Funzione logaritmica

Calcola il valore dei seguenti logaritmi applicando direttamente la definizione, senza usare la calcolatrice:

a) $\log_2 32$

b) $\log_3 \frac{1}{9}$

c) $\log 10000$

Trova il valore dell'incognita $x$ in ciascuna delle seguenti uguaglianze utilizzando la definizione di logaritmo:

a) $\log_x 25 = 2$

b) $\log_5 x = 3$

c) $\log_2 64 = x$

Usa la calcolatrice e la formula del cambiamento di base per trovare il valore di $\log_4 15$. Arrotonda il risultato a tre cifre decimali.

Sapendo che, approssimativamente, $\log 2 = 0,301$, calcola il valore di $\log 8$ utilizzando esclusivamente le proprietà dei logaritmi.

Sviluppa la seguente espressione applicando le proprietà dei logaritmi (logaritmo di un prodotto, di un quoziente e di una potenza), in modo che rimangano logaritmi di variabili semplici:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot y^2}{\sqrt{z}} \right)$

Riduci la seguente espressione a un unico logaritmo utilizzando le proprietà dei logaritmi:

$2 \log a + \log b - 3 \log c$

Sapendo che $\log 2 = 0,301$ e $\log 3 = 0,477$, calcola il valore di $\log 12$ e di $\log 5$ utilizzando le proprietà dei logaritmi, senza usare direttamente il tasto log della calcolatrice per quei numeri. (Suggerimento: ricorda che $5 = \frac{10}{2}$).

Determina il dominio delle seguenti funzioni logaritmiche:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Sofia sta studiando la funzione $f(x) = \log_3(x - 2)$ per una verifica del primo biennio e annota sulla sua scheda di ripasso le seguenti tre conclusioni:

1. «Poiché non esiste il logaritmo di numeri negativi né dello zero, il dominio è $[2, +\infty)$, includendo $2$ perché lì inizia la curva».

2. «Poiché la base è $a = 3$, che è un numero maggiore di $1$, la funzione è decrescente e ha un asintoto orizzontale sull'asse $X$».

3. «Il grafico interseca l'asse delle ordinate (asse $Y$) nel punto $(0, -2)$».

Individua dettagliatamente l'errore concettuale che commette Sofia in ciascuna delle sue tre affermazioni e scrivi la corretta giustificazione matematica. Infine, determina in modo motivato il dominio reale di $f(x)$, l'equazione del suo asintoto verticale e le coordinate esatte del suo punto di intersezione con l'asse $X$.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Esprimi il risultato sotto forma di intervalli.

Indica, motivando la risposta e senza bisogno di disegnarle, quali delle seguenti funzioni sono crescenti e quali sono decrescenti:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Osserva i grafici delle funzioni logaritmiche rappresentati nell'immagine qui sopra. Associa, motivando la risposta, la Funzione A e la Funzione B alle rispettive espressioni analitiche:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

Considera la funzione logaritmica di base $f(x) = \log_2 x$.

1. a) Senza usare la calcolatrice, stima tra quali due numeri interi consecutivi si trova il valore di $f(20)$. Giustifica la tua deduzione basandoti sulle potenze di base $2$ più vicine a $20$ e sul fatto che la funzione è strettamente crescente.
2. b) Sapendo che $2^{4{,}32} \approx 19{,}97$ e che $2^{4{,}33} \approx 20{,}11$, verifica la tua stima precedente e delimita il valore di $f(20)$ con due cifre decimali.
3. c) Osserva che il numero $20$ è numericamente più vicino a $16$ che a $32$ ($20 - 16 = 4$, mentre $32 - 20 = 12$). Spiega, a partire dalla crescita e dalla concavità del grafico del logaritmo, perché il valore di $f(20)$ è così vicino a $f(16) = 4$ rispetto alla distanza che lo separa da $f(32) = 5$.

L'immagine mostra il grafico della funzione esponenziale $f(x) = e^x$ e della sua funzione inversa $g(x)$.

a) Scrivi l'espressione analitica di $g(x)$.

b) Spiega il significato geometrico della retta tratteggiata arancione $y = x$ in relazione a entrambe le curve.

c) Determina il dominio e il codominio di entrambe le funzioni, giustificando come si scambiano tra una funzione e la sua inversa.

Si vuole scoprire se i grafici delle funzioni $f(x) = \log_2 x$ e della sua funzione inversa $g(x) = 2^x$ hanno qualche punto di intersezione nel piano cartesiano. Due studenti propongono strategie opposte:

• Metodo algebrico (proposto da Ugo): Uguagliare le due espressioni impostando l'equazione $\log_2 x = 2^x$, applicare la definizione di logaritmo per scrivere $x = 2^{(2^x)}$ e provare a ricavare algebricamente il valore di $x$ mediante operazioni elementari con potenze e radici.

• Metodo geometrico e delle proprietà dell'inversa (proposto da Irene): Ricordare che i grafici di due funzioni inverse sono simmetrici rispetto alla retta $y = x$. Irene afferma che se una funzione crescente interseca la sua inversa, i punti in comune devono necessariamente trovarsi sulla retta di simmetria $y = x$. Pertanto, invece di risolvere $\log_2 x = 2^x$, basta analizzare la posizione relativa di $g(x) = 2^x$ rispetto alla retta $y = x$ confrontando i valori di $2^x$ e $x$ per $x > 0$.

1. a) Valuta entrambi i metodi: spiega perché il tentativo puramente algebrico di Ugo è un vicolo cieco al livello del primo biennio e descrivi perché la strategia di Irene è concettualmente adeguata.
2. b) Applica il ragionamento di Irene: calcola i valori di $g(x) = 2^x$ e della retta $y = x$ per i punti di prova $x = 0$, $x = 1$ e $x = 2$. A partire da essi e dalla crescita esponenziale, giustifica formalmente se $f(x)$ e $g(x)$ arrivano mai a intersecarsi nel piano.

Data la funzione $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determina il suo dominio in modo analitico.

b) Indica qual è l'equazione del suo asintoto verticale.

c) In quale direzione (sinistra o destra) si apre il grafico di questa funzione rispetto al suo asintoto?

A partire dal grafico della funzione $f(x)$ mostrato sopra, che corrisponde a un logaritmo traslato della forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indica il valore di $b$ osservando l'asintoto verticale.

b) Utilizza il punto $B(1, 2)$ per calcolare la base $a$ del logaritmo.

c) Scrivi l'espressione analitica completa della funzione.

Una funzione logaritmica della forma $f(x) = \log_a(x + b)$ ha il suo asintoto verticale nella retta $x = -5$ e il suo grafico passa per il punto $(11, 4)$.

1. a) Determina in modo motivato il valore della traslazione orizzontale $b$ e il valore della base $a$. A partire da essi, specifica il dominio di $f(x)$ e spiega se la funzione è crescente o decrescente in tutto il suo dominio.
2. b) Ricorda che la funzione esponenziale e quella logaritmica sono funzioni inverse i cui grafici sono simmetrici rispetto alla retta $y = x$. Ricava l'espressione algebrica della funzione inversa $f^{-1}(x)$, indica il suo dominio e il suo codominio, e trova le coordinate del punto di intersezione di $f^{-1}(x)$ con l'asse $Y$ a partire dal punto di intersezione di $f(x)$ con l'asse $X$.

Si sa che una funzione logaritmica della forma $f(x) = \log_a(x + b)$ passa per l'origine degli assi $(0, 0)$ e per il punto $(6, 1)$.

Imposta un sistema di equazioni per trovare i valori dei parametri $a$ e $b$. Una volta trovati, scrivi l'espressione analitica finale della funzione e indica qual è il suo asintoto verticale.

L'Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (INGV) calibra la risposta di un sensore sismico mediante una funzione logaritmica con traslazione del tipo $f(x) = \log_a(x + b)$. Si conoscono le seguenti condizioni tecniche sul suo comportamento:

1. Il sensore non può registrare magnitudo quando $x \le -3$, essendo la retta $x = -3$ un asintoto verticale della curva.

2. La funzione è strettamente decrescente in tutto il suo dominio.

3. Il grafico della sua funzione inversa, $f^{-1}(x)$, contiene il punto $(-1, 1)$.

1. a) Determina in modo motivato i parametri $b$ e $a$. Giustifica perché la base $a$ deve essere un numero strettamente compreso tra $0$ e $1$ e scrivi esplicitamente le funzioni $f(x)$ e $f^{-1}(x)$.
2. b) Descrivi il comportamento asintotico di $f(x)$: basandoti sulla relazione tra logaritmi e potenze con base compresa in $(0, 1)$, deduci in modo motivato verso quale valore tende $f(x)$ quando la variabile $x$ si avvicina a $-3$ da destra ($x \to -3^+$).
3. c) Trova le coordinate esatte dei punti di intersezione di $f(x)$ con l'asse delle ascisse ($X$) e con l'asse delle ordinate ($Y$).

Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche semplici:

a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$

b) $\log_2(x - 4) = 3$

Un capitale viene investito in un fondo bancario che offre un interesse composto annuo. La formula che regola il capitale accumulato $C$ nel corso degli anni $t$ è $C = C_0 \cdot 1,04^t$, dove $C_0$ è il capitale iniziale. Se si investono $2000$ euro, determina quanti anni completi devono trascorrere perché il capitale superi i $3000$ euro. Usa i logaritmi per ricavare l'incognita.

L'intensità del suono si misura in decibel (dB) mediante una funzione logaritmica. La formula è $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, dove $d$ sono i decibel, $I$ è l'intensità del suono e $I_0$ è l'intensità soglia di udibilità (una costante). Ricava l'intensità $I$ in funzione dei decibel $d$ e di $I_0$.

La normativa italiana sull'inquinamento acustico valuta il livello di pressione sonora in decibel ($\text{dB}$) mediante la funzione:

dove $I$ è l'intensità fisica dell'onda acustica in watt per metro quadrato ($\text{W/m}^2$) e $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ è la soglia uditiva umana di riferimento.

1. a) In un viale del centro di Napoli, il traffico intenso registrava un'intensità di $I_1 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$. Dopo aver applicato misure di moderazione del traffico a $30\text{ km/h}$ e una pista ciclabile, l'intensità è scesa a $I_2 = 10^{-6}\text{ W/m}^2$. Calcola il livello di rumore in decibel prima e dopo l'intervento.
2. b) Un portavoce dei residenti dichiara: «Poiché l'intensità dell'onda fisica si è ridotta a un centesimo ($100$ volte meno), il livello di decibel avrebbe dovuto dividersi anch'esso per $100$, passando da $80\text{ dB}$ a meno di $1\text{ dB}$». Applicando le proprietà del logaritmo di un quoziente o di una potenza, confuta con rigore matematico l'affermazione del residente e dimostra di quanti decibel diminuisce esattamente il livello di rumore ogni volta che l'intensità fisica $I$ viene divisa per $10$.

Risolvi la seguente equazione logaritmica verificando la validità delle soluzioni ottenute:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Trova i valori di $x$ e $y$ che soddisfano il seguente sistema di equazioni non lineari:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

La scala Richter per misurare la magnitudo dei terremoti è logaritmica e si definisce come $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, dove $A$ è l'ampiezza dell'onda sismica e $A_0$ è un'ampiezza di riferimento.

Un terremoto nella città Alfa ha avuto una magnitudo di $6$ sulla scala Richter, e un altro nella città Beta ha avuto una magnitudo di $8$. Quante volte è stata maggiore l'ampiezza dell'onda sismica del terremoto di Beta rispetto a quello di Alfa? Dimostra matematicamente il tuo ragionamento.

Il test del Carbonio-14 viene utilizzato per datare antichi resti organici. La proporzione di C-14 diminuisce in modo esponenziale nel tempo secondo la funzione $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, dove $P$ è la percentuale di C-14 rimanente rispetto all'originale e $t$ è il tempo trascorso in anni.

Se si scopre un fossile che conserva soltanto il $15\%$ del suo Carbonio-14 originale, qual è l'età stimata del fossile? Esprimi il risultato in anni e arrotonda all'unità.

In informatica, il tempo di esecuzione $T$ di un determinato algoritmo di ordinamento dipende dalla quantità di dati $n$ da elaborare e segue una funzione del tipo $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, dove $k$ è una costante propria del computer.

Se nell'elaborare $n = 8$ dati il computer impiega $T = 24$ millisecondi:

a) Calcola il valore della costante $k$.

b) Quanto tempo impiegherà lo stesso computer per elaborare $n = 32$ dati?