Esercizi: Piantine e scala

Su una carta stradale dell'Italia, la scala indicata è $1:250.000$. Se usi un righello per misurare la distanza tra due paesi e segni esattamente $8\text{ cm}$, quanti chilometri separano questi due paesi nella realtà?

Vuoi fare sul tuo quaderno un disegno della tua nuova tavoletta grafica. La tavoletta ha una lunghezza reale di $30\text{ cm}$. Se decidi di usare una scala di riduzione di $1:3$, quanto misurerà in lunghezza il disegno sul tuo quaderno?

Un gruppo di archeologi ha disegnato su un foglio un vaso antico. Nel disegno il vaso è alto $15\text{ cm}$. Se sappiamo che il vaso reale ha un'altezza di $75\text{ cm}$, qual è la scala usata dagli archeologi?

Nella pianta di un'abitazione realizzata in scala $1:100$, la camera da letto principale è rappresentata da un rettangolo lungo $4\text{ cm}$ e largo $3\text{ cm}$. Calcola le dimensioni reali della stanza espresse in metri.

Un collezionista di automobiline ha un modello in scala $1:24$. Se la lunghezza del modellino è $18\text{ cm}$, quanto misurerà l'auto reale in metri?

Osservi una scala grafica su una mappa escursionistica in cui un segmento di $1\text{ cm}$ equivale a $500\text{ metri}$ nella realtà. Se il percorso che vuoi fare misura $12\text{ cm}$ sulla mappa, quanti chilometri percorrerai in totale?

Un biologo fotografa una piccola formica regina usando una scala di ingrandimento di $5:1$. Se nella fotografia la formica è lunga $45\text{ mm}$, qual è la sua dimensione reale in millimetri?

In un volantino di un centro sportivo hanno disegnato un campo da basket in scala $1:200$. Se il campo reale è lungo $28\text{ metri}$, quanti centimetri misurerà la lunghezza del campo nel disegno del volantino?

Marco sta progettando in classe di Tecnologia la pianta della sua camera in scala $1:50$. Misurando con il righello la parete principale dove metterà il letto, annota una lunghezza di $7,2\text{ cm}$. Poi esegue la seguente operazione per calcolare la misura reale: $7,2 \cdot 50 = 360$, e conclude sul quaderno: «La parete della mia camera è lunga $360\text{ metri}$».

1. Spiega con un ragionamento perché il risultato a cui arriva Marco non ha senso fisico per un'abitazione.

2. Individua l'errore concreto di unità o di concetto che ha commesso nell'interpretare la scala.

3. Correggi il suo procedimento e determina la lunghezza reale corretta della parete espressa in metri.

Stai pianificando un'escursione nel Parco Naturale di Capo Carbonara (Sardegna) usando una mappa topografica in scala $1:40.000$. Con un righello misuri una distanza di $7,5\text{ cm}$ in linea retta tra due calette costiere.

1. Stima: Senza usare la calcolatrice né fare moltiplicazioni complesse con i decimali, fai una stima mentale preliminare. Sapendo che in scala $1:40.000$ ogni centimetro equivale a poco meno di mezzo chilometro ($0,4\text{ km}$), la distanza reale sarà più vicina a $1\text{ km}$, a $3\text{ km}$ o a $10\text{ km}$? Spiega su cosa ti basi.

2. Calcola: Applica le relazioni di scala per trovare il valore esatto della distanza reale in chilometri.

3. Verifica: Confronta il calcolo con la tua stima iniziale e argomenta se una persona che cammina a un ritmo costante di $4\text{ km/h}$ impiegherebbe più o meno di un'ora per percorrere quel tragitto in linea retta.

Su una mappa escursionistica delle Alpi, la scala indicata è $1:25.000$. Se la distanza misurata con un righello tra il Passo del Moncenisio e il Rifugio Vittorio Emanuele è di $12,4$ cm sulla carta, quanti chilometri reali dovrà percorrere un gruppo di escursionisti per andare da un punto all'altro in linea retta?

Una giovane architetta sta progettando un nuovo skate park per la sua città. Nel disegno tecnico, la pista principale per i salti ha una lunghezza di $15$ cm. Se il parco verrà costruito in scala $1:150$, calcola la lunghezza reale della pista in metri.

Hai deciso di cambiare l'arredamento della tua camera e vuoi disegnare una piantina in scala $1:20$ per vedere se ci sta una nuova scrivania. Se la tua camera è rettangolare e misura $4,2$ metri di lunghezza per $3,4$ metri di larghezza, quali saranno le dimensioni (lunghezza e larghezza) del rettangolo nel tuo disegno espresse in centimetri?

Nel plastico di una famosa torre di telecomunicazioni, l'altezza della replica è di $85$ cm. Se sappiamo che l'altezza reale della torre è di $255$ metri, determina la scala numerica semplificata con cui è stato costruito il plastico.

Una carta stradale ha una scala grafica in cui un segmento di $2$ cm rappresenta una distanza reale di $15$ km. Se la distanza tra due città su quella carta è di $9,4$ cm, qual è la distanza reale in chilometri tra le due città?

Un biologo osserva una formica al microscopio. Nel suo disegno tecnico, la formica ha una lunghezza di $12$ cm. Se la scala del disegno è di ingrandimento $25:1$, qual è la lunghezza reale della formica espressa in millimetri?

La piantina di un campo da calcio comunale è disegnata in scala $1:400$. Nella piantina, l'area occupata dal prato è un rettangolo di $25$ cm di lunghezza per $15$ cm di larghezza. Calcola l'area reale del campo da calcio in metri quadrati.

Hai a disposizione due mappe diverse della stessa zona. Nella Mappa A, la distanza tra due paesi è di $6$ cm e la scala è $1:50.000$. Nella Mappa B, la distanza tra gli stessi paesi è di $15$ cm. Calcola qual è la scala numerica della Mappa B.

L'assessorato allo Sport di un comune sta per pubblicare un opuscolo informativo con la piantina di un campo polivalente regolamentare all'aperto. Le dimensioni reali del campo sono $40\text{ m}$ di lunghezza per $20\text{ m}$ di larghezza. Nell'impaginazione della tipografia hanno riservato un riquadro chiuso di $12\text{ cm}$ di lunghezza per $8\text{ cm}$ di larghezza per inserire tale piantina. Il grafico può scegliere solo tra quattro scale standard normalizzate: $1:200$, $1:300$, $1:400$ e $1:500$.

1. Analizza ogni scala e determina qual è la scala più grande (quella con il maggior livello di dettaglio) che permette di disegnare l'intero campo all'interno del riquadro senza superare nessuno dei suoi margini.

2. Con la scala adeguata che hai selezionato, calcola le dimensioni esatte (lunghezza e larghezza) che avrà il rettangolo disegnato sulla carta in centimetri.

3. Quanti centimetri di margine libero resteranno nella lunghezza e nella larghezza all'interno del riquadro dell'opuscolo?

Attraverso il portale del Catasto, una cooperativa agricola di Bari consulta un terreno a uliveto rettangolare rappresentato in una mappa in scala $1:5.000$. Sullo schermo, il rettangolo del fondo misura $8\text{ cm}$ di lunghezza e $5\text{ cm}$ di larghezza.

1. Modella matematicamente la situazione e calcola le dimensioni reali del fondo (lunghezza e larghezza) espresse in metri.

2. Ricava la superficie reale totale del terreno espressa in metri quadrati ($\text{m}^2$) e convertila in ettari ($1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2$).

3. Le relazioni agronomiche della zona indicano una resa media di $4.200\text{ kg}$ di olive per ettaro, e si sa che nel frantoio si ottiene un $20\,\%$ del loro peso in olio extravergine di oliva. Calcola quanti chilogrammi di olio d'oliva prevede di produrre la cooperativa con il raccolto di quel terreno.

Un drone per la sorveglianza forestale percorre una rotta rettangolare sopra un parco naturale. Nel centro di controllo, i tecnici visualizzano la rotta su uno schermo digitale in cui la scala è $1:50.000$. Su questo schermo, il rettangolo misura $12\text{ cm}$ di lunghezza e $8\text{ cm}$ di larghezza. Tuttavia, per il rapporto stampato, devono ridurre la mappa in modo che la lunghezza della rotta misuri solo $4\text{ cm}$.

Calcola:

1. L'area reale del parco naturale in chilometri quadrati ($\text{km}^2$).

2. La scala numerica che deve avere la mappa del rapporto stampato.

Stai progettando la tua "Gaming Room" su una piantina in scala $1:40$. Nel disegno, la stanza ha una superficie di $75\text{ cm}^2$. Hai visto una scrivania professionale che occupa una superficie reale di $1,28\text{ m}^2$ e una sedia che occupa $0,6\text{ m}^2$.

Se decidi di collocare la scrivania e due sedie uguali, quale superficie reale resterà libera nella stanza? Esprimi il risultato in metri quadrati ($\text{m}^2$).

Su una carta stradale dell'Italia in scala $1:2.500.000$, la distanza misurata con un righello tra Roma e Napoli è di $14,2\text{ cm}$. Un camion per le consegne parte da Roma alle $08:00\text{ h}$ e viaggia verso Napoli a una velocità media di $90\text{ km/h}$.

A che ora è previsto che arrivi a destinazione se si ferma mezz'ora a metà strada per riposare?

Un'app di mappe su uno smartphone mostra una zona della città. Quando lo zoom è al livello A, la scala è $1:15.000$ e la distanza tra due fermate della metropolitana è di $6\text{ cm}$. Se l'utente fa "zoom out" finché la scala diventa $1:50.000$ (livello B):

1. Qual è la distanza in centimetri tra le stesse fermate sullo schermo?

2. Se lo schermo del telefono ha un'area di $80\text{ cm}^2$, quanti chilometri quadrati reali di superficie urbana vengono visualizzati al livello B?

Un architetto ha costruito un plastico di un nuovo auditorium in scala $1:250$. Il volume totale del plastico è di $0,64\text{ dm}^3$.

Sapendo che la densità dei materiali reali è diversa, ma il volume resta proporzionale al cubo della scala, calcola il volume reale dell'auditorium in metri cubi ($\text{m}^3$).

(Nota: ricorda che se la scala di lunghezza è $k$, la scala di volume è $k^3$).

La piantina di una piscina comunale è disegnata in una scala tale che una delle sue pareti, che misura $25\text{ metri}$ nella realtà, è rappresentata da un segmento di $12,5\text{ cm}$. Nella piantina, il fondo della piscina ha un'area di $120\text{ cm}^2$.

Si vuole rivestire il fondo reale con piastrelle quadrate di $20\text{ cm}$ di lato. Quante piastrelle sarà necessario acquistare?

Una mappa antica ha perso l'indicazione della scala numerica. Tuttavia, mostra una scala grafica in cui un segmento che misura $3,5\text{ cm}$ sulla carta rappresenta una distanza reale di $17,5\text{ chilometri}$.

1. Determina la scala numerica della mappa.

2. Se due paesi sono separati sulla mappa da $12\text{ cm}$, quante ore impiegherà un ciclista ad andare da uno all'altro a una velocità costante di $24\text{ km/h}$?

È stata fatta una fotocopia di una piantina originale in scala $1:200$. A causa di un errore nelle impostazioni, la fotocopia è uscita ridotta al $75\%$ della dimensione originale.

Nella fotocopia, il salotto dell'abitazione misura $6\text{ cm}$ di lunghezza.

1. Qual è la scala reale della fotocopia rispetto alla realtà?

2. Qual è la lunghezza reale del salotto in metri?

L'ufficio urbanistico ha la piantina di una futura piazza pedonale in scala $1:200$. In tale piantina, la piazza occupa una superficie di $64\text{ cm}^2$. Per una mostra di quartiere, devono disegnare un ingrandimento della stessa piazza su un pannello in scala $1:50$. Due disegnatori discutono su quale sia il metodo più conveniente per trovare l'area che occuperà la piazza nel nuovo pannello:

• Metodo A (Passaggio per la realtà): Calcolare la superficie reale della piazza in $\text{m}^2$ a partire dalla prima piantina e dalla sua scala ($1:200$) e, a partire da questo dato reale, dedurre la superficie che occuperà nel pannello in scala $1:50$.

• Metodo B (Rapporto diretto tra aree): Confrontare direttamente le due scale osservando che $200 \div 50 = 4$ (le lunghezze nel pannello si quadruplicano) e applicare direttamente la relazione tra aree moltiplicando l'area iniziale per $4^2 = 16$.

• Risolvi il problema applicando il Metodo A passo dopo passo, indicando la superficie reale in $\text{m}^2$ e la superficie finale nel pannello in $\text{cm}^2$.

• Risolvi il problema applicando il Metodo B e verifica se i due risultati coincidono esattamente.

• Confronta i due procedimenti: quale dei due riduce il rischio di commettere errori con i cambi di unità e quale sarebbe indispensabile se ci chiedessero anche di preventivare il costo della pavimentazione della piazza reale?

Durante un episodio di alte temperature, la Protezione Civile monitora un incendio boschivo attivo mediante un'applicazione di emergenza impostata in scala $1:25.000$. Sulla mappa tattica, la zona bruciata si approssima a un trapezio con basi di $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$ e un'altezza di $4\text{ cm}$.

1. Calcola l'area occupata dall'incendio sulla mappa in $\text{cm}^2$ e, usando la relazione quadratica tra le scale ($\text{Area reale} = \text{Area nel piano} \cdot k^2$), calcola la superficie reale bruciata espressa direttamente in ettari ($1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2$). Giustifica il fattore di conversione utilizzato.

2. Sulla stessa mappa tattica, il fronte di avanzamento che le squadre a terra devono attaccare misura un segmento di $12\text{ cm}$. I comandanti chiedono di stampare una scheda tascabile per le squadre su una lamina plastificata il cui spazio utile massimo disponibile è di $15\text{ cm}$. Se si richiede di utilizzare una scala tecnica normalizzata $1:k$ dove $k$ sia un multiplo esatto di $5.000$ ($1:15.000$, $1:20.000$, $1:25.000$, $1:30.000$...), determina qual è la scala di massimo dettaglio (valore minore di $k$) che permette di rappresentare l'intero fronte senza superare i $15\text{ cm}$ e calcola la lunghezza esatta che avrà tale fronte sulla scheda.

Sfida del tema. Progetta la ristrutturazione della tua camera!

1. Piantina e scala: Misura con un metro a nastro le dimensioni reali della tua camera. Disegna la sua piantina in scala $1:50$ (a mano o con GeoGebra) e calcola il rapporto tra la superficie reale e quella del disegno.

2. Preventivo e resa: Cerca su un sito commerciale il prezzo di un barattolo di vernice. Sapendo che $2$ barattoli coprono $15,5\text{ m}^2$ applicando $2$ mani con $4$ ore di lavoro, calcola mediante una proporzione composta quanti barattoli e quante ore ti servirebbero per dipingere il soffitto della tua camera (di area uguale a quella della piantina) con $3$ mani. Applica al costo finale uno sconto del $10\%$ e aggiungi il $21\%$ di IVA.

3. Ripartizione e modellizzazione: In un foglio di calcolo, tabula e rappresenta graficamente la funzione di proporzionalità inversa $t = k/n$ (tempo impiegato in base al numero $n$ di persone che dipingono). Infine, simula il finanziamento della spesa totale mediante una ripartizione direttamente proporzionale tra due familiari in base alla loro età.

Presenta una breve relazione con la piantina, la tabella con il grafico e i calcoli dettagliati.

Verranno valutati:

• Precisione nel calcolo della scala, del rapporto e nel tracciato della piantina.

• Correttezza e rigore nella proporzione composta e nel trattamento delle percentuali.

• Rappresentazione adeguata della funzione inversa e risoluzione della ripartizione proporzionale.

• Chiarezza espositiva e presentazione dei dati nella relazione.