Esercizi: Proporzionalità inversa

Indica in modo ragionato se le seguenti coppie di grandezze sono in relazione di proporzionalità inversa:

1. a) Il numero di persone che dipingono una staccionata e il tempo che impiegano a finirla.
2. b) Il numero di chili di mele che compri e il prezzo totale che paghi.
3. c) La velocità a cui viaggia un treno e il tempo che impiega a percorrere la distanza tra due città.
4. d) Il numero di pagine di un libro e il suo peso.

Completa la seguente tabella sul quaderno sapendo che le grandezze $A$ e $B$ sono inversamente proporzionali. Calcola anche la costante di proporzionalità $k$.

Per montare il palco di un festival musicale, $4$ operai hanno lavorato per $12$ ore. Se il festival decide di assumere un totale di $8$ operai che lavorano con lo stesso ritmo, quante ore impiegheranno a montare lo stesso palco?

Un gruppo di amici vuole noleggiare un furgone per andare in gita. Se vanno $6$ amici, ciascuno deve pagare $15$ euro. Calcola quanto dovrebbe pagare ciascuno se alla fine si iscrivono $10$ persone al viaggio.

Un allevatore ha mangime sufficiente per nutrire le sue $20$ mucche per $30$ giorni. Se vende $5$ mucche e ne tiene $15$, per quanti giorni potrà nutrire le mucche rimaste con la stessa quantità di mangime?

Due ingranaggi sono collegati. Il primo ha $12$ denti e compie $20$ giri al minuto. Quanti giri compirà il secondo ingranaggio se ha $24$ denti?

Una cisterna d'acqua si riempie in $6$ ore usando un rubinetto con una portata di $10$ litri al minuto. Quanto tempo impiegherà a riempirsi la stessa cisterna se la portata del rubinetto aumenta a $15$ litri al minuto?

Marta ha fatto un viaggio in auto a una velocità costante di $90$ km/h e ha impiegato $4$ ore. Se per il viaggio di ritorno decide di andare più piano, a una velocità di $60$ km/h, quanto tempo impiegherà a fare lo stesso percorso?

Per riempire la vasca antincendio di un comune dell'Appennino si usano $3$ bocche d'acqua uguali, che impiegano $12$ ore a riempirla completamente. Davanti a un'emergenza, la squadra comunale decide di collegare $6$ bocche identiche contemporaneamente. Marco, uno dei tecnici, calcola il tempo che impiegheranno impostando la seguente operazione: $x = \dfrac{6 \cdot 12}{3} = 24\text{ ore}$.\na) Senza fare calcoli complessi, ragiona analizzando un caso estremo o logico per cui il risultato ottenuto da Marco non ha senso nella realtà.\nb) Spiega quale errore concettuale ha commesso Marco impostando la sua proporzione.\nc) Correggi l'impostazione usando la costante di proporzionalità inversa e determina quante ore impiegheranno realmente le $6$ bocche.

Un'associazione giovanile di un quartiere di Bologna noleggia un autobus per una gita all'Abbazia di Pomposa per un costo fisso di $720$ €, che viene diviso in parti uguali tra le persone che partecipano.\na) Scrivi la formula matematica che mette in relazione il prezzo a persona ($y$, in euro) in funzione del numero di partecipanti ($x$). Indica il valore della costante di proporzionalità inversa e spiega che cosa rappresenta in questo contesto.\nb) L'organizzazione stabilisce che il viaggio si farà solo se il prezzo a persona si mantiene tra $15$ € e $30$ € (entrambi inclusi). Proponi tre valori possibili per il numero di partecipanti ($x$) e calcola il prezzo a persona ($y$) che corrisponderebbe a ciascuno di essi.

Un gruppo di amici ha vinto un premio di $300$ € in una gara di robotica e ha deciso di dividerlo in parti uguali. Completa la seguente tabella per scoprire quanto denaro riceverebbe ciascuno in base al numero di persone che formano il gruppo. Indica anche qual è la costante di proporzionalità inversa.

Nel grafico puoi vedere evidenziato il caso di $2$ amici.

Un drone per le consegne impiega $12$ minuti a consegnare un pacco spostandosi a una velocità di $40$ km/h. Se il centro di controllo decide di aumentare la velocità a $60$ km/h per la consegna successiva nello stesso luogo, quanto tempo impiegherà ad arrivare?

Per montare il palco di un festival musicale, $8$ operai hanno lavorato per $15$ ore. Se il comune ha bisogno che il montaggio sia terminato in sole $10$ ore, quanti operai in più dovranno essere assunti, supponendo che tutti lavorino con lo stesso ritmo?

Un'associazione protezione animali ha razioni di mangime per nutrire i suoi $45$ cani per $20$ giorni. Se domani arrivano $15$ cani in più salvati da una cucciolata, per quanti giorni durerà la scorta di mangime se la razione giornaliera per cane non cambia?

Un contadino usa un tubo con una portata di $5$ litri al minuto per riempire una cisterna d'acqua in $12$ ore. Quale portata dovrebbe avere un nuovo tubo se vuole riempire la stessa cisterna in sole $3$ ore?

Un'aula di tecnologia ha varie tavole rettangolari di compensato che occupano tutte la stessa superficie: $1200$ cm². Completa la tabella delle possibili dimensioni (base e altezza) di queste tavole e spiega quale relazione esiste tra di esse.

Due ruote dentate sono ingranate. La prima ha $48$ denti e gira a $150$ giri al minuto (rpm). A quale velocità girerà la seconda ruota se ha $30$ denti?

Sei rubinetti uguali impiegano $40$ minuti a riempire una piscina per bambini. Se due dei rubinetti si guastano e vanno fuori uso, quanto tempo impiegheranno i rubinetti rimanenti a riempire la stessa piscina? Esprimi il risultato in ore e minuti.

Una squadra forestale composta da $4$ operai impiega $18$ ore di lavoro effettivo per ripulire una fascia tagliafuoco in un bosco comunale della Sila. In previsione di un'ondata di caldo, si decide di aggiungere $2$ operai, con lo stesso ritmo di lavoro, formando una squadra di $6$ persone.\na) Prima di calcolare il valore esatto, fai una stima ragionata: sapendo che il doppio degli operai ($8$) impiegherebbe $9$ ore, la squadra di $6$ operai impiegherà più o meno di $10$ ore? Spiega il tuo ragionamento a mente, senza ancora risolvere l'equazione.\nb) Calcola il tempo esatto che impiegheranno i $6$ operai usando la proprietà del prodotto costante ($a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$).\nc) Verifica se il risultato numerico conferma la tua stima iniziale e interpreta quale significato fisico ha la costante di proporzionalità ottenuta in termini di «ore di lavoro di un solo operaio».

Un autobus di linea percorre il tragitto di $120\text{ km}$ che collega due località in Piemonte. La velocità media del tragitto ($v$, in $\text{km/h}$) e il tempo impiegato ($t$, in ore) sono grandezze inversamente proporzionali.\na) Scrivi la funzione che esprime il tempo $t$ (in ore) in funzione della velocità media $v$.\nb) In un giorno con traffico scorrevole l'autobus viaggia a una velocità media di $80\text{ km/h}$, mentre in una giornata con fitta nebbia la sua velocità media scende a $50\text{ km/h}$. Calcola il tempo di viaggio in ciascuna situazione, esprimendo il risultato con precisione in ore e minuti.\nc) Se il consorzio dei trasporti richiede che il tragitto sia completato in un tempo massimo di $1$ ora e $15$ minuti, a quale velocità media minima deve viaggiare l'autobus? Giustifica il tuo procedimento.

Tre amici decidono di dividersi i $282$ € ottenuti come premio in una gara di robotica in modo inversamente proporzionale ai minuti che hanno impiegato a risolvere la prova finale. Se il primo amico ha impiegato $12$ minuti, il secondo $15$ minuti e il terzo $20$ minuti, quanto denaro spetta a ciascuno?

Una spedizione in montagna ha provviste immagazzinate per nutrire $20$ escursionisti per $12$ giorni. Tuttavia, dopo i primi $4$ giorni di cammino, incontrano un altro gruppo di $5$ persone rimaste senza rifornimenti e decidono di condividere le loro provviste. Se mantengono la stessa razione giornaliera per persona, di quanti giorni in meno rispetto a quelli previsti dureranno i viveri rimanenti?

In una mountain bike, il rapporto tra il numero di denti della corona e quello del pignone determina l'avanzamento. Se con una corona di $48$ denti e un pignone di $24$ denti la ruota posteriore compie esattamente $200$ giri in un tratto, quanti giri compirebbe la ruota se passassimo a un pignone di $16$ denti mantenendo la stessa pedalata (stessi giri di corona)? Giustifica il tipo di proporzionalità.

Un rettangolo ha una base di $12$ cm e un'altezza di $8$ cm. Vogliamo costruire un altro rettangolo che abbia esattamente la stessa superficie, ma la cui base sia più lunga del $25$ % rispetto a quella del primo.

• a) Qual è l'altezza del nuovo rettangolo?

• b) Di quale percentuale è diminuita l'altezza rispetto al rettangolo originale?

Sei stampanti ad alta velocità impiegano $4$ ore e $30$ minuti a stampare $5000$ volantini pubblicitari. Se due delle stampanti si guastano prima di iniziare il lavoro, quante ore e minuti impiegheranno le stampanti rimanenti a eseguire lo stesso ordine?

Per riempire una piscina olimpionica si utilizzano $4$ rubinetti che erogano una portata di $12$ litri al minuto ciascuno, impiegando un totale di $30$ ore. Se vogliamo che la piscina si riempia in sole $18$ ore usando rubinetti con una portata maggiore, di $16$ litri al minuto, quanti rubinetti di questo nuovo modello dovremo aprire?

Un treno merci percorre il tragitto tra due città a una velocità media di $80$ km/h, impiegando $3$ ore e $45$ minuti. Nel viaggio di ritorno, a causa di un guasto sul binario, deve ridurre la velocità media a $60$ km/h.

• a) Quanto tempo impiegherà a completare il viaggio di ritorno?

• b) Esprimi il risultato in ore, minuti e secondi.

Osserva la seguente tabella che rappresenta la relazione tra due grandezze $M$ e $N$. Determina se si tratta di una relazione di proporzionalità inversa calcolando la sua costante $k$. Una volta trovata, completa i valori mancanti, esprimendoli come numeri interi o decimali finiti.

In una cooperativa vinicola del Chianti, una squadra di $12$ vendemmiatori raccoglie l'uva di un appezzamento in $20$ giorni. La direzione deve prevedere quanti giorni servirebbero per raccogliere lo stesso appezzamento in tre possibili assunzioni: con $24$ vendemmiatori, con $6$ vendemmiatori e con $15$ vendemmiatori.\nSi propongono due modi di risolverlo:\n- Metodo A: impostare tre proporzioni inverse indipendenti, una per ogni caso.\n- Metodo B: calcolare la costante di proporzionalità inversa $k$ (giornate di lavoro totali necessarie), scrivere l'espressione $y = \dfrac{k}{x}$ e utilizzare le relazioni di proporzionalità semplice (doppio/metà) quando è possibile.\na) Applica entrambi i metodi per calcolare i giorni che corrispondono a ciascuno dei tre casi.\nb) Confronta i due procedimenti e giustifica in modo ragionato perché il Metodo B è più efficiente e sicuro quando si devono valutare più scenari di personale.

Nel laboratorio di Scienze di una scuola si verifica sperimentalmente la legge di Boyle-Mariotte: a temperatura costante, il volume ($V$, in litri) occupato da una massa di gas e la pressione ($P$, in atmosfere) a cui è sottoposta sono inversamente proporzionali ($P \cdot V = k$). All'inizio dell'esperienza, il gas occupa $12\text{ litri}$ sottoposto a una pressione di $2\text{ atm}$.\na) Si aziona uno stantuffo per comprimere il gas in modo che il suo volume finale sia compreso tra $3\text{ litri}$ e $4\text{ litri}$ (entrambi i valori inclusi). Determina in modo ragionato l'intervallo di pressione ($P$) in cui deve lavorare il compressore.\nb) Un alunno formula la seguente ipotesi: «Poiché raddoppiare la pressione riduce il volume alla metà, se aumentiamo la pressione del $50\,\%$, anche il volume si ridurrà del $50\,\%$». Dimostra algebricamente se la sua deduzione è vera o falsa e calcola la percentuale esatta di cui diminuisce realmente il volume quando la pressione aumenta del $50\,\%$.