $9\text{ km}$ e supera un dislivello accumulato di $540\text{ m}$.

(Il rapporto tra il dislivello in metri e la distanza in chilometri determina l'impegno medio della salita in $\text{m/km}$).

1. a) Prima di calcolare qualsiasi quoziente esatto, arrotonda mentalmente i dati e stima in modo motivato quale delle due salite ritieni più ripida (maggiore rapporto dislivello/distanza). Spiega a che cosa hai fatto attenzione per formulare la tua stima.
2. b) Calcola con precisione il rapporto tra il dislivello e la distanza per ciascuna salita, esprimendo il risultato come numero decimale. Verifica se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) L'organizzazione vuole progettare un nuovo tratto di collegamento di $5\text{ km}$ con lo stesso rapporto dislivello/distanza del Colle del Rovere. Imposta la proporzione e calcola quanti metri di dislivello deve avere questo tratto. Valuta se il risultato ottenuto è coerente con le pendenze della tappa.

Secondo i dati del registro anagrafico comunale (Padrón Municipal) pubblicati dall'Istituto Nazionale di Statistica spagnolo (INE), la provincia spagnola di Soria conta circa $90\,000$ abitanti su una superficie di circa $10\,300\text{ km}^2$, mentre la provincia di Pontevedra conta circa $945\,000$ abitanti su una superficie di circa $4500\text{ km}^2$.

1. a) Modella matematicamente questa situazione impostando il rapporto che definisce la densità di popolazione (numero di abitanti per chilometro quadrato) per ciascuna delle due province. Calcola il suo valore decimale arrotondando ai decimi.
2. b) Interpreta il significato reale dei due valori decimali: che cosa rappresenta quel numero nella vita quotidiana e nella distribuzione spaziale degli abitanti di ciascuna provincia?
3. c) Se una zona dell'entroterra della provincia di Pontevedra ha una superficie di $350\text{ km}^2$ e mantiene esattamente la stessa densità media provinciale, quanti abitanti vi risiedono? Imposta la proporzione $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ e calcola l'incognita mediante la proprietà dei prodotti incrociati.

In un laboratorio di pittura artistica si stanno creando due tonalità di verde smeraldo mescolando pittura blu e gialla. La Miscela A contiene $5$ parti di pittura blu ogni $3$ di pittura gialla. La Miscela B usa $8$ parti di pittura blu ogni $5$ di pittura gialla.

1. a) Determina il rapporto tra il blu e il giallo in entrambe le miscele, esprimendolo come numero decimale.

1. b) Se vogliamo che il murale sia il più "bluastro" possibile, quale miscela dovremmo scegliere? Motiva la tua risposta confrontando i rapporti.

1. c) Se nella Miscela A decidiamo di aggiungere $2$ parti in più di ciascun colore, il rapporto iniziale varierà? Giustificalo matematicamente.

Un designer di videogiochi sta confrontando due monitor per la sua nuova postazione di lavoro. Il primo monitor ha un formato "panoramico standard" con un rapporto tra larghezza e altezza di $16:9$. Il secondo è un monitor "ultrapanoramico" con un rapporto di $21:9$.

1. a) Se entrambi i monitor hanno esattamente la stessa altezza di $36$ cm, qual è la differenza tra le loro larghezze?

1. b) Calcola il rapporto tra l'area del monitor ultrapanoramico e l'area del monitor standard. Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.

In una mappa ad alta precisione delle Alpi, la scala è indicata come un rapporto di $1:50\thinspace000$. Un escursionista misura sulla mappa la distanza tra due rifugi e ottiene $14,2$ cm. Tuttavia, consultando un'applicazione digitale, osserva che la distanza reale è di $7,5$ km.

1. a) Calcola il rapporto reale (scala) che esiste tra la misura sulla mappa e la misura dell'applicazione digitale.

1. b) Qual è l'errore in centimetri che presenta la mappa rispetto alla distanza dell'applicazione?

Un'azienda di spedizioni usa droni per consegnare pacchi. Si sa che il rapporto tra il peso del pacco ($P$, in kg) e il consumo di batteria ($B$, in % per chilometro) segue una relazione costante di $1,5 : 0,4$.

1. a) Se un pacco pesa $4,5$ kg, qual è il consumo di batteria per ogni chilometro percorso?

1. b) Se un drone dispone solo del $12\%$ di batteria residua e deve effettuare una consegna a $5$ km di distanza, qual è il peso massimo (rapporto peso/distanza) che potrebbe trasportare per arrivare esattamente a destinazione?

In uno studio di architettura bioclimatica si analizza il rapporto tra la superficie delle finestre e la superficie totale delle pareti di una stanza per ottimizzare la luce naturale. In una stanza con $25$ $m^2$ di pareti ci sono due finestre: una di $120$ cm $\times$ $150$ cm e un'altra circolare di $80$ cm di raggio.

1. a) Calcola il rapporto tra la superficie vetrata totale e la superficie delle pareti. (Usa $\pi \approx 3,14$).

1. b) Se la raccomandazione ideale è un rapporto di $1:5$, quanti $m^2$ di vetro avanzano o mancano per rispettarla?

L'"indice di massa corporea" (IMC) è il rapporto tra la massa di una persona ($m$, in kg) e il quadrato della sua altezza ($h$, in metri), cioè $IMC = \frac{m}{h^2}$.

1. a) Se un atleta alto $1,80$ m ha un IMC di $22,5$, qual è la sua massa?

1. b) Se un altro atleta pesa $85$ kg ed è alto $1,92$ m, calcola il suo IMC. Qual è il rapporto tra l'IMC del secondo atleta e quello del primo? Esprimi il risultato con due cifre decimali.

Si vuole costruire un plastico di un grattacielo. Il rapporto di similitudine tra il plastico e l'edificio reale è $1:250$.

1. a) Se la superficie della base dell'edificio reale è di $1\thinspace200$ $m^2$, qual è il rapporto tra la superficie della base del plastico e quella del grattacielo reale?

1. b) Calcola l'area della base del plastico in centimetri quadrati. (Attenzione: ricorda che il rapporto tra le superfici è il quadrato del rapporto tra le lunghezze).

In una gara di tiro con l'arco, il punteggio di un arciere viene analizzato mediante il rapporto tra "frecce al centro" e "frecce totali lanciate".

• L'Arciere A ha ottenuto un rapporto di $7:12$ in $48$ lanci.

• L'Arciere B ha ottenuto un rapporto di $5:8$ in $40$ lanci.

1. a) Quale dei due arcieri è stato più efficace? Giustificalo confrontando i rapporti mediante il denominatore comune.

1. b) Se l'Arciere A vuole eguagliare il rapporto di efficacia dell'Arciere B nel suo prossimo turno di $24$ frecce, quante di queste nuove frecce dovrà necessariamente piantare al centro?

Per verificare se due rapporti formano una proporzione (cioè se $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$), si possono usare tre metodi diversi:

• Metodo 1 (valore decimale): calcolare il quoziente decimale di ciascun rapporto e verificare se coincidono.

• Metodo 2 (frazione ridotta ai minimi termini): semplificare entrambi i rapporti dividendo per il loro massimo comune divisore e confrontare le frazioni ridotte.

• Metodo 3 (prodotti incrociati): verificare se vale l'uguaglianza $a \cdot d = b \cdot c$.

Si presentano due coppie di rapporti ottenuti confrontando il consumo di carburante di diversi veicoli:

• Coppia A: $\dfrac{7}{13}$ e $\dfrac{21}{39}$

• Coppia B: $\dfrac{1200}{1800}$ e $\dfrac{1400}{2100}$

1. a) Per la Coppia A, applica il Metodo 1 e il Metodo 3. Spiega perché il Metodo 1 può generare dubbi nell'arrotondare cifre decimali periodiche infinite, mentre il Metodo 3 garantisce una risposta esatta.
2. b) Per la Coppia B, confronta lo sforzo di calcolo tra il Metodo 2 e il Metodo 3 se dovessi risolverla a mano senza calcolatrice. Giustifica quale dei due è decisamente più rapido e sicuro in questo caso.
3. c) Formula una conclusione motivata: in quali condizioni conviene scegliere il metodo dei prodotti incrociati e in quali è preferibile semplificare alla frazione ridotta ai minimi termini?

Nel pronto soccorso di un ospedale di zona, la direzione sanitaria stabilisce che il rapporto ottimale tra il numero di pazienti in attesa e il numero di medici di guardia deve essere al massimo di $8$ a $1$ (cioè un rapporto di $\dfrac{8}{1}$).

In una notte con alta affluenza di pazienti ci sono $78$ persone che aspettano in sala e solo $6$ medici che li assistono.

1. a) Modella la situazione calcolando il rapporto attuale di pazienti per medico come numero decimale. Interpreta il risultato ottenuto e determina se il servizio rispetta la raccomandazione o se il personale è sovraccarico.
2. b) Se nel corso della notte non è possibile aggiungere nessun medico, quanti pazienti al massimo dovrebbero essere in attesa perché il rapporto sia esattamente quello raccomandato di $8:1$? Quanti pazienti bisognerebbe dirottare verso altri centri di assistenza primaria per ottenerlo?
3. c) Supponi che durante la notte arrivino nuovi pazienti e il totale delle persone in attesa salga a $96$. Per affrontare la situazione con una migliore qualità assistenziale, la direzione fissa un nuovo rapporto più esigente di $6$ pazienti per medico. Imposta un'equazione a partire dalla proporzione $\dfrac{96}{6 + x} = \dfrac{6}{1}$ per calcolare quanti medici di rinforzo ($x$) devono essere chiamati subito, e spiega ogni passaggio della risoluzione.