Equazioni di secondo grado

Applica la formula risolutiva per trovare le radici della seguente equazione di secondo grado completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Sviluppa i prodotti notevoli, riduci i termini simili e risolvi la seguente equazione:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

Risolvi la seguente equazione di secondo grado incompleta ricavando direttamente l'incognita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcola le soluzioni della seguente equazione di secondo grado incompleta mediante raccoglimento a fattor comune:

$3x^2 + 15x = 0$

Luca sta risolvendo l'equazione $2x^2 - 10x = 0$ alla lavagna ed esegue i seguenti passaggi sul quaderno:

Consultando le soluzioni del libro, scopre con sorpresa che l'equazione ha in realtà due soluzioni: $x_1 = 0$ e $x_2 = 5$.

1. a) Spiega con precisione matematica quale errore concettuale ha commesso Luca dividendo entrambi i membri per l'incognita $x$ e perché questa operazione ha eliminato una delle soluzioni valide.
2. b) Risolvi correttamente l'equazione mediante raccoglimento a fattor comune e giustifica ogni passaggio applicando la legge di annullamento del prodotto.

Determina se l'equazione $2x^2 + 3x + 5 = 0$ ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali calcolando prima il valore del suo discriminante $\Delta$.

Trova il valore del coefficiente $c$ nell'equazione $x^2 + 4x + c = 0$ affinché abbia un'unica soluzione reale doppia.

Determina il valore numerico del parametro $k$ affinché l'equazione $3x^2 - kx + 12 = 0$ abbia un'unica soluzione reale doppia.

Scrivi un'equazione di secondo grado nella forma $x^2 + bx + c = 0$ sapendo che le sue uniche soluzioni sono $x_1 = 3$ e $x_2 = -8$.

Si vuole costruire un'equazione di secondo grado a coefficienti interi della forma $ax^2 + bx + c = 0$ le cui soluzioni esatte siano $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 4$.

1. a) Applica le relazioni tra coefficienti e radici (formule di Viète) per dedurre il valore esatto della somma ($S = x_1 + x_2$) e del prodotto ($P = x_1 \cdot x_2$) delle soluzioni sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Scrivi un'equazione equivalente a coefficienti interi ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), senza denominatori, con $a > 0$ e tale che i coefficienti non abbiano fattori comuni (cioè siano primi tra loro).
3. c) L'equazione ottenuta nel punto precedente è l'unica equazione di secondo grado che ha esattamente queste due soluzioni? Giustifica la risposta ragionando su che cosa accade moltiplicando tutti i coefficienti per una costante $k \neq 0$.

Sapendo che una delle soluzioni dell'equazione $2x^2 + bx - 15 = 0$ è $x_1 = 3$, calcola, senza risolvere completamente l'equazione, il valore dell'altra soluzione $x_2$ e il valore del coefficiente $b$.

Per risolvere l'equazione $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, Alba e Matteo propongono strategie diverse:

• Alba propone di sviluppare il prodotto notevole del binomio, sottrarre $25$, raccogliere i termini nella forma canonica $ax^2 + bx + c = 0$ e applicare la formula risolutiva con il discriminante.

• Matteo propone di isolare direttamente la potenza, scrivendo $(3x - 1)^2 = 25$, ed estrarre la radice quadrata a entrambi i membri considerando il doppio segno $\pm$.

1. a) Risolvi l'equazione seguendo passo passo il procedimento di Alba e poi quello di Matteo, verificando che entrambi portano alle stesse soluzioni.
2. b) Confronta i due percorsi e giustifica quale dei due è più efficiente e presenta minor rischio di errori di calcolo (segni, operazioni con numeri grandi).
3. c) Il metodo abbreviato di Matteo sarebbe applicabile direttamente per risolvere l'equazione $(3x - 1)^2 - 6x = 25$? Giustifica perché sì o perché no.

Discuti, al variare del parametro $m$, il numero di soluzioni reali della seguente equazione di secondo grado:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Assicurati di analizzare che cosa accade quando il discriminante è positivo, nullo o negativo e non dimenticare il caso particolare in cui il coefficiente del termine di secondo grado si annulla.

Considera la seguente famiglia di equazioni in cui interviene un parametro reale $k$:

1. a) Uno studente afferma che se $k = 2$ l'equazione non ha alcuna soluzione perché, applicando la formula risolutiva, il denominatore $2a$ si annulla ($2 \cdot 0 = 0$). Confuta la sua affermazione spiegando che tipo di equazione si ottiene in realtà sostituendo $k = 2$ e calcola la sua soluzione.
2. b) Per i casi in cui $k \neq 2$, calcola l'espressione semplificata del discriminante $\Delta$ in funzione di $k$ e determina formalmente per quali valori del parametro l'equazione ha due soluzioni reali distinte, una soluzione reale doppia o nessuna soluzione reale.
3. c) Senza calcolare le soluzioni dell'equazione, utilizza in modo giustificato le relazioni tra coefficienti e radici per stabilire se esiste un valore di $k$ per cui le due radici siano opposte ($x_1 + x_2 = 0$). In caso affermativo, determina tale valore di $k$, verifica se le sue radici sono reali e trova il valore di entrambe le soluzioni.

Risolvi la seguente equazione operando prima con le frazioni algebriche. Verifica le soluzioni ottenute per scartare eventuali radici false che annullano i denominatori:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

L'area di un rettangolo è $60\text{ cm}^2$ e la lunghezza della sua diagonale è $13\text{ cm}$. Indicando con $x$ la base e con $y$ l'altezza, esprimi $y$ in funzione di $x$ usando il dato dell'area. Poi sostituisci nel teorema di Pitagora per la diagonale e risolvi l'equazione biquadratica che ne risulta per trovare le dimensioni esatte del rettangolo.

Risolvi la seguente equazione in cui compare un radicale, isolando prima la radice ed elevando al quadrato entrambi i membri. È obbligatorio verificare le soluzioni ottenute nell'equazione di partenza per scartare eventuali radici false:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Il quadrato di un numero naturale meno il suo triplo è esattamente uguale a $18$. Imposta un'equazione di secondo grado e calcola di quale numero si tratta.

Per ristrutturare il salotto rettangolare di un'abitazione, l'architetto indica che la lunghezza supera la larghezza di $2\text{ m}$. Se la superficie totale del salotto è $35\text{ m}^2$, imposta un'equazione di secondo grado e calcola le dimensioni esatte della stanza.

In una rampa da skateboard a forma di triangolo rettangolo, il cateto maggiore supera di $7\text{ m}$ il cateto minore e l'ipotenusa supera di $2\text{ m}$ il cateto maggiore. Imposta un'equazione di secondo grado utilizzando il teorema di Pitagora e calcola la lunghezza dei tre lati della rampa.

Una fotografia rettangolare di dimensioni $20\text{ cm}$ di base per $15\text{ cm}$ di altezza deve essere incorniciata con un passepartout di larghezza uniforme $x$. Se l'area totale dell'insieme (fotografia più passepartout) deve essere esattamente $500\text{ cm}^2$, imposta un'equazione di secondo grado e calcola la larghezza $x$ del passepartout.