Funzioni lineari e polinomio di primo grado
Marco prende un taxi a Milano: lo scatto iniziale è di 3 € e ogni chilometro costa 1,50 €. Quanto pagherà per 8 km? E se avesse a disposizione 21 €, fin dove potrebbe arrivare? Una situazione di questo tipo si descrive con una funzione di primo grado, il cui grafico è sempre una retta. In questa pagina impari a riconoscerla, a leggerne i coefficienti e a scriverne l'equazione. Alla fine risponderemo alle due domande del taxi.
La funzione di primo grado
Nei testi degli esercizi l'ordinata all'origine può essere indicata anche con $n$: è lo stesso numero $q$.
Il segno di $m$ dice come si comporta la retta: se $m > 0$ la funzione è crescente, se $m < 0$ è decrescente, se $m = 0$ è costante. Più $|m|$ è grande, più la retta è ripida.
Individua il coefficiente angolare $m$ e l'ordinata all'origine $n$ delle seguenti funzioni lineari: a) $y = -4x + 7$ b) $y = \frac{2}{5}x$ c) $y = -3$
Individua il coefficiente angolare $m$ e l'ordinata all'origine $n$ delle seguenti funzioni lineari:
- a) $y = -4x + 7$
- b) $y = \frac{2}{5}x$
- c) $y = -3$
Scrivi l'equazione della retta che ha coefficiente angolare $5$ e ordinata all'origine $-2$.
Scrivi l'equazione della retta che ha coefficiente angolare $5$ e ordinata all'origine $-2$.
Classifica le seguenti funzioni in funzione di proporzionalità diretta (lineare in senso stretto), funzione affine o funzione costante: a) $f(x) = 3x - 1$ b)…
Classifica le seguenti funzioni in funzione di proporzionalità diretta (lineare in senso stretto), funzione affine o funzione costante:
- a) $f(x) = 3x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x}{4}$
- c) $h(x) = 8$
Immagini e controimmagini
Calcolare l'immagine di $a$ significa calcolare $f(a)$: si sostituisce $x$ con $a$. Calcolare la controimmagine di $b$ significa trovare gli $x$ tali che $f(x) = b$: bisogna risolvere l'equazione di primo grado $mx + q = b$.
Le intersezioni con gli assi sono due casi particolari. Con l'asse $y$ si pone $x = 0$ e si ottiene $(0; q)$. Con l'asse $x$ si pone $y = 0$ e si risolve $mx + q = 0$.
La tariffa di un taxi è data dalla funzione $C(x) = 1,50x + 3$, dove $C(x)$ è il costo in euro e $x$ è la distanza percorsa in chilometri. Quanto costerà un viaggio di…
La tariffa di un taxi è data dalla funzione $C(x) = 1,50x + 3$, dove $C(x)$ è il costo in euro e $x$ è la distanza percorsa in chilometri. Quanto costerà un viaggio di $8$ chilometri?
Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati (asse X e asse Y) della retta $y = 3x - 12$.
Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati (asse X e asse Y) della retta $y = 3x - 12$.
Marco ha la funzione affine $f(x) = 3x + 4$ e deve calcolare l'immagine di $x = 10$. Poiché sa che $f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 19$, ragiona così: «Dato che $10$ è il doppio…
Marco ha la funzione affine $f(x) = 3x + 4$ e deve calcolare l'immagine di $x = 10$. Poiché sa che $f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 19$, ragiona così: «Dato che $10$ è il doppio di $5$, il valore di $f(10)$ deve essere esattamente il doppio di $19$, cioè $f(10) = 38$».\na) Individua l'errore concettuale di Marco e spiega perché non è valido applicare una proporzione diretta in questo tipo di funzioni.\nb) Quale valore dovrebbe avere l'ordinata all'origine $n$ perché il ragionamento di Marco fosse stato del tutto corretto?\nc) Calcola il valore reale di $f(10)$ mediante la sua formula e verifica algebricamente di quante unità aumenta in realtà il valore di $y$ quando $x$ aumenta di $5$ unità.
Appartenenza di un punto al grafico
Un punto $P(a; b)$ appartiene al grafico di $f$ se e solo se $f(a) = b$. Si sostituisce l'ascissa e si confronta il risultato con l'ordinata.
Questa verifica serve anche a trovare un parametro: se la retta $y = kx + 5$ deve passare per un punto, si sostituiscono le sue coordinate e si risolve l'equazione in $k$.
Verifica analiticamente se i punti $A(2, 5)$ e $B(-1, -3)$ appartengono al grafico della funzione $y = 2x + 1$.
Verifica analiticamente se i punti $A(2, 5)$ e $B(-1, -3)$ appartengono al grafico della funzione $y = 2x + 1$.
Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $y = kx + 5$ passi per il punto $(3, -4)$.
Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $y = kx + 5$ passi per il punto $(3, -4)$.
Scrivere l'equazione di una retta
Per determinare $m$ e $q$ servono due condizioni. Le più comuni sono due.
Se invece sono dati $m$ e un punto $(x_0; y_0)$, si sostituisce il punto in $y = mx + q$ e si ricava $q$. Per esempio, con $m = -2$ e punto $(1; 4)$: $4 = -2 + q$, quindi $q = 6$ e $y = -2x + 6$.
Anche una tabella di valori di una funzione di primo grado ha $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ costante. Se in più $\frac{y}{x}$ è costante, la funzione è lineare.
Trova l'equazione della retta che ha coefficiente angolare $m = -2$ e passa per il punto $(1, 4)$.
Trova l'equazione della retta che ha coefficiente angolare $m = -2$ e passa per il punto $(1, 4)$.
Trova l'equazione della retta che passa per i punti $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$.
Trova l'equazione della retta che passa per i punti $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$.
La relazione tra la temperatura in gradi Celsius ($^\circ C$) e in gradi Fahrenheit ($^\circ F$) è lineare. Sappiamo che l'acqua congela a $0^\circ C$, che equivale a…
La relazione tra la temperatura in gradi Celsius ($^\circ C$) e in gradi Fahrenheit ($^\circ F$) è lineare. Sappiamo che l'acqua congela a $0^\circ C$, che equivale a $32^\circ F$, e bolle a $100^\circ C$, che equivale a $212^\circ F$. Trova la funzione lineare che permette di convertire i gradi Celsius ($x$) in gradi Fahrenheit ($y$).
Rette parallele e rette che si incontrano
Determina l'equazione della retta parallela a $y = 3x - 2$ e passante per il punto $(-1, 4)$.
Determina l'equazione della retta parallela a $y = 3x - 2$ e passante per il punto $(-1, 4)$.
Determina analiticamente il punto di intersezione delle rette $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Verifica che il tuo risultato coincida con il punto indicato nel grafico…
Determina analiticamente il punto di intersezione delle rette $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Verifica che il tuo risultato coincida con il punto indicato nel grafico seguente.
La retta $r$ passa per i punti $(1, 2)$ e $(3, 8)$. La retta $s$ è parallela a $r$ e la sua ordinata all'origine è la metà dell'ordinata all'origine di $r$. Determina…
La retta $r$ passa per i punti $(1, 2)$ e $(3, 8)$. La retta $s$ è parallela a $r$ e la sua ordinata all'origine è la metà dell'ordinata all'origine di $r$. Determina l'equazione della retta $s$.
Date le rette $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina i valori dei parametri $m$ e $n$ affinché entrambe le equazioni rappresentino esattamente la stessa retta…
Date le rette $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina i valori dei parametri $m$ e $n$ affinché entrambe le equazioni rappresentino esattamente la stessa retta (rette coincidenti).
Modelli di primo grado
Quando una grandezza ha una parte fissa e una parte che cresce (o cala) di una quantità costante a ogni unità, il modello è una funzione di primo grado. La parte fissa è $q$; la variazione per unità è $m$.
Ora possiamo rispondere al taxi di Marco: $C(x) = 1{,}5x + 3$. Per $8$ km: $C(8) = 12 + 3 = 15$ €. Con $21$ € si risolve $1{,}5x + 3 = 21$, da cui $x = 12$: Marco arriva fino a $12$ km.
Un coefficiente $m$ negativo descrive una diminuzione: un serbatoio di $800$ litri che si svuota di $20$ litri al minuto segue $V(t) = 800 - 20t$, e si svuota quando $V = 0$, cioè dopo $40$ minuti.
Un idraulico chiede $30$ € per il diritto di chiamata a domicilio, più $15$ € per ogni ora di lavoro. Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in…
Un idraulico chiede $30$ € per il diritto di chiamata a domicilio, più $15$ € per ogni ora di lavoro. Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il costo con il tempo di lavoro e calcola quanto farà pagare per una riparazione che dura $3,5$ ore.
Un serbatoio d'acqua contiene inizialmente $800$ litri e si svuota a un ritmo costante di $20$ litri al minuto. Scrivi la funzione che mette in relazione il volume…
Un serbatoio d'acqua contiene inizialmente $800$ litri e si svuota a un ritmo costante di $20$ litri al minuto. Scrivi la funzione che mette in relazione il volume d'acqua nel serbatoio con il tempo trascorso e calcola a quale minuto il serbatoio sarà completamente vuoto.
La tariffa di un servizio di taxi urbano in una capitale italiana è composta da uno «scatto iniziale» fisso di $1,80$ € all'inizio della corsa e da un costo di $1,15$ €…
La tariffa di un servizio di taxi urbano in una capitale italiana è composta da uno «scatto iniziale» fisso di $1,80$ € all'inizio della corsa e da un costo di $1,15$ € per ogni chilometro percorso.\na) Scrivi l'espressione analitica della funzione $C(x)$ che fornisce il costo totale del viaggio in euro in funzione dei chilometri $x$ percorsi. Giustifica se è una funzione lineare, affine o costante, e interpreta che cosa rappresentano il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine nel contesto del problema.\nb) Un cliente afferma: «Se faccio un tragitto di $18$ km, pagherò esattamente il triplo rispetto a uno di $6$ km». Giustifica matematicamente se questa affermazione è vera o falsa calcolando entrambi gli importi.\nc) Se una persona dispone di un budget massimo di $20$ €, imposta e risolvi un'equazione o disequazione per determinare quanti chilometri interi (numero intero) può percorrere al massimo.
Disequazioni di primo grado
Spesso non si cerca un valore preciso, ma tutti i valori per cui una funzione supera una soglia. Si risolve come un'equazione, con una regola in più: se moltiplichi o dividi per un numero negativo, il verso della disuguaglianza si inverte. Il perché: moltiplicando per $-1$ i numeri si ribaltano sulla retta, quindi $2 < 5$ diventa $-2 > -5$. La soluzione si scrive come intervallo.
Una fabbrica di scarpe da ginnastica ha costi fissi mensili di $5000$ €. Inoltre, produrre ogni paio costa $15$ €. Se l'azienda vende ogni paio a $40$ €, scrivi le…
Una fabbrica di scarpe da ginnastica ha costi fissi mensili di $5000$ €. Inoltre, produrre ogni paio costa $15$ €. Se l'azienda vende ogni paio a $40$ €, scrivi le funzioni di costo $C(x)$ e di ricavo $R(x)$. Quanti paia deve vendere al mese per ottenere un guadagno di almeno $2000$ €?
Funzioni definite a tratti
A volte una sola formula non basta: la regola cambia da un certo valore in poi. Si scrive una formula per ogni tratto del dominio, e il grafico è formato da segmenti o semirette di rette diverse. Le tariffe (parcheggi, taxi, telefono) funzionano così.
Se il dato è un grafico, ogni segmento dà una retta: si leggono due punti del segmento e si calcola $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, poi $q$. Un segmento orizzontale è una sosta ($m = 0$); un $m$ negativo è un ritorno.
Un parcheggio fa pagare $2,50$ € per la prima ora (o frazione di ora). Dopo la prima ora, fa pagare $0,05$ € per ogni minuto aggiuntivo. Scrivi la funzione definita a…
Un parcheggio fa pagare $2,50$ € per la prima ora (o frazione di ora). Dopo la prima ora, fa pagare $0,05$ € per ogni minuto aggiuntivo. Scrivi la funzione definita a tratti $C(t)$ che rappresenta il costo totale in euro in funzione del tempo $t$ in minuti in cui un veicolo resta parcheggiato.
Il grafico seguente mostra la distanza a cui si trova un ciclista da casa in funzione del tempo. Determina l'espressione analitica definita a tratti della funzione…
Il grafico seguente mostra la distanza a cui si trova un ciclista da casa in funzione del tempo. Determina l'espressione analitica definita a tratti della funzione $d(t)$ e calcola quale fu la velocità costante del ciclista durante il viaggio di ritorno.
Funzione inversa
Una funzione di primo grado con $m \neq 0$ si può «ribaltare»: dato il risultato $y$, si risale a $x$. Per trovare la funzione inversa si risolve $y = mx + q$ rispetto a $x$ e poi si scambiano i nomi delle variabili (se i nomi hanno un significato, basta scrivere la formula ottenuta). È la stessa idea della controimmagine, ma per ogni valore.
L'inversa «disfa» ciò che fa la funzione: i grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice $y = x$. Se $m = 0$ la funzione non è invertibile, perché valori diversi di $x$ danno lo stesso $y$.
La lunghezza $L$ di una molla elastica, misurata in centimetri, è data dalla funzione $L(p) = 15 + 0,2p$, dove $p$ è il peso appeso in grammi. Determina l'espressione…
La lunghezza $L$ di una molla elastica, misurata in centimetri, è data dalla funzione $L(p) = 15 + 0,2p$, dove $p$ è il peso appeso in grammi. Determina l'espressione della funzione inversa $p(L)$ e usala per calcolare quale peso è stato appeso se la molla misura esattamente $22$ cm.