Tendenza e periodicità
Un farmaco viene eliminato dal corpo a poco a poco: la sua concentrazione si avvicina a un valore di riposo senza raggiungerlo mai del tutto. Le maree della laguna di Venezia, invece, ripetono lo stesso ciclo giorno dopo giorno. Sono due comportamenti a lungo termine molto diversi: la tendenza verso un valore e la periodicità. In questa pagina li studiamo in modo intuitivo; la formalizzazione con i limiti arriverà al quinto anno.
Tendenza per x che cresce indefinitamente
Il seguente grafico mostra l'evoluzione della temperatura di una tazza di caffè appena servita nel tempo. A quale valore tende la temperatura quando il tempo avanza…
Il seguente grafico mostra l'evoluzione della temperatura di una tazza di caffè appena servita nel tempo. A quale valore tende la temperatura quando il tempo avanza indefinitamente? Come si chiama in matematica la retta orizzontale a cui si avvicina la curva?
Togliamo una lattina di bibita dal frigorifero a $4^\circ\text{C}$ e la lasciamo sul tavolo del soggiorno, dove la temperatura ambiente si mantiene costante a…
Togliamo una lattina di bibita dal frigorifero a $4^\circ\text{C}$ e la lasciamo sul tavolo del soggiorno, dove la temperatura ambiente si mantiene costante a $23^\circ\text{C}$. A quale temperatura tenderà la bibita se la lasciamo lì per diversi giorni senza aprirla?
Il tempo $t$ (in ore) necessario per svuotare il serbatoio di irrigazione di un'azienda agricola dipende dal numero di pompe idrauliche identiche $n$ collegate…
Il tempo $t$ (in ore) necessario per svuotare il serbatoio di irrigazione di un'azienda agricola dipende dal numero di pompe idrauliche identiche $n$ collegate contemporaneamente, secondo la funzione $t(n) = \frac{120}{n}$. A quale valore tende il tempo di svuotamento se il numero di pompe utilizzate tende a infinito?
Tendenza nei modelli esponenziali con termine costante
La concentrazione di un antibiotico nel sangue di un paziente (misurata in $\text{mg/L}$) dopo $t$ ore dalla somministrazione è data dall'espressione matematica…
La concentrazione di un antibiotico nel sangue di un paziente (misurata in $\text{mg/L}$) dopo $t$ ore dalla somministrazione è data dall'espressione matematica $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcola la concentrazione dopo $2\text{ ore}$, dopo $10\text{ ore}$ e dopo $100\text{ ore}$. A partire da questi risultati, qual è la tendenza della concentrazione a lungo termine?
Il seguente grafico mostra l'altezza di una persona che pratica bungee jumping* nel tempo, legata all'oscillazione della corda elastica. Analizza il grafico e rispondi:…
Il seguente grafico mostra l'altezza di una persona che pratica bungee jumping nel tempo, legata all'oscillazione della corda elastica. Analizza il grafico e rispondi: qual è il "periodo" temporale approssimativo tra i primi due rimbalzi? Si può considerare una funzione strettamente periodica? A quale valore tende l'altezza della persona quando il tempo tende a infinito e cosa rappresenta fisicamente quel valore?
Sia $f(x)$ una funzione definita nell'intervallo $[0, 4)$ mediante l'espressione algebrica $f(x) = x^2 - 2x$. Sappiamo inoltre che la funzione è periodica di periodo…
Sia $f(x)$ una funzione definita nell'intervallo $[0, 4)$ mediante l'espressione algebrica $f(x) = x^2 - 2x$. Sappiamo inoltre che la funzione è periodica di periodo $T = 4$ per qualsiasi valore di $x \ge 0$, e che vale $f(x+4) = f(x)$. Basandoti su queste proprietà, calcola passo dopo passo il valore esatto di $f(2019)$.
Funzioni periodiche
Per trovare $f(x)$ con $x$ lontano dall'origine, si somma o si sottrae il periodo $T$ tante volte quante servono per arrivare in un ciclo già noto: se $x = x_0 + n \cdot T$ con $n$ intero, allora $f(x) = f(x_0)$. In pratica: dividi $x$ per $T$ e usa il resto della divisione.
Sapendo che una funzione $f(x)$ è periodica di periodo $T = 6$ e che, nel primo ciclo, assume il valore $f(2) = 5$, qual è il valore di $f(20)$?
Sapendo che una funzione $f(x)$ è periodica di periodo $T = 6$ e che, nel primo ciclo, assume il valore $f(2) = 5$, qual è il valore di $f(20)$?
Una funzione periodica ha periodo $T = 5$. Se conosciamo i suoi valori nel primo ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ e $f(5) = 1$, calcola in modo…
Una funzione periodica ha periodo $T = 5$. Se conosciamo i suoi valori nel primo ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ e $f(5) = 1$, calcola in modo ragionato il valore di $f(14)$.
La famosa ruota panoramica "London Eye" ha un diametro di circa $120\text{ m}$. I passeggeri salgono sulle cabine nel punto più basso, che si trova praticamente a…
La famosa ruota panoramica "London Eye" ha un diametro di circa $120\text{ m}$. I passeggeri salgono sulle cabine nel punto più basso, che si trova praticamente a livello del suolo ($0\text{ m}$). La ruota gira a velocità costante e impiega esattamente $30\text{ minuti}$ per compiere un giro completo. Qual è il periodo della funzione che descrive l'altezza di una cabina rispetto al tempo? A che altezza si troverà un passeggero dopo $45\text{ minuti}$ dalla salita, se non è sceso?
Il periodo nei fenomeni reali
Maree, ruote panoramiche, fari, turni di manutenzione: molti fenomeni si ripetono con un periodo. Per riconoscerli bisogna chiedersi se, dopo un certo intervallo, la situazione torna identica. Un fenomeno che si smorza o che non torna mai uguale non è periodico.
Classifica i seguenti fenomeni della vita reale a seconda che corrispondano a funzioni periodiche o non periodiche: L'altezza di una persona nel corso di tutta la sua…
Classifica i seguenti fenomeni della vita reale a seconda che corrispondano a funzioni periodiche o non periodiche:
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L'altezza di una persona nel corso di tutta la sua vita.
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Il movimento della lancetta dei minuti di un orologio da parete.
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Il saldo disponibile su un conto corrente nel corso dell'anno.
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Il ciclo delle fasi della Luna.
La tabella delle maree di un porto peschereccio indica che la prima alta marea del giorno avviene alle 04:00 di notte e la successiva bassa marea alle 10:15 del mattino.…
La tabella delle maree di un porto peschereccio indica che la prima alta marea del giorno avviene alle 04:00 di notte e la successiva bassa marea alle 10:15 del mattino. Supponendo che il livello del mare si comporti come una funzione periodica in cui salita e discesa durano lo stesso tempo, qual è il suo periodo in ore e minuti? A che ora esatta avverrà la successiva alta marea?
Un faro marittimo di segnalazione emette un lampo di luce intensa che dura esattamente $2\text{ secondi}$, seguito da un periodo di buio totale di $7\text{ secondi}$,…
Un faro marittimo di segnalazione emette un lampo di luce intensa che dura esattamente $2\text{ secondi}$, seguito da un periodo di buio totale di $7\text{ secondi}$, ripetendo questo ciclo ininterrottamente. Se il faro si accende per la prima volta nella notte alle 22:00:00, qual è il periodo di questa funzione luminosa? La luce sarà accesa o spenta alle 22:01:15?
Torna all'inizio: la concentrazione del farmaco ha come asintoto la retta $y=0{,}5$ ($C(t) \to 0{,}5$ per $t \to \infty$), mentre le maree descrivono una funzione periodica che ripete i suoi valori ogni circa $12$ ore.