Progressioni aritmetiche

Osserva le seguenti sequenze di numeri. Il tuo compito è individuare quali di esse sono progressioni aritmetiche.

Per quelle che lo sono, indica qual è la differenza ($d$) costante tra i loro termini e calcola il numero che occuperebbe la posizione successiva.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

Una pianta di bambù cresce molto velocemente e in modo costante in condizioni controllate di laboratorio.

Il giorno 1, la pianta è alta 15 cm.

Il giorno 2, la pianta è alta 18 cm.

Sapendo che la sua crescita segue una progressione aritmetica:

1. a) Quanti centimetri cresce la pianta ogni giorno ($d$)?
2. b) Quanto sarà alta la pianta il giorno 7?

Data la seguente progressione aritmetica:

1. Individua il primo termine ($a_1$) e la differenza ($d$).

2. Utilizzando la formula del termine generale $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcola il valore del termine che occupa la posizione 20 ($a_{20}$).

Trova il termine generale ($a_n$) delle seguenti progressioni aritmetiche date dai loro primi termini. Esprimilo nella forma più semplificata possibile (per esempio: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

In una progressione aritmetica sappiamo che il terzo termine ($a_3$) vale $12$ e l'ottavo termine ($a_8$) vale $27$.

Calcola la differenza $d$ della progressione e scrivi il valore del primo termine $a_1$.

Data la successione aritmetica formata dai numeri: $7, 11, 15, 19, \dots$

1. a) Scrivi la formula del termine generale $a_n$.
2. b) Calcola il valore del termine che occupa la posizione 30 ($a_{30}$).
3. c) Determina quale posizione occupa il numero $127$ in questa successione.

Calcola la somma dei primi 15 termini di una progressione aritmetica sapendo che:

• Il primo termine è $a_1 = 3$.

• L'ultimo termine da sommare è $a_{15} = 45$.

Ricorda di utilizzare la formula della somma di una progressione aritmetica:

Un auditorium ha le poltrone disposte a forma di trapezio. La prima fila (quella più vicina al palco) ha $15$ posti. Ogni fila successiva ha $2$ posti in più della precedente.

Se l'auditorium ha in tutto $20$ file:

1. a) Quanti posti ha l'ultima fila?
2. b) Qual è la capacità totale (numero totale di poltrone) dell'auditorium?

Calcola la somma di tutti i multipli di $3$ compresi tra $100$ e $200$.

In un supermercato stanno allestendo un'esposizione di lattine di pomodoro a forma di piramide triangolare piana contro una parete.

Nella fila superiore (la cima) mettono 1 lattina. Nella fila subito sotto mettono 2 lattine, nella terza fila 3 lattine, e così via, aumentando di una lattina per ogni livello che scendono.

Se la piramide è alta in tutto 8 file:

1. a) Scrivi la successione che rappresenta il numero di lattine in ogni fila.
2. b) Quante lattine ci saranno nell'ultima fila (quella della base)?

Saverio sta risparmiando per comprarsi una bicicletta nuova. La prima settimana mette da parte $25$ € nel salvadanaio. Si è proposto di aumentare ogni settimana la somma che mette da parte di $2,50$ € rispetto alla settimana precedente. Cioè, la seconda settimana mette da parte $27,50$ €, la terza $30$ €, e così via.

Se mantiene questo ritmo:

1. a) Quanto denaro dovrà mettere nel salvadanaio la settimana numero 12?
2. b) Quanto denaro avrà accumulato in totale alla fine della settimana 12?

Le misure dei quattro angoli di un quadrilatero formano una progressione aritmetica. Sapendo che l'angolo più piccolo misura $60^{\circ}$, calcola la misura degli altri tre angoli.

Ricorda: La somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre $360^{\circ}$.

Tre numeri formano una progressione aritmetica. Sappiamo che la loro somma è uguale a 33 e che il loro prodotto è uguale a 1287.

Imposta un sistema di equazioni utilizzando le proprietà delle progressioni aritmetiche (puoi chiamare i termini $x-d$, $x$ e $x+d$ per semplificare) e trova il valore di questi tre numeri.