Esercizi: Approssimazione e arrotondamento

Nel sistema di numerazione decimale, ogni cifra ha un valore che dipende dalla posizione che occupa. Dato il numero $58,347$, indica quale cifra occupa ciascuna delle seguenti posizioni:

1. a) I decimi.
2. b) I centesimi.
3. c) I millesimi.
4. d) Le unità.

Stai controllando i prezzi di un negozio online e trovi un accessorio per la tua console che costa $24,9632$ €. Approssima questo prezzo per troncamento ai centesimi (cioè ai centesimi di euro).

Un atleta ha registrato un tempo di $10,438$ secondi in una gara dei 100 metri piani. Arrotonda il suo tempo ai centesimi. L'arrotondamento è stato per eccesso o per difetto?

Nell'ora di Tecnologia avete misurato lo spessore di un pezzo con un calibro digitale, ottenendo il valore $3,749$ mm. Approssima questo valore ai decimi in due modi diversi:

1. a) Mediante troncamento.
2. b) Mediante arrotondamento.

Approssima il numero $0,666...$ (periodico semplice) nei seguenti modi:

1. a) Troncando ai centesimi.
2. b) Arrotondando ai centesimi.
3. c) Arrotondando ai decimi.

Osserva la seguente retta numerica in cui è stato segnato il punto $P$. Scrivi il numero decimale esatto che rappresenta $P$ e poi arrotonda tale valore all'unità più vicina (al numero intero più vicino).

Se il lato di un quadrato misura $6,8$ cm, stima la sua area arrotondando prima la misura del lato al numero intero più vicino. Disegna uno schema del quadrato indicando la misura approssimata.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Indica se le seguenti affermazioni sull'approssimazione di $4,572$ sono vere o false:

1. a) Il troncamento ai decimi è $4,5$.
2. b) L'arrotondamento ai decimi è $4,5$.
3. c) L'arrotondamento ai centesimi è $4,57$.
4. d) Il troncamento alle unità è $4$.

In una lezione di Matematica di seconda media, due alunni cercano di approssimare numeri decimali ai centesimi commettendo errori frequenti:

• Matteo deve arrotondare $12,6449$ ai centesimi e ragiona così: «Poiché l'ultima cifra è un $9$, che è maggiore o uguale a $5$, fa salire la cifra precedente, che passa da $4$ a $5$; quel $5$ fa di nuovo salire la cifra precedente; così applico il cambiamento da destra a sinistra a catena fino ad arrivare ai centesimi e ottengo $12,65$».

• Sofia deve arrotondare $8,3250$ ai centesimi e afferma: «Poiché la cifra successiva ai centesimi è un $5$, il numero rimane uguale a $8,32$, perché davanti a un $5$ non si deve modificare la cifra precedente».

1. a) Spiega qual è l'errore nel procedimento di Matteo (noto come «arrotondamento a cascata») e indica qual è l'unica cifra che determina l'arrotondamento ai centesimi.
2. b) Spiega l'errore nell'affermazione di Sofia e ricorda qual è la convenzione matematica internazionale quando la cifra successiva è un $5$.
3. c) Correggi entrambi gli esercizi dando l'arrotondamento corretto ai centesimi per ciascun numero e indicando se l'approssimazione ottenuta è per eccesso o per difetto.

Vai in cartoleria con una moneta da $2\text{ €}$ e una banconota da $10\text{ €}$ (in totale $12\text{ €}$). Devi comprare un compasso che costa $4,85\text{ €}$, un album da disegno da $3,15\text{ €}$ e un set di squadre da $3,90\text{ €}$.

1. a) Senza fare operazioni per iscritto né usare la calcolatrice, stima mentalmente il costo totale arrotondando il prezzo di ciascun articolo all'unità (euro interi). Secondo la tua stima preventiva, i soldi ti bastano per pagare?
2. b) Calcola ora il costo totale esatto dell'acquisto e determina l'errore assoluto che hai commesso nella tua stima.
3. c) La tua stima è stata per eccesso o per difetto? Spiega se nella vita quotidiana, facendo la spesa con un budget limite, sia più prudente arrotondare sempre i prezzi per eccesso invece di usare la regola standard di arrotondamento all'unità più vicina.

Completa la seguente tabella sul quaderno per il numero $7,4628$. Per ogni caso, indica se l'approssimazione ottenuta per arrotondamento è per difetto o per eccesso.

Un agricoltore ha misurato l'area del suo appezzamento rettangolare e ha ottenuto un valore di $124,3756$ $m^2$.

1. a) Calcola il valore dell'area approssimando per arrotondamento ai centesimi.
2. b) Calcola l'errore assoluto commesso eseguendo tale approssimazione. Ricorda che l'errore assoluto è $E_a = |V_{real} - V_{aproximado}|$.

In un negozio di informatica i prezzi di tre componenti sono $15,99$ €, $32,45$ € e $12,80$ €.

Se decidi di stimare il costo totale arrotondando all'unità (euro) prima di sommare, qual è la differenza tra il prezzo reale totale e la tua stima? Hai stimato per eccesso o per difetto?

Rappresenta sulla retta numerica il numero decimale periodico semplice $2,\widehat{6}$. Per farlo:

1. a) Individua tra quali due numeri interi si trova.
2. b) Indica quale numero otterresti arrotondando ai decimi.
3. c) Qual è il limite massimo dell'errore che commettiamo arrotondando ai decimi?

Un sarto deve comprare della stoffa per confezionare 7 federe per cuscini. Ogni federa richiede esattamente $1,428$ metri di stoffa.

1. a) Calcola in modo esatto la quantità totale di stoffa necessaria.
2. b) Se il sarto decide di comprare la stoffa arrotondando il totale ottenuto ai decimi, gli avanzerà o gli mancherà della stoffa? Calcola la quantità esatta di tale differenza.

Considera il numero irrazionale $\pi \approx 3,14159265...$. Nella figura puoi vedere il valore di ciascuna posizione decimale.

1. a) Esegui un troncamento ai decimillesimi.

1. b) Esegui un arrotondamento ai decimillesimi.

1. c) Confronta i due risultati e spiega perché in questo caso particolare arrotondamento e troncamento non coincidono.

Il tempo ufficiale di una gara dei 100 metri piani viene misurato in millesimi di secondo. Un corridore ha impiegato $10,437$ secondi.

1. a) Se nelle notizie riportano il tempo solo arrotondato ai centesimi, quale tempo diranno?
2. b) Se un altro corridore ha impiegato $10,432$ secondi, quale tempo gli verrebbe assegnato seguendo lo stesso criterio di arrotondamento?
3. c) Sarebbe giusto usare questo arrotondamento se entrambi i corridori gareggiassero nella stessa batteria? Motiva la risposta basandoti sulla precisione.

Un'azienda di trasporti calcola il costo del carburante per un lungo viaggio. Il prezzo del gasolio è di $1,387$ €/litro e il camion consuma $32,4$ litri ogni 100 km. Il viaggio è di 450 km.

1. a) Calcola il costo totale esatto del carburante per il viaggio.
2. b) Se l'azienda stima il costo arrotondando il prezzo al litro ai centesimi e il consumo alle unità (litri), qual sarebbe il preventivo stimato?
3. c) Calcola la differenza tra il costo reale e quello stimato. È una stima sicura per l'azienda (per eccesso) o rischiosa (per difetto)?

Un numero decimale positivo sconosciuto $x$ ha esattamente tre cifre decimali significative (la sua espressione è della forma $a,bcd$). Scopri di quale numero si tratta sapendo che soddisfa contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. La sua parte intera è $6$.

2. Il suo troncamento ai decimi è $6,3$.

3. Il suo arrotondamento ai centesimi è $6,40$.

4. La somma delle sue tre cifre decimali ($b + c + d$) è esattamente uguale a $20$.

1. a) A partire dalle condizioni 2 e 3, deduci in modo ragionato quali cifre devono occupare obbligatoriamente le posizioni dei decimi ($b$) e dei centesimi ($c$). Giustifica perché la cifra dei centesimi non può essere $4$.
2. b) Determina quali sono tutte le cifre possibili per i millesimi ($d$) che fanno sì che l'arrotondamento ai centesimi dia $6,40$.
3. c) Usa la condizione 4 per trovare il valore definitivo del numero $x$ e calcola l'errore assoluto che si commette se si sostituisce tale numero con il suo arrotondamento ai centesimi.

In una fabbrica di serramenti metallici si tagliano profili di alluminio per finestre con una macchina automatica. L'operaio può impostare la macchina con due metodi diversi di approssimazione ai millimetri interi:

• Metodo 1 (Troncamento): taglia il profilo sopprimendo semplicemente i decimi di millimetro.

• Metodo 2 (Arrotondamento): taglia il profilo applicando la regola matematica di arrotondamento al millimetro più vicino.

In un ordine si devono tagliare tre pezzi le cui misure esatte di progetto sono: Pezzo A: $120,3\text{ mm}$; Pezzo B: $120,5\text{ mm}$; Pezzo C: $120,9\text{ mm}$.

1. a) Determina la misura di taglio che produrrà ciascun metodo per i tre pezzi e calcola l'errore assoluto che si commette in ciascuno dei sei tagli.
2. b) Qual è l'errore assoluto massimo che si può arrivare a commettere con il Metodo 1 per una qualsiasi misura decimale? E con il Metodo 2?
3. c) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due è preferibile usare in fabbrica se si vuole minimizzare l'errore massimo nei tagli. Spiega inoltre se qualcuno dei metodi introduce una distorsione sistematica (tagliare sempre al di sotto di quanto richiesto).

Un sensore di precisione in una stazione meteorologica registra l'umidità relativa dell'aria. Per motivi di archiviazione dei dati, il sistema informatico arrotonda automaticamente il valore ai centesimi. Se sullo schermo compare il valore $64,38\,\%$, determina l'intervallo esatto (valore minimo e valore massimo) in cui si trova l'umidità reale rilevata dal sensore prima di essere arrotondata.

La figura mostra la retta numerica con il valore dello schermo e i due valori con i centesimi che gli sono accanto.

La sonda spaziale Voyager 1 si trova approssimativamente a $2,348 \cdot 10^{10}$ chilometri dalla Terra. Un astronomo decide di approssimare questa distanza troncando il numero alle unità di miliardo (cioè lasciando solo due cifre significative: $2,3 \cdot 10^{10}$ km).

Nella figura sono stati segnati su una retta entrambi i valori, quello esatto e quello approssimato.

Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo commessi con questa approssimazione. Esprimi l'errore relativo in forma di percentuale arrotondata ai millesimi.

In una fabbrica di componenti elettronici, un pezzo rettangolare deve misurare $12,456$ mm di lunghezza e $8,321$ mm di larghezza. L'operaio della macchina arrotonda entrambe le misure ai decimi prima di eseguire il taglio.

1. Calcola l'area del pezzo con le misure originali (senza approssimare).

2. Calcola l'area del pezzo con le misure arrotondate.

3. Determina l'errore assoluto commesso nel calcolo dell'area a causa di questi arrotondamenti preliminari.

Considera il numero periodico misto $n = 4,12\widehat{6}$, cioè $n = 4,12666\ldots$ (il 6 si ripete all'infinito).

1. a) Ottieni la sua frazione generatrice ridotta ai minimi termini.

1. b) Approssima il numero $n$ per arrotondamento ai millesimi.

1. c) Calcola la differenza, in valore assoluto, tra il valore reale (usando la frazione generatrice) e l'approssimazione del punto b). A quale concetto di errore corrisponde questo risultato?

Un influencer sta analizzando la crescita dei suoi follower. Il lunedì aveva $1.240.500$ follower. Il martedì il suo pubblico è cresciuto del $0,125\,\%$.

1. Calcola il numero esatto di nuovi follower.

2. Se il sistema di statistiche mostra solo numeri interi e utilizza il troncamento, quale numero totale di follower vedrà l'influencer il martedì?

3. Qual è l'errore relativo (in percentuale) che commette la piattaforma mostrando il dato troncato rispetto alla crescita reale?

Vogliamo progettare una piastra quadrata la cui area esatta sia di $30$ cm². Poiché non possiamo misurare con precisione infinita, approssimiamo il lato del quadrato ($\sqrt{30}$) per arrotondamento ai centesimi.

1. a) Qual è il valore del lato approssimato?

1. b) Se costruiamo la piastra con quel lato approssimato, qual sarà la sua area reale?

1. c) Calcola l'errore assoluto commesso sull'area rispetto agli originali $30$ cm².

Si stanno confrontando due metodi di approssimazione del numero irrazionale $\pi$.

• Il metodo A utilizza l'arrotondamento ai decimillesimi ($3,1416$).

• Il metodo B utilizza la frazione di Archimede $\frac{22}{7}$.

Calcola l'errore assoluto di ciascun metodo sapendo che il valore di $\pi$ con sette cifre decimali è $3,1415926$. Quale dei due metodi è più preciso? Giustifica la risposta confrontando gli errori.

Un'azienda di corrieri utilizza droni per consegnare pacchi. Il software di navigazione stima il tempo di arrivo dividendo la distanza per la velocità media.

Per un tragitto di $15$ km a una velocità di $35$ km/h:

1. Calcola il tempo esatto in ore (in forma di frazione e in forma decimale periodica).

2. Il software fornisce una stima arrotondando il tempo ai minuti interi.

3. Calcola l'errore relativo che commette il software informando il cliente in minuti, confrontandolo con il tempo reale (esprimi entrambi i tempi nella stessa unità di misura).

L'ente pubblico che gestisce le risorse idriche della Lombardia pubblica nel suo bollettino ufficiale che l'acqua invasata nella regione ammonta a $742,8\text{ hm}^3$ (ettometri cubi), un dato che il sistema informatico arrotonda ai decimi.

1. a) Scrivi l'intervallo esatto $[V_{\text{min}}, V_{\text{max}})$ in cui si trova il volume reale di acqua immagazzinata prima di essere arrotondato.
2. b) Sapendo che $1\text{ hm}^3 = 1\,000\,000\text{ m}^3$ e che la popolazione della regione consuma in media $1\,250\,000\text{ m}^3$ di acqua al giorno, calcola la differenza in giorni di approvvigionamento tra il valore minimo e il valore massimo di tale intervallo.
3. c) Calcola il limite massimo dell'errore assoluto e l'errore relativo percentuale massimo (arrotondando quest'ultimo a tre cifre decimali) che può avere il dato pubblicato di $742,8\text{ hm}^3$ rispetto al volume reale.
4. d) Sulla base dei risultati precedenti, interpreta se un errore dovuto all'arrotondamento ai decimi sia trascurabile o cruciale per la pianificazione idrologica a scala regionale.

In uno stabilimento di confezionamento farmaceutico in Italia si effettua un controllo di qualità su due linee di produzione:

• Linea A: confeziona fiale di soluzione fisiologica da $20\text{ ml}$. Il sensore di riempimento registra un campione reale di $19,4\text{ ml}$ come $20\text{ ml}$.

• Linea B: confeziona taniche di disinfettante ospedaliero da $5000\text{ ml}$. Il sensore registra un campione reale di $4980\text{ ml}$ come $5000\text{ ml}$.

Carlo, il revisore tirocinante, afferma nel suo rapporto preliminare:

«La linea A è molto più precisa e accettabile della linea B, poiché l'errore assoluto commesso nella linea A è di solo $0,6\text{ ml}$, mentre nella linea B l'errore assoluto è di $20\text{ ml}$, cioè più di trenta volte maggiore».

1. a) Individua e spiega il grave errore concettuale nel ragionamento di Carlo sulla precisione dei due processi.
2. b) Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo percentuale di ciascuna delle due misurazioni rispetto ai rispettivi valori reali (arrotonda le percentuali ai centesimi).
3. c) Alla luce degli errori relativi, smentisci la conclusione di Carlo dimostrando quale delle due linee commette realmente un errore maggiore in proporzione alla grandezza di ciò che misura.
4. d) Se la normativa di qualità dell'Agenzia Italiana del Farmaco (AIFA) richiede che l'errore relativo di confezionamento non superi in nessun caso il $1\,\%$, determina motivando quale linea di produzione supererebbe l'ispezione e quale dovrebbe essere fermata e ricalibrata.

Sfida del tema. Come influiscono i decimali sulla spesa energetica di casa? Verificherai il costo dell'elettricità usando dati reali di Terna o del GME (Gestore dei Mercati Energetici).

1. Raccolta dati e concetti: Entra nel sito del GME (mercatoelettrico.org) e annota il prezzo per il piccolo consumatore ($€/\text{kWh}$) in tre fasce della giornata di ieri: ora di punta, intermedia e di valle (per esempio, $0,18342$). Classifica ogni numero secondo il suo tipo: esatto, periodico semplice o periodico misto.

2. Frazione generatrice e foglio di calcolo: Progetta una tabella in un foglio di calcolo. Supponi che un elettrodomestico con potenza di $1,45\text{ kW}$ funzioni per $2,3$ ore in ora di punta. Moltiplica questi valori decimali per trovare il consumo totale. Poi prendi il prezzo medio della giornata, esprimilo come decimale periodico ridotto e ricava sul quaderno la sua frazione generatrice per calcolare il costo esatto in forma di frazione.

3. Approssimazione e relazione: Arrotonda e tronca gli importi calcolati ai centesimi ($0,01\text{ €}$, centesimi di euro). Confronta i due risultati calcolando l'errore commesso e redigi una breve proposta (al massimo una facciata) con raccomandazioni per ridurre la bolletta familiare in base alle fasce analizzate.

Verranno valutati:

• Corretta identificazione del tipo di decimale e rigore nel trovare la frazione generatrice.

• Precisione nelle operazioni con i decimali e uso efficiente del foglio di calcolo.

• Correttezza delle tecniche di approssimazione (arrotondamento e troncamento) e analisi degli errori.

• Giustificazione coerente della proposta di risparmio a partire dai dati del GME.