Statistica descrittiva bivariata

Nello studio delle relazioni tra due variabili è fondamentale distinguere se esiste una dipendenza esatta o una relazione statistica. Indica in quali dei seguenti casi la relazione è funzionale (esiste una formula esatta) e in quali è statistica (esiste una tendenza ma con variabilità):

• a) Il numero di litri di benzina erogati in un distributore e il costo totale da pagare.

• b) Il voto ottenuto in un compito di Matematica e il numero di ore che lo studente ha dedicato allo studio quella settimana.

• c) Il tempo per cui rimane accesa una lampadina a basso consumo e il consumo energetico registrato dal contatore.

• d) L'altezza di una persona e il numero di scarpe che porta.

• e) La temperatura massima giornaliera in una città e il numero di gelati venduti in un chiosco della stessa città.

Un gruppo di 20 adolescenti è stato classificato in base all'abitudine alla lettura (Lettore frequente / Non lettore) e alla preferenza per il formato dei libri (Carta / Digitale). I dati ottenuti sono:

• 8 sono lettori frequenti e preferiscono il formato cartaceo.

• 4 sono lettori frequenti e preferiscono il formato digitale.

• 2 non sono lettori ma preferiscono il formato cartaceo.

• 6 non sono lettori e preferiscono il formato digitale.

Organizza queste informazioni in una tabella di frequenze congiunte (tabella di contingenza), includendo i totali marginali nelle righe e nelle colonne.

A partire dalla seguente tabella di contingenza, che mostra il tipo di dispositivo principale usato per studiare e la classe dello studente (terza media o primo anno di liceo), rispondi alle domande:

• a) Qual è la frequenza assoluta congiunta degli studenti che frequentano il primo anno di liceo e usano principalmente il portatile?

• b) Determina la frequenza marginale degli studenti che usano il tablet.

• c) Quanti studenti in totale hanno partecipato allo studio?

• d) Quale percentuale degli studenti totali frequenta la terza media?

Data la seguente tabella delle frequenze congiunte delle variabili $X$ (numero di figli) e $Y$ (numero di stanze dell'abitazione):

1. a) Calcola le distribuzioni marginali di $X$ e $Y$.
2. b) Determina la media e la varianza della variabile $Y$ condizionata a $X = 1$.
3. c) Calcola la covarianza $S_{xy}$ e stabilisci se le variabili sono indipendenti o presentano qualche tipo di associazione.

Date le seguenti coppie di variabili, indica se ti aspetti di trovare una correlazione positiva, negativa o nulla:

• a) Il numero di chilometri percorsi da un'auto e la quantità di carburante rimasta nel serbatoio.

• b) La media dei voti del liceo e il numero di ore che uno studente passa a giocare ai videogiochi.

• c) L'età di una persona e il suo numero di DNI (documento d'identità spagnolo).

• d) Il reddito mensile di una persona e la quantità di denaro che risparmia al mese.

• e) La velocità media di un atleta in una gara e il tempo che impiega a completarla.

Si dispone di una variabile bidimensionale $(X, Y)$ in cui $X$ rappresenta la temperatura esterna in $^\circ\text{C}$ e $Y$ il consumo elettrico di un centro commerciale in $kW$. Sappiamo che il baricentro della distribuzione è il punto $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Se la retta di regressione di $Y$ su $X$ ha un coefficiente angolare pari a $b = 15$:

• a) Scrivi l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$ utilizzando la forma punto-coefficiente angolare: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) Quale sarebbe il consumo atteso per una temperatura di $30^\circ\text{C}$?

Un'azienda di spedizioni studia la relazione tra il peso dei pacchi in kg ($X$) e il costo della spedizione in euro ($Y$). Sono state analizzate 5 spedizioni con i seguenti risultati:

Calcola:

1. Il baricentro della distribuzione $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Le deviazioni standard marginali $\sigma_x$ e $\sigma_y$.

Associa ciascuno dei seguenti valori del coefficiente di correlazione lineare di Pearson, $r$, al grafico che lo rappresenta meglio:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

È stato condotto uno studio sulla relazione tra il tempo che uno studente di quarta liceo dedica ogni giorno ai videogiochi in ore ($X$) e il suo tempo di reazione misurato in millisecondi in un test specifico ($Y$). I parametri ottenuti sono:

$\bar{x} = 2,5$; $\bar{y} = 310$; $\sigma_x = 1,2$; $\sigma_y = 45$ e la covarianza $\sigma_{xy} = -48,6$.

1. Calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson.

2. Interpreta il risultato ottenuto in base al contesto del problema. Che cosa accade alla capacità di reazione all'aumentare delle ore di gioco?

Una squadra di pallacanestro vuole prevedere il numero di punti segnati dai suoi giocatori ($Y$) in funzione dei minuti giocati ($X$). Dopo aver analizzato i giocatori, si ottengono i seguenti dati:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Numero di giocatori analizzati: $n = 10$.

1. Calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson.

2. Se un giocatore gioca $25$ minuti, stima i punti che segnerà utilizzando la retta di regressione corrispondente.

La seguente tabella mostra i voti ottenuti da 6 studenti in una verifica di Matematica ($X$) e in una di Economia ($Y$):

1. Trova la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Ricava l'equazione della retta di regressione di Economia ($Y$) su Matematica ($X$).

3. Quale voto ci si aspetterebbe in Economia per uno studente che ha preso $10$ in Matematica?

Si indaga se il prezzo di un modello di smartphone usato ($Y$, in euro) dipende dalla sua anzianità ($X$, in mesi). I dati di 100 telefoni mostrano che:

$\bar{x} = 18$ mesi; $\bar{y} = 450$ €; $\sigma_x = 6$; $\sigma_y = 80$ e $r = -0,88$.

1. Calcola la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Determina la retta di regressione di $Y$ su $X$.

3. Qual è il significato fisico del coefficiente angolare della retta in questo contesto?

4. Stima il prezzo di un telefono che ha un anno e mezzo di anzianità. Questa stima è molto affidabile? Perché?

Le rette di regressione di una distribuzione bivariata sono $4x - 5y + 12 = 0$ e $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifica quale di esse è quella di $Y$ su $X$ e quale quella di $X$ su $Y$. Giustifica la risposta usando il fatto che il prodotto dei loro coefficienti angolari deve essere uguale a $r^2$ e che $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$.
3. c) Determina i valori medi $\bar{x}$ e $\bar{y}$.